1、 2010考研 基础班线性代数 主讲： 尤承业 欢迎使用新东方在线电子教材 考研 基础班 线性代数讲义 第一讲 基本概念 线性代数的主要的基本内容： 线性方程组 矩阵 向量 行列式等 一线性方程组的基本概念 线性方程组的一般形式为 : ,22112222212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa其中未知数的个数 n和方程式的个数 m 不必相等 . 线 性方程组的解是一个 n 个数 1C , 2C , , nC 构成 ,它满足 :当每个方程中的 未知数 1x 都用 1C 替代时都成为等式 . 对线性方程组讨论的主要问题两个 : (1)判断解的情况 .
2、线性方程组的解的情况有三种 :无解 ,唯一解 ,无穷多解 . feydxcbyax 如果两条直线是相交的则有一个解；如果两条直线是重合的则有无穷多个解；如果两条直线平行且 不 重合则无解。 (2)求解 ,特别是在有无穷多 解 时求通 解 . 齐次线性方程组 : 021 nbbb 的线性方程组 .0,0, ,0 总是齐次线性方程组的解 ,称为零解 . 因此齐次线性方程组解的情况只有两种 :唯一解 (即只要零解 )和无穷多解 (即有非零解 ). 二 .矩阵和向量 1.基本概念 矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展 . 矩阵由数排列成的矩形表格 , 两边界以圆括号或方括号 , m 行 n列的表
3、格称为 mn矩阵 . 这些数称为他的元素 ,位于第 i行 j列的元素称为 (i,j)位元素 . 540123 是一个 23 矩阵 . 对于上面的线性方程组 ,称矩阵 mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211和mmnmmnnbbbaaaaaaaaaA21212222111211)( 为其 系数矩阵 和 增广矩阵 . 增广矩阵体现了方程组的全部信息 ,而齐次方程组只用系数矩阵就体现其全部信息 . 2009 年的一个题中 ,一个方程组的 系数矩阵为 210111111,常数列为211 ,则方程组为2.2x-x- 1 ,xxx-1,x-x-xn2321321由 n 个数构成的有序数组称
4、为一个 n 维向量 ,称这 些数为它的 分量 . 零矩阵 :元素都是 0的矩阵 .零向量 :分量都是 0的向量 . 2. 矩阵和向量的关系 书写中可用矩阵的形式来表示向量 :写成一行或写成一列 . 问题 :(3,-2,1)和123 是不是一样 ? 作为向量它们并没有区别 ,但是作为矩阵 ,它们不一样 (左边是 13 矩阵 ,右边是 31矩阵 ).习惯上把它们分别称为行向量和列向量 . 一个 mn的矩阵的每一行是一个 n 维向量 ,称为它的行向量 ; 每一列是一个 m 维向量 , 称为它的列向量 . 3. n 阶矩阵与几个特殊矩阵 nn 的矩 阵叫做 n阶矩阵 . 把 n 阶矩阵的从左上到右下的
5、对角线称为它 对角线 .(其上的元素行号与列号相等 .) 下面列出几类常用的 n阶矩阵 : 对角矩阵 : 对角线外的的元素都为 0的 n阶矩阵 . 数量矩阵 : 对角线上的的元素都等于一个常数 c的对角矩阵 . 单位矩阵 : 对角线上的的元素都为 1的对角矩阵 ,记作 E(或 I). 上三角矩阵 : 对角线下的的元素都为 0的 n阶矩阵 . 下三角矩阵 : 对角线上的的元素都为 0的 n阶矩阵 . 对称矩阵 :满足 AAT 矩阵 .也就是对任何 i,j,(i,j)位的元素和 (j,i) 位的元素总是相等的 n阶矩阵 . 问题 :下列矩阵都是什么矩阵 ? 200000001ccc00000000
6、0710112 001021110000000000对角矩阵 : 、 上三角矩阵 : 、 、 下三角矩阵 : 、 对称矩阵 : 、 三 . 线性运算和转置 1.线性运算 是矩阵和向量所共 有的 . 加 (减 )法 :两个 mn的矩阵 A 和 B 可以相加 (减 ),得到的和 (差 )仍是 mn 矩阵 ,记作 A+B (A-B),法则为对应元素相加 (减 ). 113201602341711540 两个同维数的向量可以相加 (减 ),规则为对应分量相加 (减 ). 数乘 : 一个数 c与一个 mn的矩阵 A可以相乘 ,乘积仍为 mn的矩阵 ,记作 cA,法则为 A 的每个元素乘 c. 一个数 c
7、 与一个 n 维向量 可以相乘 ,乘 积仍为 n 维向量 ,记作 c .法则为 的每个元素乘 c. cEccc000000向量组的线性组合 :设 1 ， 2 ， s 是一组 n维向量 , 1c , 2c , , sc 是一组数 ,则称 ss acacac 2211 为 1 ， 2 ， s 的(以 1c , 2c , , sc 为系数的 线性组合 . 例 :求矩阵680705413A 的列向量 组的系数为 1,1,1 的线性组合 . 解 : 2126674801053 2.转置 把一个 mn 的矩阵 A 行和列互换 ,得到的 nm 的矩阵称为 A 的转置 ,记作 TA . 73850178035
8、1 T TTTTTcAcABABA)()( 321)3.2.1( 即T 四 . 矩阵的初等变换和阶梯形矩阵 1.初等变换 矩阵有 初等行变换和初等列变换 ,它们各有 3类 . 初等行变换 : 交换两行的位置 . 用一个 非 0 的常数乘某一行的各元素 . 把某一行的倍数加到另一行上 . AB. 2.阶梯形矩阵 :一个矩阵称为阶梯形矩阵 ,如果满足 : 如果它有零行 , 非零行 ,则都零行在下 ,非零行在上 . 如果它有非零行 ,则每个非零行的第一 个非 0 元素所在的列号自上而下严格单调上升 . 4410000093000640005623143100000930006420056230431
9、00000930006420056231问题 :对角矩阵 ,上三角矩阵 ,数量矩阵中 ,哪个一定是阶梯形矩阵 ? 200010000 100010110ccc000000一个 n 阶的阶梯形矩阵一定是上三角矩阵 . 问题 :如果 A 是阶梯形矩阵 . (1) A 去掉一行还是阶梯形矩阵吗 ? (2) A 去掉一列还是阶梯形矩阵吗 ? 3. 简单阶梯形矩阵 把阶梯形矩阵的每个非零行的 第一个非 0元素所在的位置称为 台角 . 简单阶梯形矩阵 :是特殊的阶梯形矩阵 ,满足 : 台角位置的元素为 1. 并且其正上方的元素都为 0. 4.用 初等行变换把矩阵化为阶梯形矩阵 每个阶梯形矩阵都可以用初等行
10、变换化为 简单阶梯形矩阵 . 每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵0100060100900103400010100060100900107003101000120200302105023101000122200312105623112120012220031210562316322012220031210562311941111545213136525623119411115452562311313652请注意 : 从阶梯形矩阵化得简单阶梯形矩阵时 ,台角不改变 . 一个矩阵用初等 行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的 ,但是其非零行数和台角位置是确定的 . 一个矩阵用初等行变换化得的简单阶梯形矩阵是唯一的 . 4. 线性方程组的矩阵消元法 消元法原理 :用 同解变换 化简方 程组然后求解 . 线性方程组的同解变换有三种 : 交换两个方程的上下位置 . 用一个非 0 的常数乘某个方程 . 把某个方程的倍数加到另一个方程上 . 反映在增广矩阵上就是三种初等行变换 . 矩阵消元法 即 用初 等行变换化线性方程组的增广矩阵为阶梯形矩阵 ,再讨论 解 的情况和求解 . 例 : 0000042000413002123011151A4243223154434324321xxxxxxxxxx矩阵消元法 步骤如下 :
