1、 1 南开大学 2005 年数学分析考研试题 1.计算二重积分2DI x ydxdy，其中 2, : 1D x y R x y . 2.设 u u x 为由方程组 , , 0, , 0u f x y zg x y zh x y z 确定的隐函数，求 dudx . 3.求 极限2 2 2 2 2 21 1 1l im 4 1 4 2 4n n n n n . 4.求证 0 sin tf x dtxt 在 0, 上连续 . 5.判断级数11 1 11 1 ! 2 ! !n e n 的敛散性 . 6.设函数 fx在 1,1 上连续可导，且 00f ， （ 1） 求证11nxfnn 在 1,1 上一致
2、收敛； （ 2） 设 11nxS x fnn ，求证 Sx在 1,1 上连续可导 . 7.设 ,Pxy ， ,Qxy 在全平面 2R 上有连续的偏导数，并且对任何 一个 圆周 C , 有 , , 0C P x y d x Q x y d y，求证 QPxy. 8.设 fx在 0,a 上两次可导， 0 0 0f f f a ， 1fa ， 并且对任何 0,xa ，有 1fx .设 ,0 2, 2axxgx aa x x a ， （ 1） 求证 f x g x ； （ 2） 求证存在 0 0,xa ,使得 00f x g x ； （ 3） 求证 2a . 9.设 fx和 gx在区间 ,ab 内有定
3、义，对任何 0,x x a b ， 有 0 0 0f x f x g x x x ， (1)求证 fx在 ,ab 内连续 ; (2) fx在 ,ab 内 左导数、右导数存在。 2 南开大学 2005 年 数学分析 考研 试题 的解 答 1、解 D0xy由 于 关 于 轴 对 称 ， 被 积 函 数 关 于 成 奇 函 数 ， 所 以 该 积 分 为. 2、解 xzfxyffdxduzyx ， 其中 xzxy, 由 00xzhxyhhxzgxyggzyxzyx 求出 ， ,x z z xy z z yh g h gyx g h g h x y y xy z z yh g h gzx g h g
4、h 。 3、 解 原式 . 1 10201211l im a r c sin |2644 ( )nn kd x xn k xn 4、证明 设 ( , ) sina x t t ， 1( , )b x t xt ， 显然对任意 0M ，00| ( , ) | | s i n | 2MMa x t d t td t一致有界， 对每 ),0( x ， 1( , )b x t xt 在 上 (0, )t 单调 ， 110 ( , )b x t x t t ， 且当 t 时， (,)bxt 一致趋于 0， 根据狄利克雷判别法，得0 sint dtxt 在 ),0( x 上一致收敛， 又 txtsin 在
5、 ( , ) (0 , ) (0 , )xt 上连续， 故0 sin() tf x dtxt 在 ),0( x 上连续。 5.解法 1 由泰勒公式)!1(!1!21!111 n ene， 则 1 1 10 ( 1 )1 ! 2 ! ! ( 1 ) ! ( 1 ) !eee n n n ， 而 后者1 ( 1)!nen 收敛，则原级数收敛。 解法 2 利用01!ke k,得 3 原式1 1 1 1 111! ( ) ! ( 1 ) !n k n n k jjk n k j 111( ) 1! ( 1) !j jj ，所以原级数收敛。 6、证明 由于 函数 fx在 1,1 上连续可导，且 00f
6、， fx 在 1,1 上连续，且有界，设 |f x M ； 由拉格朗日中值定理， 221 1 1 | | ( ) | | ( ( ) (0 ) ) | | ( ) | ,x x x M x Mf f f fn n n n n n n n 而21n Mn收敛，由魏尔特拉斯定理，原级数11( ( )nxfnn一致收敛。 因为221| ( ) | ,xMfn n n 所以211( ( ) ) ( )nnxxffn n n n一致收敛 , 于是 可以逐项求导， 且21 1( ) ( )n xs x fnn,它是 连续 的 ，故 )(xs 连续可导 . 7、证明 用 反证 法 ： 假 设存在 ),( 0
7、0 yx ， 有 0),)(00 yxyPxQ， 不妨设 0),)(00 yxyPxQ，由连续函数的局部保号性，知道存在 ),( 00 yx 的 一个邻域 U ， 当 ( , )x y U 时 ，有 0),)( yxyPxQ， 则存在一个圆周 0CU ， ( ) 0DQPP d x Q d y d x d yxy ，这 与已知 条件 矛盾。 所以结论得证。 8、证明 当 20 ax 时， ( ) ( ( ) (0 ) ) ( )f x f x f f x x ， axa 2 时， ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x f x f a f x a a x ， 综上， 成立 )()( xg
8、xf ； )2( 用反证法， 若对任意的 ),0( ax ， 有 ( ) ( )f x g x ， 则在 2ax 时， )( xf 不存在，矛盾。 所以 在 0 0,xa ,使得 00f x g x ； 4 )3( 由（ 1）、（ 2）知， 在 0, a 上， )()( xgxf ， 但 ()fx与 ()gx 不恒等， 所以00( ) ( )aaf x dx g x dx ， 11 ( ) (0 ) 22af a f a ，故 2a 。 9、证明 （ 1） 对任意 1 2 3 1 2 3, , ( , ) ,x x x a b x x x ，由题设条件，得 3 2 2 3 2( ) ( ) (
9、 ) ( )f x f x g x x x ， 1 2 1 2( ) ( ( ) ( )f x f g x x x ， 从而得到 3212 21 2 3 2( ) ( )( ) ( ) () f x f xf x f x gxx x x x ， 即 32212 1 3 2( ) ( )( ) ( ) f x f xf x f xx x x x ， 于是 ()fx在 ),( ba 上是 凸函数， 由此而来，成立 3 1 3 2212 1 3 1 3 2( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) f x f x f x f xf x f xx x x x x x ， 进而 0000( ) ( )
10、( , ) , ( )f x f xF x x x xxx，关于 x 是单调递增的，关于 0x 是单调递增的。 （ 2）对任意 固定 0 ( , )x ab ， 任取 1 2 4 4 0 1 2, , ( , ) ,x x x a b x x x x 则 有 4 0 1 0 2 04 0 1 0 2 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x f x f x f x f x f xx x x x x x ， 则 0000( ) ( )( , ) , ( )f x f xF x x x xxx， 关于 x 单调递增 ，且 有下界， 于是 存在右极限， 即 )( 0 xf 存在， 同理
11、可证 )( 0 xf 存在，由极限的保不等式性，可得 00( ) ( )f x f x 。 于是 ()fx在 ),( ba 内右导数存在 ， ()fx在 ),( ba 内左导数存在 ，且 ( ) ( )f x f x 。 (3)对任意 ab , 3 1 2 4x x x x , 3 1 3 2 1 4 2 43 1 3 2 1 4 2 4( ) ( )f x f f x f x f x f x f x f x f f xx x x x x x x x ， 从而有 5 2121( ) ( )f x f xffxx 于是有 2 1 2 1| | | |f x f x L x x ， 即得 fx在
12、, 上是 Lipschitz 连续的 ,从而 fx在 , 上是连续 , 故可 得知 fx在 I 内连续 . 当 I 有端点时， fx在断点处未必连续 . （注： ()gx 在 ),( ba 上未必有界。 例如 ( ) ln , (0 ,1)f x x x ， 1( ) ( )g x f x x ，在 (0,1) 上是无界的。） 例 1 设 21, 0, 0 1xfx xx ，显然此函数在 0,1 上是凸函数 , 但是 fx在 0,1 上无最小值， fx在 0x 处不连续 . 例 2 设 1fxx ， 0,x ， fx在 0,x 上是凸函数，且有下界， 但是 1fxx 在 0,x 上无最小值 .
