1、 1 南昌市高中新课程方案试验高三复习训练题 数学（十三） （圆锥曲线 ） 二六年七月 命题：南昌三中 张金生 一、选择题（本小题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1.准线方程为 x=1 的 抛物线的 标准方程是（ ） A. 2 2yx B. 2 4yx C. 2 2yx D. 2 4yx 2.曲线 22 1( 6 )1 0 6xy mmm 与曲线 22 1 ( 5 9 )59xy mmm 的 ( ) A.焦距相等 B.离心率相等 C.焦点相同 D.准线相同 3已知两定点 1( 1,0)F 、 2(1,0)F 且 12FF 是 1PF 与 2PF 的等差中项，则动点 P 的轨迹方
2、程是（ ） A. 22116 9xy B. 22116 12xy C. 22143xy D. 22134xy 4 已知双曲线 222 1( 2 )2xy aa 的两条渐近线的夹角为3，则双曲线的离心率为 （ ） （ A） 233 （ B） 263 （ C） 3 （ D） 2 5. 双曲线 22 1( 0)xy mnmn 的 离心率为 2, 有一个 焦点与抛物线 2 4yx 的焦点重合 ,则 mn 的值为 ( ) A.316 B.38 C.163 D.83 6. 设双曲线以 椭圆 22125 9xy长轴的两个端点为焦点，其 准线过椭圆的焦点，则 双曲线的渐近线的 斜率为（ ） A. 2 B. 4
3、3 C. 12 D. 34 7. 抛物线 24yx 上的一点 M 到焦点的距离为 1，则点 M 的纵坐标是（ ） A. 1716 B. 1516 C. 78 D. 0 8.直线 y=x+3 与曲线 9y2 - 4xx =1 交点的个数为 （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 9 过 抛物线 2 4yx 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、 B 两点，它们的横坐标之和等于 5，则这样的直线（ ） A. 不存在 B. 有无穷多条 C. 有且仅有一 条 D. 有且仅有两条 2 10.离心率为黄金比 512的椭圆称为“优美椭圆” .设 22 1( 0 )xy abab 是优美椭圆， F、A分
4、别是它的左焦点和右顶点， B 是它的短轴的一个顶点，则 FBA 等于（ ） A.60 B.75 C.90 D.120 11.M 是 2yx 上的动点， N 是圆 22( 1) ( 4 ) 1xy 关于直线 x-y+1=0 的对称曲线 C 上的一点，则 |MN|的最小值是（ ） A. 1112 B. 1012 C.2 D. 31 12.点 P(-3,1)在椭圆 22 1( 0 )xy abab 的左准线上，过点 P 且方向向量为 (2, 5)a的光线，经直线 y=-2 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的 离心率为（ ） A. 33 B.13 C. 22 D.12 二 .填空题（本大题共 4小题
5、，每小题 4 分，共 16分） 13.如果双曲线 5x 204 22 y 上的一点 P 到双曲线右焦点的距离是 3，那么 P点到左准线的距离是 。 14.以曲线 y x82 上的任意一点为圆心作圆与直线 x+2=0 相切，则这些圆必过一定点，则这一定点的坐标是 _. 15.设双曲线 2222 1( 0 , 0 )xy abab 的离心率 2,2e ，则两条渐近线夹角的取值范围是 . 16.如图，把椭圆 22125 16xy的长轴 AB 分成 8 等份，过每个分点作 x 轴的垂线交椭圆的上半部 分于 1 2 3 4 5 6 7, , , , , ,P P P P P P P七 个点， F 是椭圆
6、的一个焦点， 则 1 2 3 4 5 6 7P F P F P F P F P F P F P F . 三、解答题（本大题共 6 小题，共 74 分） 17.求中心在坐标原点，对称轴为坐标轴且经过点（ 3， -2），一条 渐近线的倾斜角为 6 的双曲线方程。 18已知三点 P（ 5， 2）、 1 F （ 6， 0）、 2 F （ 6， 0）。 （ 1）求 以 1F 、 2F 为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程； （ 2）设点 P、 1F 、 2F 关于直线 y x 的对称点分别为 P 、 1F 、 2F ，求以 1F 、 2F 为焦 点且过点 P 的双曲线的标准方程。 3 19 P 为椭圆 C
7、： 22 10yx abab 上一点， A、 B 为圆 O： 2 2 2xyb上的两个不同的点，直线 AB 分别交 x 轴， y轴于 M、 N 两点且 0PA OA， 0PB OB， O 为坐标原点 .（ 1） 若椭圆的准线为 253y ，并且 22222516| | | |abO M O N，求椭圆 C 的方程 . （ 2） 椭圆 C上是否存在满足 0PA PB的 点 P？若存在，求出存在时 a ,b 满足的条件；若不存在，请说明理由 . 20(12 分 ).如图， M 是抛物线 2yx 上的一点，动弦 ME、 MF 分别交 x 轴于 A、 B 两点，且|MA|=|MB|.(1)若 M 为定
8、点，证明：直线 EF 的斜率为定值； (2)若 M 为 动点，且 90EMF，求 EMF 的重心 G 的 轨迹方程 . 21 已知双曲线 C 的中点在原点，抛物线 2 8yx 的焦点是双曲线 C 的一个焦点，且双曲线过点 C( 2, 3 ).(1) 求 双曲线 C 的方程 ;(2) 设双曲线 C 的 左顶点为 A，右焦点为 F，在第一象限内 任取双曲线上一点 P，试问是 否存在常数 ( 0) ，使得 PFA PAF 恒成立？并 证明你的结论。 22 已知 M(-3,0) N(3,0),P 为坐标平面上的动点，且直线 PM 与直线 PN 的斜率之积为常数m(m -1,m 0).(1)求 P 点的
9、轨迹方程并讨论轨迹是什么曲线？ (2)若 59m , P 点的轨迹为曲线 C,过点 Q(2,0)斜率为 1k 的直线 1 与曲线 C 交于不同的两点 A B,AB 中点为 R,直线 OR(O为坐标原点 )的斜率为 2k ，求证 12kk 为定值；（ 3）在（ 2）的条件下，设 QB AQ ，且 2,3 ，求 1 在 y轴上的截距的变化范围 . 南昌市高中新课程方案试验高三复习训练题 数学（十三）（圆锥曲线）参考解答 一、选择题（本小题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1.B 2.A 3. C 4.D 5.A 6.C 7.B 9.D 10.C 11.A 12.A 二 .填空题（本大
10、题共 4小题，每小题 4 分，共 16分） M A B E F x y 4 13. 143 14.（ 2， 0） 15. 3,2 16.35 三、解答题 17.解： 渐近线方程为 33yx ,设 双曲线 方程为 223xy,将点（ 3， -2）代入求得 3 ,所以 双曲线 方程为 221 13yx. 18 解： （ 1）由题意，可设所求椭圆的标准方程为22ax + 122by )0( ba ，其半焦距 6c 。 |2 21 PFPFa 5621211 2222 ， a 53 ， 93645222 cab ，故所求椭圆的标准方程为 452x + 192y ； （ 2）点 P（ 5， 2）、 1
11、F （ 6， 0）、 2 F （ 6， 0）关于直线 y x 的对称点分别为： )5,2(P 、 1F （ 0， -6）、 2F （ 0， 6） 设所求双曲线的标准方程为212ax- 1212 by )0,0( 11 ba， 由题意知半焦距 61c ， |2 211 FPFPa 5421211 2222 ， 1a 52 ， 162036212121 acb ，故所求双曲线的标准方程为 202y - 1162x 。 19解：（ 1）设 11( , )Ax y ， 22( , )Bx y , 00( , )Px y 易求得 211:PA x x y y b， 222:PB x x y y b，则
12、21 0 1 0x x y y b， 22 0 2 0x x y y b 于是 200:AB x x y y b（ 000xy ），可求得 20( ,0)bM x 20(0, )bN y 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 20 0 0 02 2 4 4 4 4 2 2 2 2220025()16a x b y x ya b a b a ab b b b b b a bO M O Nxy 再由条件 2 253ac ，以及 2 2 2a b c易得 5a ， 4b ， 于是所求椭圆为 22125 16yx， （ 2）设存在 00( , )Px y 满足要求， 则当且仅当 OBPA 为正方形
13、。 2OP b ，即2 2 200 2 (1)x y b ， 220022 1 0 ( 2 )yx abab 5 解（ 1）（ 2）得 2 2 220 22( 2 )b a bx ab ， 2220 22bay ab 所以 （）当 20ab时，存在 00( , )Px y 满足要求； （）当 02b a b 时，不存在 00( , )Px y 满足要求 . 20. 解：设 200( , )M y y ,直线 ME 的斜率为 k(k0),则直线 MF 的斜率为 -k, 直线 ME 的方程为200( ).y y k x y 由 2002()y y k x yyx 得 2 00(1 ) 0ky y
14、y ky .解得 000 (1 )E y kyyy k, 所以 01 kyE ky 202(1 )E kyx k. 同 理 可 得 20021 (1 ),.FFky kyyxkk 012EFEFEFyyk x x y （定值） (2)当 90EMF 时， 45MAB,所以 k=1,由（ 1）得 200(1 ) ,1 )E y y. 200(1 ) , (1 )F y y 。设 重心 G(x,y),则有200233333M E FM E Fyx x xxyy y yy , 消去参数 0y 得 2 12( 0 )9 2 7y x x . 21. 解： (1)抛物线焦点为 F(2,0),设双曲线方程
15、为 222214 xybb,将点 ( 2, 3 )代入得 2 3b ,所以双曲线方程为 22 13yx . (2)当 PF x轴时 ,P(2,3),|AF|=1+2=3, 9 0 , 4 5P F A P A F ,此时 =2. 以下证明当 PF 与 x轴不垂直时 2PFA PAF 成立 . 设 P( 0x , 0y ),则 PAk =tan PAF = 00 1yx , 00ta n 2PFyk P F A x . tan2 PAF =221 PAPAkk= 00222( 1)( 1)xy. 由 22001 13xy得 22003( 1)yx代入上式 , 得tan2 PAF = 00021
16、3( 1)yxx = 00 2yx = tan PFA 恒成立 . 2(0 , ) ( , )2 2 3PFA , (0 , ) ( , )4 4 3PAF , 2PFA PAF 恒成立 . 6 22.解：（ 1）由 ,33yy mxx 得 22( 9)y m x，若 m= -1，则方程为 229xy，轨迹为圆； 若 10m ，方程为 22199xym ，轨迹为椭圆；若 0m ，方程为 22199xym ，轨迹为双曲线。（ 2） 59m 时，曲线 C 方程为 22195xy，设 1 的方程为： 2x ty与曲线 C 方程联立得： 22( 5 9 ) 2 0 2 5 0t y ty ，设 1 1
17、 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，则12 22059tyy t ，12 22559yy t ，可得2218 10( , )5 9 5 9tR tt，12 1 5 5()99tkk t 。 （ 3）由 BQ QA 得 21yy 代入 得：1 220(1 ) 59ty t ， 21 22559y t ， 式 平 方 除 以 式得： 221 1 62 59tt ，而 1 2 在 2,3 上 单 调 递 增 ，1 1 4223 ， 2 23 5 9 24 16t t， 1 在 y轴上的截距为 b， 222()b t = 24 28 ,129t ， 2 7 2 7 2 3 , , 2 3 33b 。
