1、13.1 基本内容 3.2 典型例题 分析第三章 矩阵的初等变换与线性方程组3.1 基本内容3.1.1 矩阵的初等变换矩阵的初等变换是一种十分重要的运算方法，它在解先行方程组、求逆矩阵及矩阵理论的探讨中都有重要的作用下面三种变换称为矩阵的初等行变换：(1) 对调两行（对调 两行，记着 ） ；ji, jir(2) 以数 乘某一行中的所有元素（第 行乘 ，记着 ）0k kkri(3) 把某一行所有元素的 倍加到另一行对应的元素上去（第 行的 倍加到第 行，k ji记着 ）jikr把定义中矩阵的行换成列，即得矩阵的初等列变换的定义（所用记号把 换成 ） ，rc矩阵的初等行变换和初等列变换统称初等变换
2、。初等变换都是可逆的，且其逆变换仍是同一类的初等变换。如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，就称矩阵A与矩阵B等价，记着 BA矩阵之间的等价关系满足下列性质：(1) 反身性 ；(2) 对称性 若 ，则 ；AB(3) 传递性 若 ， ，则 .C3.1.2 初等矩阵由单位矩阵 E 经过一次初等变换后所得的矩阵称为初等矩阵。三种初等变换对应着三种初等矩阵 ),(jiE1011 第 列 第 列ij2第 行)(kiE11 ki)(kijE11 k经验证，可得下述定理设 A 是一个 矩阵，对 A 施行一次初等行变换，相当于在 A 的左边乘以相应nm的 阶初等矩阵；对 A 施行一次初等列变换，相当于在 A
3、 的右边乘以相应的 阶n初等矩阵 设 A 是可逆矩阵，则存在有限个初等矩阵 ，使得 A=lP,21 lP21证明 因为 ，所以 E 经过有限次初等变换可变成 A，即则存在有限个初等矩阵，使得lP,21 Plr 121即 ，得证。lA推论 矩阵 的充要条件是：存在着 阶可逆矩阵 及 阶可逆矩阵 ，nmBmPnQ使得 PQ根据此定理，可得到一种求逆矩阵的方法：由 ，lA21有 EPl121及1121Al即 3)()1121 AEPl 即对 阶矩阵 施行初等行变换，把A变成E时，原来的E就变成n( 1A3.1.3 矩阵的秩在 矩阵A中，任取 行 列（ ）位于这些行列处交叉处的 个元mknkm, 2k
4、素，不改变它们在A中所处的位置秩序而得的 阶行列式，称为A的 阶子式。k设在矩阵A中有一个不等于0的 阶子式D，且所有 阶子式（如果存在的话）全r1r等于0，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，数 称为矩阵A的秩，记着 )(AR注 零矩阵的秩规定为 03.1.4 线性方程组的解利用方程组的系数矩阵 A 和增广矩阵 B 的秩，可以方便的讨论线性方程组的解bx元齐次线性方程组 有非零解的充要条件是系数矩阵的秩 。n0xnm nAR)(元非齐次线性方程组 有解的充要条件是系数矩阵的秩 等于增b广矩阵 B= 的秩 ，即bA)(BR)()AR3.2 典型例题分析 返回例1 求解方程组97634242321
5、31xx解 对应的增广矩阵为bAB 97634241= 231r 9762141B4= 1432r 340650212B= 31062B= 00314B= 003145B对应方程组 5B34421x取 为自由未知量，令 ，即得3xc3=3421cx301其中 为任意常数。c对于任意的 矩阵A，总可以经过初等变换把它化为标准形nmF= nmROE例2 求矩阵A与B的秩5A= B=1520 00213解 在A中，有一个2阶子式 ，其3阶子式 ，所以 =2。12A)(ARB是一个阶梯形矩阵，其非零行有3行，因此 3)(BR若 ，则 =)(ARB例3 设矩阵A= 4161350230求矩阵A的秩，并求
6、A的一个最高阶非零子式。解 对A作初等变换，化为阶梯形矩阵：A= 41613502301286107923484013600841361因为行阶梯形矩阵有3个非零行，所以 =3)(AR对应于阶梯形矩阵，在A中有 0165023所以这个子式便是A的一个最高阶非零子式。例 4 设矩阵，求逆矩阵523011A解 )(AE1052311032011270012171057所以 =1A2175例 5 求解齐次线性方程组 0342241xx解 对系数矩阵 A 施行初等行变换，化为行最简形矩阵：A= 34122463020034210034215由此可得与原方程同解的方程组8可任意取值）43215xx43,(令 ，即得413,c24132215cxx其中 为任意常数，写成向量为21,c= = 4321x2121345cc1034521c例 6 求解非齐次线性方程组232112x解 对增广矩阵（A b）施行初等行变换，化为行最简形矩阵：（A b） = 2311409501，所以方程组无解。3)(2)(bAR例 7 求解非齐次线性方程组2142531xx解 对增广矩阵（A b）施行初等行变换（A b） = 21142012412083612308124100，所以方程组有无穷多解，令 ，得 53)()bAR 2514,cx= = 54321xx2121cc012014c返回
