1、第 1 页 共 7 页 2010 年高考数学试题分类汇编 向量 （ 2010 湖南文数） 6. 若非零向量 a， b 满足 | | | |, (2 ) 0a b a b b ，则 a 与 b 的夹角为 A. 300 B. 600 C. 1200 D. 1500 （ 2010 全国卷 2 理数） （ 8） ABCV 中，点 D 在 AB 上， CD 平方 ACB 若 CB auur ，CA buur ， 1a ， 2b ，则 CDuur （ A） 1233ab （ B） 2133ab （ C） 3455ab （ D） 4355ab 【答案】 B 【命题意图】本试题主要考查向量的基本运算，考查角平
2、分线定理 . 【解析】因为 CD 平分 ACB ，由角平分线定理得 AD CA 2=DB CB 1，所以 D 为 AB 的三等分点，且 22A D A B (C B C A)33 ，所以 2 1 2 1C D C A + A D C B C A a b3 3 3 3 ，故选 B. （ 2010 辽宁文数） （ 8） 平面上 ,OAB 三点不共线，设 ,OA a OB b,则 OAB 的面积等于 （ A） 22 2()a b a b （ B） 22 2()a b a b （ C） 22 21 ()2 a b a b （ D） 22 21 ()2 a b a b 解析：选 C. 22221 1 1
3、 ( )| | | | s in , | | | | 1 c o s , | | | | 12 2 2 | | | |O A B abS a b a b a b a b a b ab 22 21 ()2 a b a b （ 2010 辽宁理数） (8)平面上 O,A,B 三点不共线，设 ,OA=a OB b ，则 OAB 的面积等于 (A) 2 2 2| | | ( )|a b a b (B) 2 2 2| | | ( )|a b a b 第 2 页 共 7 页 (C) 2 2 21 | | | ( )2 |a b a b (D) 2 2 21 | | | ( )2 |a b a b 【答案】
4、 C 【命题立意】本题考查了三角形面积的向量表示，考查了向量的内积以及同角三角函数的基本关系。 【解析】三角形的面积 S=12 |a|b|sin，而 2 2 2 2 2 2 211| | | | ( ) | | | | ( ) c o s ,22a b a b a b a b a b 211| | | | 1 c o s , | | | | s i n ,22a b a b a b a b （ 2010 全国卷 2 文数 ） （ 10） ABC 中，点 D 在边 AB 上， CD 平分 ACB，若 CB = a , CA = b , a = 1 ， b = 2, 则 CD = （ A） 13
5、a + 23 b （ B） 23 a +13 b （ C） 35 a +45 b （ D） 45 a +35 b 【解析】 B：本题考查了平面向量的基础知识 CD 为角平分线， 12BD BCAD AC， AB CB CA a b ， 2 2 23 3 3AD AB a b ， 2 2 2 13 3 3 3C D C A A D b a b a b （ 2010 安徽文数） (3)设向量 (1,0)a , 11( , )22b ,则下列结论中正确的是 (A) ab (B) 22ab (C) /ab (D)ab 与 b 垂直 3.D 【解析】 11( , )22a b = ， ( ) 0a b
6、b，所以 ab与 b 垂直 . 【规律总结】根据向量是坐标运算，直接代入求解，判断即可得出结论 . （ 2010 重庆文数） （ 3）若向量 (3, )am ， (2, 1)b， 0ab ，则实数 m 的值为 （ A） 32 （ B） 32 （ C） 2 （ D） 6 第 3 页 共 7 页 解析： 60a b m ，所以 m =6 （ 2010 重庆理数） (2) 已知向量 a， b 满足 0 , 1, 2 ,a b a b ，则 2ab A. 0 B. 22 C. 4 D. 8 解析： 2ab 22844)2( 222 bbaaba （ 2010 山东文数） （ 12）定义平面向量之间的一
7、种运算“ ”如下：对任意的 ( , )a mn ，( , )b pq ，令 a b mq np，下面说法错误的是 (A)若 a 与 b 共线，则 0ab (B)a b b a (C)对任意的 R ，有 ( ) ( )a b a b (D) 2 2 2 2( ) ( ) | | | |a b a b a b 答案： B （ 2010 四川理数） （ 5 ）设点 M 是线段 BC 的中点，点 A 在直线 BC 外，2 1 6 ,B C A B A C A B A C 则 AM （ A） 8 （ B） 4 （ C） 2 （ D） 1 解析：由 2BC 16，得 |BC| 4 A B A C A B
8、A C B C 4 而 AB AC AM 故 AM 2 答案： C （ 2010 天津文数） （ 9）如图，在 ABC 中， AD AB ， 3BC BD ， 1AD ，则 AC AD = （ A） 23 （ B） 32 （ C） 33 （ D） 3 【答案】 D 【解析】本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识，属于难题。 | | | | c o s | | c o s | | s i nA C A D A C A D D A C A C D A C A C B A C 第 4 页 共 7 页 sin B 3BC 【温馨提示】近几年天津卷中总可以看到平面向量的身影，且均属于中等题或
9、难题，应加强平面向量的基本运算的训练，尤其是与三角形综合的问题。 （ 2010 广东文数） （ 2010 福建文数） （ 2010 全国卷 1 文数） （ 11）已知圆 O 的半径为 1， PA、 PB 为该圆的两条切线， A、 B 为两切点，那么 PA PB 的最小值为 (A) 42 (B) 32 (C) 4 2 2 (D) 3 2 2 11.D【命题意图】 本 小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法 判别式法 ,同时也 考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力 . 【解析 1】 如图所示：设 PA=PB=x ( 0)x , APO= ,则APB=2 ， PO
10、= 21 x ，21sin 1 x ， | | | | c o s 2P A P B P A P B = 22(1 2sin )x =222( 1)1xxx = 422 1xxx，令 PA PB y，则 422 1xxy x ，即 42(1 ) 0x y x y ，由 2x 是实数，所以 2 (1 ) 4 1 ( ) 0yy ， 2 6 1 0yy ，解得 3 2 2y 或 3 2 2y .P A B O 第 5 页 共 7 页 故 m in( ) 3 2 2P A P B .此时 21x. 【解析 2】 设 ,0APB ， 2c os 1 / t a n c os2PA PB PA PB 2
11、222221 s in 1 2 s inc o s 2221 2 s in 2s in s in 换元： 2s i n , 0 12xx ， 1 1 2 12 3 2 2 3xxP A P B xxx 【解析 3】 建系：园的方程为 221xy，设 1 1 1 1 0( , ) , ( , ) , ( , 0 )A x y B x y P x， 221 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0, , 0 0 1A O P A x y x x y x x x y x x 2 2 2 2 2 2 2 21 1 0 0 1 1 0 1 1 02 2 1 2 3 2 2 3P A P B x x x x
12、 y x x x x x （ 2010 四川文数） （ 6）设点 M 是线段 BC 的中点，点 A 在直线 BC 外， 2 16BC ， AB AC AB AC ，则 AM （ A） 8 （ B） 4 （ C） 2 （ D） 1 解析：由 2BC 16，得 |BC| 4 A B A C A B A C B C 4 而 AB AC AM 故 AM 2 答案： C （ 2010 湖北文数） 8.已知 ABC 和点 M 满足 0MA MB MC .若存在实 m 使得AM AC m AM 成立，则 m = 2 2 21 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1, , 2P A P B x x y x x
13、 y x x x x y 第 6 页 共 7 页 A.2 B.3 C.4 D.5 （ 2010 山东理数） (12)定义平面向量之间的一种运算“ ”如下，对任意的 a=(m,n) ，b p,q)（ ，令 a b=mq-np ，下面说法错误的是（ ） A.若 a 与 b 共线，则 a b=0 B. a b=b a C.对任意的 R ，有 a) b= (（ a b) D. 2 2 2 2(a b ) + (a b ) = |a | |b| 【答案】 B 【解析】若 a 与 b 共线，则有 a b=mq-np=0，故 A 正确；因为 b a pn-qm ，而 a b=mq-np ，所以有 a b b a ，故选项 B 错误，故选 B。 【命题意图】本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力。 （ 2010 湖南理数） 4、在 Rt ABC 中， C =90 AC=4，则 ABACuuur uuur 等于 A、 -16 B、 -8 C、 8 D、 16 1.(2010 年 安徽理数 ) 第 7 页 共 7 页 2. （ 2010 湖北理数） 5已知 ABC 和点 M 满足 0M A M B M C + .若存在实数 m 使 得AB AC AMm 成立，则 m= A 2 B 3 C 4 D 5
