1、第一部分 力物体的平衡第一讲 力的处理一、矢量的运算1、加法表达： a+ b = c 。名词： 为“和矢量”。法则：平行四边形法则。如图 1 所示。和矢量大小：c = cosab22 ，其中 为 a和 b的夹角。和矢量方向： c在 a、 之间，和 a夹角 = arcsin cosa2in22、减法表达： = b 。名词： c为“被减数矢量”，为“减数矢量”， a为“差矢量”。法则：三角形法则。如图 2 所示。将被减数矢量和减数矢量的起始端平移到一点，然后连接两时量末端，指向被减数时量的时量，即是差矢量。差矢量大小：a = cosb2 ，其中 为 c和 b的夹角。差矢量的方向可以用正弦定理求得。
2、一条直线上的矢量运算是平行四边形和三角形法则的特例。例题：已知质点做匀速率圆周运动，半径为 R ，周期为 T ，求它在 41T 内和在 2T 内的平均加速度大小。解说：如图 3 所示，A 到 B 点对应 41T 的过程，A 到 C 点对应 21T 的过程。这三点的速度矢量分别设为 v、 B和。根据加速度的定义 a= tv0得： ABa= At，ACa= Atv由于有两处涉及矢量减法，设两个差矢量 1v= B A ， 2v= C A，根据三角形法则，它们在图 3 中的大小、方向已绘出（ 2的“三角形”已被拉伸成一条直线）。本题只关心各矢量的大小，显然： Av= B = C = TR2，且： 1v
3、 = 2A= TR， 2v = 2 A= TR4所以： ABa= 1tv= 4 = 28， ACa= 2t= 4= 28。（学生活动）观察与思考：这两个加速度是否相等，匀速率圆周运动是不是匀变速运动？答：否；不是。3、乘法矢量的乘法有两种：叉乘和点乘，和代数的乘法有着质的不同。 叉乘表达： ab = c名词： 称“矢量的叉积”，它是一个新的矢量。叉积的大小：c = absin，其中 为 a和 b的夹角。意义：的大小对应由 a和 b作成的平行四边形的面积。叉积的方向：垂直 和 确定的平面，并由右手螺旋定则确定方向，如图 4 所示。显然， ab a，但有： b= a 点乘表达： = c名词：c 称
4、“矢量的点积”，它不再是一个矢量，而是一个标量。点积的大小：c = abcos，其中 为 a和 b的夹角。二、共点力的合成1、平行四边形法则与矢量表达式2、一般平行四边形的合力与分力的求法余弦定理（或分割成 Rt）解合力的大小正弦定理解方向三、力的分解1、按效果分解2、按需要正交分解第二讲 物体的平衡一、共点力平衡1、特征：质心无加速度。2、条件： F= 0 ，或 x = 0 ， yF = 0例题：如图 5 所示，长为 L 、粗细不均匀的横杆被两根轻绳水平悬挂，绳子与水平方向的夹角在图上已标示，求横杆的重心位置。解说：直接用三力共点的知识解题，几何关系比较简单。答案：距棒的左端 L/4 处。（
5、学生活动）思考：放在斜面上的均质长方体，按实际情况分析受力，斜面的支持力会通过长方体的重心吗？解：将各处的支持力归纳成一个 N ，则长方体受三个力（ G 、f 、N）必共点，由此推知，N 不可能通过长方体的重心。正确受力情形如图 6 所示（通常的受力图是将受力物体看成一个点，这时，N 就过重心了）。答：不会。二、转动平衡1、特征：物体无转动加速度。2、条件： M= 0 ，或 M+ =M- 如果物体静止，肯定会同时满足两种平衡，因此用两种思路均可解题。3、非共点力的合成大小和方向：遵从一条直线矢量合成法则。作用点：先假定一个等效作用点，然后让所有的平行力对这个作用点的和力矩为零。第三讲 习题课1
6、、如图 7 所示，在固定的、倾角为 斜面上，有一块可以转动的夹板（ 不定），夹板和斜面夹着一个质量为 m 的光滑均质球体，试求： 取何值时，夹板对球的弹力最小。解说：法一，平行四边形动态处理。对球体进行受力分析，然后对平行四边形中的矢量 G 和N1 进行平移，使它们构成一个三角形，如图 8 的左图和中图所示。由于 G 的大小和方向均不变，而 N1的方向不可变，当 增大导致 N2 的方向改变时，N2的变化和 N1 的方向变化如图 8 的右图所示。显然，随着 增大，N1 单调减小，而 N2 的大小先减小后增大，当 N2垂直 N1 时，N2 取极小值，且 N2min = Gsin。法二，函数法。看图
7、 8 的中间图，对这个三角形用正弦定理，有：sinN2= iG，即：N2 = sin， 在 0 到 180之间取值，N2 的极值讨论是很容易的。答案：当 = 90时，甲板的弹力最小。2、把一个重为 G 的物体用一个水平推力 F 压在竖直的足够高的墙壁上，F 随时间 t 的变化规律如图 9 所示，则在 t = 0 开始物体所受的摩擦力 f 的变化图线是图 10 中的哪一个？解说：静力学旨在解决静态问题和准静态过程的问题，但本题是一个例外。物体在竖直方向的运动先加速后减速，平衡方程不再适用。如何避开牛顿第二定律，是本题授课时的难点。静力学的知识，本题在于区分两种摩擦的不同判据。水平方向合力为零，得
8、：支持力 N 持续增大。物体在运动时，滑动摩擦力 f = N ，必持续增大。但物体在静止后静摩擦力 f G ，与 N 没有关系。对运动过程加以分析，物体必有加速和减速两个过程。据物理常识，加速时，f G ，而在减速时 f G 。答案：B 。3、如图 11 所示，一个重量为 G 的小球套在竖直放置的、半径为 R的光滑大环上，另一轻质弹簧的劲度系数为 k ，自由长度为L（L2R），一端固定在大圆环的顶点 A ，另一端与小球相连。环静止平衡时位于大环上的 B 点。试求弹簧与竖直方向的夹角 。解说：平行四边形的三个矢量总是可以平移到一个三角形中去讨论，解三角形的典型思路有三种：分割成直角三角形（或本来
9、就是直角三角形）；利用正、余弦定理；利用力学矢量三角形和某空间位置三角形相似。本题旨在贯彻第三种思路。分析小球受力矢量平移，如图 12 所示，其中 F 表示弹簧弹力，N 表示大环的支持力。（学生活动）思考：支持力 N 可不可以沿图 12 中的反方向？（正交分解看水平方向平衡不可以。）容易判断，图中的灰色矢量三角形和空间位置三角形 AOB 是相似的，所以： RABGF由胡克定律：F = k（ - R） 几何关系： = 2Rcos 解以上三式即可。答案：arccos )GkR(2L。（学生活动）思考：若将弹簧换成劲度系数 k较大的弹簧，其它条件不变，则弹簧弹力怎么变？环的支持力怎么变？答：变小；不
10、变。（学生活动）反馈练习：光滑半球固定在水平面上，球心 O的正上方有一定滑轮，一根轻绳跨过滑轮将一小球从图 13所示的 A 位置开始缓慢拉至 B 位置。试判断：在此过程中，绳子的拉力 T 和球面支持力 N 怎样变化？解：和上题完全相同。答：T 变小，N 不变。4、如图 14 所示，一个半径为 R 的非均质圆球，其重心不在球心 O 点，先将它置于水平地面上，平衡时球面上的 A 点和地面接触；再将它置于倾角为 30的粗糙斜面上，平衡时球面上的 B 点与斜面接触，已知 A 到 B 的圆心角也为 30。试求球体的重心 C 到球心 O 的距离。解说：练习三力共点的应用。根据在平面上的平衡，可知重心 C
11、在 OA 连线上。根据在斜面上的平衡，支持力、重力和静摩擦力共点，可以画出重心的具体位置。几何计算比较简单。答案： 3R 。（学生活动）反馈练习：静摩擦足够，将长为 a 、厚为 b 的砖块码在倾角为 的斜面上，最多能码多少块？解：三力共点知识应用。答：ctgba。4、两根等长的细线，一端拴在同一悬点 O 上，另一端各系一个小球，两球的质量分别为m1 和 m2 ，已知两球间存在大小相等、方向相反的斥力而使两线张开一定角度，分别为 45 和 30，如图 15 所示。则m1 : m2为多少？解说：本题考查正弦定理、或力矩平衡解静力学问题。对两球进行受力分析，并进行矢量平移，如图 16 所示。首先注意
12、，图 16 中的灰色三角形是等腰三角形，两底角相等，设为 。而且，两球相互作用的斥力方向相反，大小相等，可用同一字母表示，设为 F 。对左边的矢量三角形用正弦定理，有：singm1= 45iF同理，对右边的矢量三角形，有： singm2= 30iF解两式即可。答案：1 ： 2 。（学生活动）思考：解本题是否还有其它的方法？答：有将模型看成用轻杆连成的两小球，而将 O 点看成转轴，两球的重力对 O 的力矩必然是平衡的。这种方法更直接、简便。应用：若原题中绳长不等，而是 l1 ：l2 = 3 ：2 ，其它条件不变，m1 与 m2 的比值又将是多少？解：此时用共点力平衡更加复杂（多一个正弦定理方程）
13、，而用力矩平衡则几乎和“思考”完全相同。答：2 ：3 。5、如图 17 所示，一个半径为 R 的均质金属球上固定着一根长为 L 的轻质细杆，细杆的左端用铰链与墙壁相连，球下边垫上一块木板后，细杆恰好水平，而木板下面是光滑的水平面。由于金属球和木板之间有摩擦（已知摩擦因素为 ），所以要将木板从球下面向右抽出时，至少需要大小为 F 的水平拉力。试问：现要将木板继续向左插进一些，至少需要多大的水平推力？解说：这是一个典型的力矩平衡的例题。以球和杆为对象，研究其对转轴 O 的转动平衡，设木板拉出时给球体的摩擦力为 f ，支持力为 N ，重力为 G ，力矩平衡方程为：f R + N（R + L）= G（
14、R + L） 球和板已相对滑动，故：f = N 解可得：f = )(再看木板的平衡，F = f 。同理，木板插进去时，球体和木板之间的摩擦 f= RL)(G= F。答案：FRL。第四讲 摩擦角及其它一、摩擦角1、全反力：接触面给物体的摩擦力与支持力的合力称全反力，一般用 R 表示，亦称接触反力。2、摩擦角：全反力与支持力的最大夹角称摩擦角，一般用 m 表示。此时，要么物体已经滑动，必有：m = arctg（ 为动摩擦因素），称动摩擦力角；要么物体达到最大运动趋势，必有：ms = arctgs（s 为静摩擦因素），称静摩擦角。通常处理为 m = ms 。3、引入全反力和摩擦角的意义：使分析处理物
15、体受力时更方便、更简捷。二、隔离法与整体法1、隔离法：当物体对象有两个或两个以上时，有必要各个击破，逐个讲每个个体隔离开来分析处理，称隔离法。在处理各隔离方程之间的联系时，应注意相互作用力的大小和方向关系。2、整体法：当各个体均处于平衡状态时，我们可以不顾个体的差异而讲多个对象看成一个整体进行分析处理，称整体法。应用整体法时应注意“系统”、“内力”和“外力”的涵义。三、应用1、物体放在水平面上，用与水平方向成 30的力拉物体时，物体匀速前进。若此力大小不变，改为沿水平方向拉物体，物体仍能匀速前进，求物体与水平面之间的动摩擦因素。解说：这是一个能显示摩擦角解题优越性的题目。可以通过不同解法的比较
16、让学生留下深刻印象。法一，正交分解。（学生分析受力列方程得结果。）法二，用摩擦角解题。引进全反力 R ，对物体两个平衡状态进行受力分析，再进行矢量平移，得到图 18 中的左图和中间图（注意：重力 G 是不变的，而全反力 R 的方向不变、F 的大小不变），m 指摩擦角。再将两图重叠成图 18 的右图。由于灰色的三角形是一个顶角为 30的等腰三角形，其顶角的角平分线必垂直底边故有：m = 15。最后，= tgm 。答案：0.268 。（学生活动）思考：如果 F 的大小是可以选择的，那么能维持物体匀速前进的最小 F 值是多少？解：见图 18，右图中虚线的长度即 Fmin ，所以，Fmin = Gsi
17、nm 。答：Gsin15（其中 G 为物体的重量）。2、如图 19 所示，质量 m = 5kg 的物体置于一粗糙斜面上，并用一平行斜面的、大小 F = 30N 的推力推物体，使物体能够沿斜面向上匀速运动，而斜面体始终静止。已知斜面的质量 M = 10kg ，倾角为 30，重力加速度 g = 10m/s2 ，求地面对斜面体的摩擦力大小。解说：本题旨在显示整体法的解题的优越性。法一，隔离法。简要介绍法二，整体法。注意，滑块和斜面随有相对运动，但从平衡的角度看，它们是完全等价的，可以看成一个整体。做整体的受力分析时，内力不加考虑。受力分析比较简单，列水平方向平衡方程很容易解地面摩擦力。答案：26.0
18、N 。（学生活动）地面给斜面体的支持力是多少？解：略。答：135N 。应用：如图 20 所示，一上表面粗糙的斜面体上放在光滑的水平地面上，斜面的倾角为。另一质量为 m 的滑块恰好能沿斜面匀速下滑。若用一推力 F 作用在滑块上，使之能沿斜面匀速上滑，且要求斜面体静止不动，就必须施加一个大小为 P = 4mgsincos 的水平推力作用于斜面体。使满足题意的这个 F 的大小和方向。解说：这是一道难度较大的静力学题，可以动用一切可能的工具解题。法一：隔离法。由第一个物理情景易得，斜面于滑块的摩擦因素= tg对第二个物理情景，分别隔离滑块和斜面体分析受力，并将 F 沿斜面、垂直斜面分解成 Fx 和 F
19、y ，滑块与斜面之间的两对相互作用力只用两个字母表示（N 表示正压力和弹力，f 表示摩擦力），如图 21 所示。对滑块，我们可以考查沿斜面方向和垂直斜面方向的平衡Fx = f + mgsinFy + mgcos= N且 f = N = Ntg综合以上三式得到：Fx = Fytg+ 2mgsin 对斜面体，只看水平方向平衡就行了P = fcos+ Nsin即：4mgsincos=Ncos+ Nsin代入 值，化简得：Fy = mgcos 代入可得：Fx = 3mgsin最后由 F =2yx解 F 的大小，由 tg= xyF解 F 的方向（设 为 F 和斜面的夹角）。答案：大小为 F = mg 2sin81，方向和斜面夹角 = arctg(ctg31)指向斜面内部。法二：引入摩擦角和整体法观念。仍然沿用“法一”中关于 F 的方向设置（见图 21 中的 角）。先看整体的水平方向平衡，有：Fcos(- ) = P 再隔离滑块，分析受力时引进全反力 R 和摩擦角 ，由于简化后只有三个力（R、mg 和F），可以将矢量平移后构成一个三角形，如图 22 所示。在图 22 右边的矢量三角形中，有： )sin(F= )(90sinmg= )cos(g注意：= arctg= arctg(tg) = 解式可得 F 和 的值。
