1、48第五章 矩阵分析本章将介绍矩阵微积分的一些内容.包括向量与矩阵序列的收敛性、矩阵的三种导数和矩阵微分与积分的概念，简要介绍向量与矩阵范数的有关知识.5.1 向量与矩阵的范数从计算数学的角度看，在研究计算方法的收敛性和稳定性问题时，范数起到了十分重要的作用.一、向量的范数定义 1 设 是数域 上 维（数组）向量全体的集合， 是定义在VFnx上的一个实值函数，如果该函数关系还满足如下条件：V1）非负性 对 中任何向量 ，恒有 ，并且仅当 时，才有x00=0；x2）齐次性 对 中任意向量 及 中任意常数 ，有VxFk;xk3）三角不等式 对任意 ，有y,，x则称此函数 （有时为强调函数关系而表示
2、为 ） 为 上的一种向量范数.x V例 1 对 中向量 ，定义nCTnxx,21 ，22n Hx则 为 上的一种向量范数 表示复数 的模.2xn ixix证 首先， 2nxC是 上 的 实 值 函 数 ， 并 且 满 足1）非负性 当 时， ；当 时， ；0x0x492）齐次性 对任意 及 ，有kCnx；221 22 |nkxkx3）三角不等式 对任意复向量 ，有1212(,),(,)TTnnxyy 2221|xyy 212()()()nxxy（由 Cauchy-22111|nnniiiiiiy不等式） 222|(),xy因此 22|所以 确为 上的一种向量范数|xnC例 2 对 或 上向量
3、定义nR12(,)Tnxx，12|x，main则 及 都是 或 上的向量范数，分别称为 1-范数和 范1|xCR数.证 仅对后者进行证明.1）非负性 当 时， ，又显然有 ；0xmax0ii02）齐次性 对任意向量 及复数 ，Tn,21 kaa;iii ikxkxx503）三角不等式 对任意向量 1212(,),(,),TTnnxxyy iiiiyyxmaaiix= .y综上可知 确为向量范数.x上两例中的 是常用的三种向量范数.x,21一般地，对于任何不小于 1 的正数 ，向量 的函数pTnxx,21nipx1也构成向量范数，称为向量的 范数.注（1）当 时，1p1;p（2）当 时， 为 2
4、-范数，它是酉空间范数；当 为实数时，2x ix为欧氏空间范数；12()nix由 范数的存在，可知向量的范数有无穷多种，而且，向量的范数并p不仅限于 范数.在验证向量的范数定义中，三角不等式的过程中常涉及到两个著名的不等式，即：1、Hlder 不等式 设正实数 满足 则对任意的 有,pq1,nxyC111()()nnnpqiiiixyy2、Minkowski 不等式 对任意实数 ,及 有,nxC51（ ）.1111()()()nnnpppiiiiixyxy例 3 设 为 维向量，则T, 1,21 xnxnx各种范数值差距很大.但是，各种范数之间却存在着内在的制约关系，称为范数的等价性.定理 1
5、 设 为有限维线性空间 的任意两种向量范数（它们不限, V于 范数） ，则存在正的常数 ,使对一切向量 ，恒有p12Cx(1)xx1证 如果范数 和 都与一固定范数譬如 2-范数 满足式（1）的2x关系，则这两种范数之间也存在式（1）的关系，这是因为若存在正常数和 ，使2,C12, 21,xCx成立，则显然有 12|xx令 ，则得式（1） ，因此只要对 证明或（1）成立即可.12,CC 2设 是 维的，它的一个基是 ，于是 中的任意向量 可表示为Vn12,nx Vx12nx从而， 可视为 n 个变量 的函数，12nxx 12,n记为 ，易证 是连续函数，事实上，若令12(,)n 12(,)52
6、,则12nxxV.12(,)n12(,),nxx .1 1()n nnx 由于 是常数，因此 与 充分接近时，i,2)in ii就与 充分接近，所以 是连续函数.12(,)n 12(,)n 12(,)n所以在有界闭集 上，21,S 函数 可达到最大值 及最小值 .因此在 中， 不能全12(,)n 2C1Si为零，所以 .记向量0C，1222nyxx则其坐标分量满足 ，2122 1nxx因此， .从而有yS.11 220,nCCxx但 故 .2,xy12即 .1Cx二、矩阵的范数定义 2 设 是数域 F 上所有 矩阵的集合， 是定义在 上的一个VnmAV实值函数，如果该函数关系还满足如下条件：对
7、 中任意矩阵 、 及 中VBF53任意常数 总有k1）非负性 并且仅当 时，才有 ；0A0A0A2）齐次性 ；k3）三角不等式 ；B则称 是 上的一种矩阵范数.AV例 4 对 （或 ）上的矩阵 定义nmCnRA()ija，minjijM1，injijaA122，1mxijMijn则 都是 （或 ）上的矩阵范数.M,21 nCR实用中涉及较多的是方阵的范数，即 的情形.定义 3 设 是数域， 是 上的方阵范数.如果对任意的 ，FnF ,nABF总有，AB则说方阵范数 具有乘法相容性.注意：在某些教科书上，往往把乘法相容性直接纳入方阵范数的定义中作为第 4 个条件，在读书时，只要注意到各自定义的内
8、涵就可以了.例 5 对 上的矩阵 定义 ，则 是一种矩阵nCAijaijnjia,1mx范数，并且具备乘法相容性.证 非负性与齐次性显然成立，另两条证明如下：三角不等式54ijijbanBAmxijij；乘法相容性 nkkjinkji babaAB11mxx，BAijij证得 为矩阵范数且具有乘法相容性.并不是所有的方阵范数都具有乘法相容性.例如对于 上的方阵范数2R就不具备相容性条件.此时M.ijiMaA2,1mx取 ，10,0B则有 ，MA而 .2定义 4 如果 阶矩阵 的范数 与 维向量 的范数 ，使对任意 阶nAnxn矩阵 及任意 维向量 均有 ，则称矩阵范数 与向量范数AxA是相容的
9、.x定理 2 设 是某种向量范数，对 阶矩阵 定义xnAxxA10maa55（2）则 为方阵范数，称为由向量范数 导出的矩阵范数，而且它具有乘法相Ax容性并且与向量范数 相容.x证 首先可证，由（2）式定义的函数关系 满足与向量范数 的相|A|x容性.对于任意 阶矩阵 及 维向量 ，当 时，有nAnx0，0|ma|yx即 |;Ax（3）而当 时， ，于是总有（3）式成立.0x|0|Axx容易验证 满足范数定义中的非负性、齐次性及三角不等式三个条件，|因而 是一种方阵范数.并且，对任意 阶矩阵 ，利用（2）式和（3）n,AB式可得.000maxaxmaxABB即说矩阵范数 具备乘法相容性.一般地
10、，把由向量 范数 导出的矩阵范数记作 .下面看常用的ppxpA三种矩阵范数：例 6 证明：对 n 阶复矩阵 ，有ijAa1） ，称为 A 的列和范数.1maxijjnA2） ，称为 A 的行和范数.1ijjn56证 1）设 .若 A 按列分块为11maxnijikjw12(,)n则 .任意 维向量 ，有1kjjn12(,)Tnxx211121()ma.n nnjjAxxxw 于是，对任意非零向量 有 .x1A以下证明存在非零向量 使 .事实上，设 是第 个分量为 1ke1kwke而其余分量全为 0 的向量，则 ,且1k=,1kikAean=即 .1kw2）的证明与 1）相仿，留给读者去完成.例
11、 7 证明对 阶复矩阵 ，有nA，21maxiin这里 是 的奇异值，称此范数为 的谱范数.i,21A证 设 的全部特征根为 不妨设 .于是HA12,n 1maxin.因为 为 矩阵，故有酉矩阵 ，使得11maxiinHU.,UAVdiag12n()如设 则 是 相应于特征根 的单位特征向量，即有12(,)nu iuHi57.,HiiAu21iu对任意满足 的复向量 ，有2|1x(,)Tnxx|)HAHU令 ，则 ，说明 亦为单位向量.若设HyUx22|1yxy,则12(,)Tn 21|iiy于是 .2211| |nHiAx即有 .12由 的任意性，便得 x211maxA特别取 ，则有 ，1u1HHuu即 .2A这说明 在单位球面 上可取到最大值 ，从而证明了 x2,nxC1211max各种矩阵范数之间也具有范数的等价性定理 3 设 是任意两种矩阵范数 则有正实数 使对一切矩阵,aA 12,C恒有 12aCA5.2 向量与矩阵序列的收敛性在这一节里，我们将把数列极限的概念，扩展到向量序列与矩阵序列上去.
