南开大学2003年数学分析考研试题及解答.DOC

1、 1 南开大学 2003年数学分析考研试题及解答 一 设 ,w f x y x y x ，其中 ,f uv s 有二阶连续偏导数，求 xyw . 解：令 u x y， v x y， sx ， 则 x u v sw f f f ； 1 1 1x y u u u v v u v v su svw f f f f f f . 二 设数列 na 非负单增，且 limnn aa ，证明： 112l im n n n nnn a a a a . 证明：因为 na 非负单增， 所以有 11112n n n n nnnn n n na a a a n a n a ， 由 limnn aa ， 1lim nnn

2、 n a a ， 根据夹逼定理，得 112l im n n n nnn a a a a . 三 设 2l n 1 , 00 , 0x x xfxx ，试确定 的取值范围，使 fx分别满足： （ 1） 极限 0limx fx存在； （ 2） fx在 0x 处连续； （ 3） fx在 0x 处可导 . 解（ 1）因为 200l im l im l n 1xxf x x x 2220ln 1limxxxx ， 220ln 1lim 1xxx ， 极限存在的条件为 20，即 2 ， 2 所以当 2 时，极限 0limx fx存在； （ 2） 因为 0lim 0 0x f x f ， 所 以要使 fx在

3、 0x 处连续， 需要求 20， 2 ， 所以当 2 时， fx在 0x 处连续； （ 3） 显然 00f ， 12000l im l im l n 1xxf x f xxx 2120ln 1limxxxx ， 要使其存在且为 0，必须 10 ， 1 ， 所以当 1 时， fx在 0x 处可导 . 四 设 fx在 , 上连续，证明积分 22L f x y x d x y d y与积分路径无关 . 证明：设 2201, 2 xyU x y f t d t ， 则有 22,d U x y f x y x d x y d y ， 即存在势函数， 所以 22LLf x y x d x y d y d

4、U 与积分路径无关 . 五 设 fx在 ,ab 上可导， 02abf ，且 f x M ， 证明： 24baMf x d x b a . 证明：因为 fx在 ,ab 上可导， 则由拉格朗日中值定理，存在 在 x 与 2ab 之间，使得 3 22a b a bf x f f x ， 由题设条件 02abf ， f x M ， 得 2abf x M x ， ,x a b ， 从而 bbaaf x d x f x d x2ba abM x dx2222ab baba a b a bM x dx x dx 24M ba. 六 设 na 单调递减，且收敛于 0，1 sinnn an发散， （ 1） 证明

5、：1 sinnn an收敛； （ 2） 证明 lim 1nn nuv ，其中 1 s in s innn k kku a k a k， 1 s in s innn k kkv a k a k . 证明：（ 1）因为11sin1sin2nkk ， 即1sinnk k有界，而 na 单调递减且收敛于 0， 据迪利克列判别法，知1 sinnn an收敛； （ 2） 因为1 sinnn an发散， 4 1 | sin |nnkkS a k， 有 limnn S ， 1 sinnn an收敛， 1 sinnnkkQ a k， 有 limnn QQ 存在， lim 0nnnQS ， n n nu S Q，

6、 n n nv S Q， 11nn n n nnn n nnQu S Q SQv S QS， 故有 lim 1nn nuv . 七 设 1s intx xF t e dxx ， 证明：（ 1） 1s intx xF t e dxx 在 0, 上一致收敛； （ 2） Ft在 0, 上连续 . 证明：（ 1）由狄利克莱判别法知1sinxdxx 收敛， 从而在 0t 上一致收敛； 对每一 0t ， txe 关于 1,x 单调，且一致有界， 01txe， 1, 0xt， 由阿贝尔判别法知 1sintx xe dxx 关于 0,t 一致收敛 . （ 2） 对任意 0 0,t ，存在 ,0 ，使得 0 ,

7、t ， 5 1sintx xe dxx 在 , 上一致收敛， 且由 sintx xex在 , 1, ,xt 上连续， 由含参变量积分一致收敛的性质，知 Ft在 0t 连续， 由 0t 的任意性，得 Ft在 0, 上连续 . 八 设 nfx 是在 ,ab 上有定义的函数列，满足 （ 1） 对任意 0 ,x ab ， nfx 是一个有界数列； （ 2） 对任意 0 ，存在一个 0 ，使当 ,x y a b ，且 xy时，对一切自然数 n ，有 nnf x f y . 求证：存在一个子序列 knfx在 ,ab 上一致收敛 . 注：此题即 是著名的阿尔采拉定理 . 证明：（ 1）证明 nfx 在 ,a

8、b 上一致有界 . 对 1 ，存在 0 ，当 ,x y a b ，且 xy时， 对于一切 *nN 有 1nnf x f y. 取正整数 N ，使得 baN ， 记k bax a k N， 0,1,kN ， 由 nkfx 是有界数列， 存在 0M ，使得 nkf x M ， 1 , 2 , , 0 ,1 ,n k N， 对任意 ,x ab ，存在 k 使得 1,kkx x x ， k baxx N n n n k n kf x f x f x f x 6 1 M ， 1,2,n ， 即得 nfx 在 ,ab 上一致有界 . （ 2） 设 12, , , ,kr r r 是 ,ab 中的所有有理数

9、， 对每一 k ， nkfr 是有界数列， 由聚点定理，存在收敛的子列，取子列的子列，利用对角线法则，可选到 nf 的子列 knf， 使得，对每一 ir ， knifr收敛， 下证 knf在 ,ab 上一致收敛 . 对任意 0 ，存在一个 0 ，当 ,x y a b ， xy时，有 nnf x f y ， 取正整数 N 充分大，使得 baN ，i bax a i N， 0,1,iN ， 区间 ,ab 被分割成 N 个小区间 1,iixx ， 0,1,iN ， 在每一区间 1,iixx 上取出一个有理点 i ， 0 ,1, 2 , 1iN， 由于 knif 收敛， 对上述 0 ，存在 *KN ，当 ,kl K 时， kln i n iff ， 对任意 ,x ab ，存在一个区间 1,iixx ，使得 1,iix x x ， i bax N ， 综合以上不等式，得 klnnf x f x k k k l l ln n i n i n i n i nf x f f f f f x 3 ， 即得 knfx在 ,ab 上是一致柯西列 ，故 knfx在 ,ab 上一致收敛 .