1、1毕业论文开题报告机械设计制造及其自动化计算机辅助设计变异性BEZIER曲线的几何特性比较一、选题的背景与意义在计算机模拟的图形场景中为了细致地描绘出景物、物体的真实感，需要采用能精确地建立物体特征的表示，从而采用了多边形、二次曲面、分形结构、样条曲面和构造技术等实体表示方法。其中为了构造齿轮、机冀、汽车等有曲面的结构而采用了样条曲面并且使用了可以逼近很多插值节点的BEZIER曲线。BEZIER曲线具有良好的几何性质，能简洁，完美地描述和表达自由曲线曲面。在CADPCAM技术中得到广泛的应用。1962年，法同雷诺汽车公司的工程师PEBEZIER构造了一种以逼近为基础的参数曲线和曲面的没计方法。
2、以这种方法为主完成了一个称为UNISURFI的曲线和曲面设计系统。并1972年在公司投入使用。BEZIER方法将函数逼近同几何表示结合起来，使得设计师在工程设计中能比较直观的意识到所给条件与设计出的曲线之间的关系，能方便的通过输入参数来改变曲线的形状。BEZIER是依据四个位置任意的点坐标绘制出的一条光滑曲线。在历史上，研究贝塞尔曲线的人最初是按照已知曲线参数方程来确定四个点的思路设计出这种矢量曲线绘制法。贝塞尔曲线的有趣之处更在于它的“皮筋效应”也就是说，随着点有规律地移动，曲线将产生皮筋伸引一样的变换，带来视觉上的冲击。PIERREBZIER研究了这种矢量绘制曲线的方法，并给出了详细的计算
3、公式，因此按照这样的公式绘制出来的曲线就用他的姓氏来命名为BEZIER曲线。由于用计算机画图大部分时间是操作鼠标来掌握线条的路径，与手绘的感觉和效果有很大的差别。即使是一位精明的画师能轻松绘出各种图形，拿到鼠标想随心所欲的画图也不是一件容易的事。这一点是计算机万万不能代替手工的工作，所以到目前为止人们只能颇感无奈。使用BEZIER工具画图很大程度上弥补了这一缺憾。所以BEZIER曲线在图形处理中很有意义，在图像处理方面有一定的应用价值。二、研究的基本内容与拟解决的主要问题2基本内容1了解并进一步研究BEZIER曲线的生成方法；2根据不同控制参数编写程序生成BEZIER曲线并研究其几何特性差别；
4、3BEZIER曲线各类不同算法研究；4学习软件编程，得出不同的BEZIER曲线图形。三、研究的方法与技术路线（1）熟练掌握BEZIER曲线的生成方法，产生BEZIER曲线上的一系列点，可以用BEZIER曲线方程直接计算，但是那种方法只适用三次BEZIER曲线，既不通用且计算工作量大，因此用CASTELJAU递推算法则要简单得多，这种分割BEZIER曲线控制多边形的方法为绘制离散化的BEZIER曲线提供了方便。（2）查阅书籍，用AUTOLISP语言编写变异性的BEZIER曲线。（3）分析和比较研究各个曲线的几何特性。（4）总结研究，撰写学位论文，准备答辩。技术路线3四、研究的总体安排与进度13周
5、确定题目，完成文献综述及开题报告，开题论证47周查阅国内外文献，掌握BEZIER曲线的生成方法，开始编写程序。812周根据不同控制参数编写程序生成BEZIER曲线，对各图像进行分析比较，研究其几何特性。13周总结研究工作，撰写毕业论文，论文答辩参考文献1宁汝新等，CAD/CAM技术，机械工业出版社，19992任敏，绘制BEZIER曲线的算法研究J现代机械，2007,13徐甜，刘凌霞BEZIER曲线的算法描述及其程序实现J安阳师范学院学报，2006，5研究各个曲线几何特性分析比较各个曲线的不同点和相同点归纳总结研究结果，撰写总结报告研究BEZIER曲线的生成方法用AUTOLISP编写程序编写程序
6、44韩旭里，刘圣军二次BEZIER曲线的扩展J中南工业大学学报自然科学版，2003，3422142175吴晓勤，韩旭里三次BEZIER曲线的扩展J工程图学学报，2005，6981026刘值BEZIER曲线的扩展J合肥工业大学学报自然科学版，2004，2789769797FARINGCURVESANDSURFACESFORCOMPUTERAIDEDGEOMETRICDESIGNAPRACTICALGUIDEMACADEMICPRESS，1993，371048BOEHMRATIONALGEOMETRICSPLINEJCAGD，1987，4167779BOEHMWFARINGKAHMANNJASER
7、VEYOFCURVEANDSURFACEMETHODSINCAGDJCAGD，1984，1116010PEBEZIERNUMERICA1CONTROLIMATHEMATICSANDAPPLICATIONSTRANSLATEDBYFORRESTARJOHNWILEYANDSONS，LONDON，19725毕业论文文献综述机械设计制造及其自动化计算机辅助设计变异性BEZIER曲线的几何特性比较1BEZIER曲线BEZIER曲线是由一组折线集或称之为BEZIER特征多边形来定义的曲线的起点和终点分别与该多边形的起点终点重合，且多边形的第一条边和最后一条边表示了曲线在起点和终点处的切矢量方向。2BEZ
8、IER曲线国内外研究现状1962年，法同雷诺汽车公司的工程师PEBEZIER构造了一种以逼近为基础的参数曲线和曲面的没计方法。以这种方法为主完成了一个称为UNISURFI的曲线和曲面设计系统。并1972年在公司投入使用。BEZIER方法将函数逼近同几何表示结合起来，使得设计师在工程设计中能比较直观的意识到所给条件与设计出的曲线之间的关系，能方便的通过输入参数来改变曲线的形状。BEZIER是依据四个位置任意的点坐标绘制出的一条光滑曲线。在历史上，研究贝塞尔曲线的人最初是按照已知曲线参数方程来确定四个点的思路设计出这种矢量曲线绘制法。贝塞尔曲线的有趣之处更在于它的“皮筋效应”也就是说，随着点有规律
9、地移动，曲线将产生皮筋伸引一样的变换，带来视觉上的冲击。PIERREBZIER研究了这种矢量绘制曲线的方法，并给出了详细的计算公式，因此按照这样的公式绘制出来的曲线就用他的姓氏来命名是为BEZIER曲线。由于用计算机画图大部分时间是操作鼠标来掌握线条的路径，与手绘的感觉和效果有很大的差别。即使是一位精明的画师能轻松绘出各种图形，拿到鼠标想随心所欲的画图也不是一件容易的事。这一点是计算机万万不能代替手工的工作，所以到目前为止人们只能颇感无奈。使用BEZIER工具画图很大程度上弥补了这一缺憾。目前在计算机辅助设计中广泛采用三次参数曲线和双三次参数曲面，埃尔米特曲线和贝塞尔曲线就是这一类曲线。大多数
10、设计应用所需要的曲线或曲面的形状很复杂，不能用简单函数定义，而参数曲线可用分段定义，然后连接起来。埃尔米特曲线法是给定一条曲线上两个端点的位置和切向量，求参数型三次多项式中的系数，两段埃尔米特曲线连接的条件是在连接点两曲线段的函数值相6同，切向量方向相同、大小成正比。由于切向量的方向和大小是很不容易确定的，因此埃尔米特曲线不便于用交互方式设计和修改，因此其未得到推广。而贝塞尔曲线法是用建立曲线特征多边形，只要移动多边形顶点的位置，就能够方便的改变曲线的形状，使曲线很快收敛于要求的形状，这给设计者以很强的直观性和极大的方便。贝塞尔曲线的特点是1曲线一定通过始点和终点，并与特征多边形首末两边相切于
11、始点和终点。其余中间点都相当于“拉”曲线靠近自己。因为曲线形状依附于多边形形状，因此，改变多边形顶点，使输入、输出关系有直观感觉，从而控制形状。2多值，参数式允许描述多值曲线，包括封闭曲线。3几何不变性。即贝塞尔曲线依赖于参数，而不依赖于坐标的选择。4凸包性，贝塞尔曲线必定落在特征多边形的凸包之中，不可能出现多余的摆动；5表达曲线的参数多项式的次数可灵活控制。6具有整体控制性，改动一个控制点，就会影响整段曲线形状。利用贝塞尔曲线进行几何构型，是直接控制顶点来构造三维形体，在实际应用中，其构造的曲面较易满足设计所需的数学特性，能保证曲面连接处的一阶或二阶以上高阶导数连续性。3BEZIER曲线曲线
12、的CASTELJAU算法设P0、P02、P2是一条抛物线上顺序三个不同的点。过P0和P2点的两切线交于P1点，在P02点的切线交P0P1和P2P1于P01和P11，则如下比例成立这是所谓抛物线的三切线定理当P0，P2固定，引入参数T，令上述比值为T1T，即有T从0变到1，第一、二式就分别表示控制二边形的第一、二条边，它们是两条一次BEZIER曲线。将一、二式代入第三式得当T从0变到1时，它表示了由三顶点P0、P1、P2三点定义的一条二次BEZIER曲线。并且表明这二次BEZIER曲线P02可以定义为分别由前两个顶点P0,P1和后两个顶点P1,P2决定的一次BEZIER曲线的线性组合。依次类推，
13、由四个控制点定7义的三次BEZIER曲线P03可被定义为分别由P0,P1,P2和P1,P2,P3确定的二条二次BEZIER曲线的线性组合，由N1个控制点PII0,1,N定义的N次BEZIER曲线P0N可被定义为分别由前、后N个控制点定义的两条N1次BEZIER曲线P0N1与P1N1的线性组合由此得到BEZIER曲线的递推计算公式4BEZIER曲线的实现一是上面的贝塞尔曲线方程实现计算BEZIER曲线上的点，可用BEZIER曲线方程已知控制点的坐标，只要T取01之间不同的值，就可以求出BEZIER曲线上的很多点，然后将这些点用小直线段、折线相连，BEZIER曲线也就绘制出来了为了得到好的显示效果
14、，要把间距控制在视觉能接受的范围内二是使用递推算法实现通过设计程序实现递推算法的难点是进行定比分割到什么程度可以用直线段代替曲线如果曲线上的点到其两端点的连线的距离小于指定的很小正数E时，则在显示和绘制时可用直线段代替曲线段，否则对其控制多边形再进行定比分割在适当次数的分割后，分得的每一段曲线都能由其两端点的连线所代替计算BEZIER曲线PT到其两端点连线P0P3的距离DPT，P0P3很麻烦，但是由凸包性可知DPT，P0P3MAXDPL，P0，P3，DP2，PO,0，P3其中，DPI，P0P3表示点PI到线段P0P3的距离计算点到直线的距离要相对容易，故在一定的误差范围内，可用右端代替左端如图
15、中，只要让D1和D2中最大值小于一个指定的很小正数时，就可以用两端点的直线代替曲线段。5BEZIER曲线的应用“BEZIER”工具在PHOTOSHOP中叫“钢笔工具”；在CORELDRAW中翻译成“贝赛尔工具”；而在FIREWORKS中叫“画笔”。它是用来“画线”造型的一种专业工具。当然还有很多工具也可以完成画线的工作，例如大家常用的PHOTOSHOP8里的直线、喷枪、画笔工具，FIREWORKS里的直线、铅笔和笔刷工具，CORELDRAW里的自由笔，手绘工具等等。用“BEZIER”工具无论是画直线或是曲线，都非常简单，随手可得。其操作特点是通过用鼠标在面板上放置各个锚点，根据锚点的路径和描绘
16、的先后顺序，产生直线或者是曲线的效果。我们都知道路径由一个或多个直线段或曲线段组成。锚点标记路径段的端点。在曲线段上，每个选中的锚点显示一条或两条方向线，方向线以方向点结束。方向线和方向点的位置确定曲线段的大小和形状。移动这些元素将改变路径中曲线的形状，可以看右图。路径可以是闭合的，没有起点或终点（如圆圈），也可以是开放的，有明显的端点（如波浪线）。6带形状参数的BEZIER曲线的扩展用BERNSTEIN基函数定义的BEZIER曲线是一种独特的参数多项式曲线，它不仅具有良好的控制性质，而且几何直观和简单。因此，特别适合于人们交互地设计形状。但BEZIER方法也存在缺点，给定了控制顶点，BEZI
17、ER曲线就惟一确定了，若要修改曲线的形状，就必须调整控制多边形，但这样做又可能偏离设计者的意图。为弥补这一缺憾，人们开始想办法推广BEZIER曲线，如带形状参数的BEZIER曲线，通过引入2个形状参数，将曲线次数提升2次，使得曲线具有更多的自由度和对控制多边形更好的逼近性，而且这里的形状参数均具有明确的几何意义。这种曲线以一般BEZIER曲线为特例，具有插值于控制多边形端和与控制多边形端边相切等良好的性质。用这种方法可以设计出丰富的曲线形状，满足实际中不同的需求。7二次BEZIER曲线的扩展分段二次BEZIER曲线具有形状简单，使用灵活的优点，应用广泛然而，对给定的控制点，分段二次优点，BEZ
18、IER曲线的位置是确定的若要调整曲线的形状则需要调整控制多边形所以使用能生成相对控需要调整控制多边形不同位置的多项式曲线的方法同时具有与分段二次BEZIER曲线相同的结构和一些实用的几何性质；利用乘积型曲面，生成形状可调的曲面。1所给出的曲线生成方法，以二次BEZIER曲线为特殊情形，可以生成位于二次BEZIER曲线附近的不同曲线改变形状参数的取值，可以调整曲线接近其控制多边形的程度。92形状参数，可以成为全局或局部参数修改其值，只影响当前曲线段，因而所构造曲线具有良好的局部性质。3可以在形状参数的取值范围一2，1内，选择不同的参数值，进行曲线设计。4由于所构造的曲线段与二次BEZIER曲线有
19、相同的结构，每段曲线由3个相继的控制点生成，保持了二次BEZIER曲线的一些实用几何性质，因而使用方便可以像双二次BEZIER曲面一样，构造乘积型曲面，并且可以通过改变形状参数的值，调整曲面接近其控制多面体的程度。参考文献1宁汝新等，CAD/CAM技术，机械工业出版社，19992任敏，绘制BEZIER曲线的算法研究J现代机械，2007,13徐甜，刘凌霞BEZIER曲线的算法描述及其程序实现J安阳师范学院学报，2006，54韩旭里，刘圣军二次BEZIER曲线的扩展J中南工业大学学报自然科学版，2003，3422142175吴晓勤，韩旭里三次BEZIER曲线的扩展J工程图学学报，2005，6981
20、026刘值BEZIER曲线的扩展J合肥工业大学学报自然科学版，2004，2789769797FARINGCURVESANDSURFACESFORCOMPUTERAIDEDGEOMETRICDESIGNAPRACTICALGUIDEMACADEMICPRESS，1993，371048BOEHMRATIONALGEOMETRICSPLINEJCAGD，1987，4167779BOEHMWFARINGKAHMANNJASERVEYOFCURVEANDSURFACEMETHODSINCAGDJCAGD，1984，1116010PEBEZIERNUMERICA1CONTROLIMATHEMATICSAN
21、DAPPLICATIONSTRANSLATEDBYFORRESTARJOHNWILEYANDSONS，LONDON，197210本科毕业论文（20届）计算机辅助设计变异性BEZIER曲线的几何特性比较摘要【摘要】随着计算机辅助设计的广泛普及，BEZIER曲线由于直观形象，数11学方法简便得到了广泛的应用，其中最常用的是三次BEZIER曲线。本论文首先介绍BEZIER曲线的定义，拼接和特性，然后再此基础上，提出修改三次BEZIER曲线生成参数的方法获得九个变异的BEZIER曲线，然后通过编写AUTOLISP程序，绘制其曲线，最后比较了各个曲线的特性【关键词】BEZIER曲线；变异曲线；几何特性。
22、ABSTRACT【ABSTRACT】WITHTHEWIDESPREADAVAILABILITYOFCOMPUTERAIDEDDESIGN,12BEZIERCURVEHASBEENWIDELYAPPLIEDDUETOTHEREASONSTHATITISINTUITIVEANDITSMATHTHEMATICREPRESENTATIONISSIMPLETHEMOSTCOMMONISTHECUBICBEZIERCURVETHISTHESISFIRSTLYINTRODUCESTHEDEFINITIONOFBEZIERCURVES,STITCHINGANDFEATURES,FROMTHISBASIS,WE
23、CHANGECUBICBEZIERCURVEPARAMETERSTOOBTAINNINEVARIEDBEZIERCURVES,ANDDRAWTHECURVESBYWRITINGAUTOLISPPROGRAMFINALLYWECOMPARETHECHARACTERISTICSOFEACHCURVE【KEYWORDS】BEZIERCURVE；MODIFIEDBEZIERCURVE；GEOMETRICPROPERTIES目录1绪论1411课题背景141312论文的研究内容152BEZIER曲线1721BEZIER曲线的定义1722BEZIER曲线的性质1722BEZIER曲线的拼接1823BEZIE
24、R曲线的CASTELJAU算法1824三次BEZIER曲线的矩阵形式及参数式1925三次BEZIER曲线的绘图程序设计2026三次BEZIER曲线的性质223变异性BEZIER曲线构造与分析2331变异性BEZIER曲线的参数计算2332变异性BEZIER曲线特性分析23321K123322K225323K326324K426325K528326K629327K731328K832329K9343210K103533小结374结论与展望38参考文献39致谢错误未定义书签。附录错误未定义书签。141绪论11课题背景在计算机模拟的图形场景中为了细致地描绘出景物、物体的真实感，需要采用能精确地建立物
25、体特征的表示，从而采用了多边形、二次曲面、分形结构、样条曲面和构造技术等实体表示方法。其中为了构造齿轮、机冀、汽车等有曲面的结构而采用了样条曲面并且使用了可以逼近很多插值节点的BEZIER曲线。BEZIER曲线具有良好的几何性质，能简洁，完美地描述和表达自由曲线和曲面。在CADPCAM技术中得到广泛的应用。1962年，法同雷诺汽车公司的工程师PEBEZIER构造了一种以逼近为基础的参数曲线和曲面的没计方法。以这种方法为主完成了一个称为UNISURFI的曲线和曲面设计系统。并1972年在公司投入使用。BEZIER方法将函数逼近同几何表示结合起来，使得设计师在工程设计中能比较直观的意识到所给条件与
26、设计出的曲线之间的关系，能方便的通过输入参数来改变曲线的形状。BEZIER是依据四个位置任意的点坐标绘制出的一条光滑曲线。在历史上，研究贝塞尔曲线的人最初是按照已知曲线参数方程来确定四个点的思路设计出这种矢量曲线绘制法。贝塞尔曲线的有趣之处更在于它的“皮筋效应”，也就是说，随着点有规律地移动，曲线将产生皮筋伸引一样的变换，带来视觉上的冲击。PIERREBEZIER研究了这种矢量绘制曲线的方法，并给出了详细的计算公式，因此按照这样的公式绘制出来的曲线就用他的姓氏来命名为BEZIER曲线。由于用计算机画图大部分时间是操作鼠标来掌握线条的路径，与手绘的感觉和效果有很大的差别。即使是一位精明的画师能轻
27、松绘出各种图形，拿到鼠标想随心所欲的画图也不是一件容易的事。这一点是计算机万万不能代替手工的工作，所以到目前为止人们只能颇感无奈。使用BEZIER工具画图很大程度上弥补了这一缺憾。BEZIER曲线的应用研究主要有两类问题一类是造型及特征多边形设计，通过人机交互不断修改特征多边形，最后形成满意的曲线外形和图案。另一类问题是BEZIER曲线的插值（也称为反算），要求构造BEZIER曲线或BEZIER样条曲线使其通过给定的所有型值点，这一问题的实质是要求特征多边形的顶点1。本文主要研究通过改变参数获得变异型BEZIER曲线。BEZIER曲线在现实中应用非常的广泛,如飞机、汽车、船舶外形的设计CATI
28、A波音、宝马、奔驰、克莱斯勒；水泵叶轮和齿轮等机械零件的设计桥梁和日15常用品的设计等,如图所示图1汽车外形设计图2零件设计图3桥梁的设计图4鞋子的设计BEZIER曲线虽然有多的优点，但是也有一些不容忽视的缺点，如修改一个顶点会影响整段曲线的形状，局部修改能力差；BEZIER曲线与特征多边形相距较远，逼近性不是很好等，但主要的问题是对给定的控制顶点，BEZIER曲线的位置是固定的。为了得到更加灵活多样的曲线，因此，本文将介绍更一般的情况，在给定控制顶点的前提下，灵活选择相应的参数，来实现对曲线形状的调整。12论文的研究内容基本内容1了解并进一步研究BEZIER曲线的生成方法；2根据不同控制参数
29、编写程序生成BEZIER曲线并研究其几何特性差别；3BEZIER曲线各类不同算法研究；4学习软件编程，得出不同的变异性BEZIER曲线图形。5比较分析不同变异性BEZIER曲线的特点本论文的研究方案如图5所示。16图5研究方案研究各个曲线几何特性分析比较各个曲线的不同点和相同点归纳总结研究结果，撰写总结报告研究BEZIER曲线的生成方法用AUTOLISP编写程序编写程序172BEZIER曲线21BEZIER曲线的定义给定N1个控制顶点PII0N，则BEZIER曲线定义为3,2,1,011,NITTCTBNIINNI这N次参数曲线段为BEZIER曲线，其中,TBNI是古典伯恩施坦多项式，称为基底
30、函数，也是一个权函数，它决定了在不同T值下对个位置失径对P矢量影响的大小，其表达式为3,2,1,011,NITTCTBNIINNI依次用线段连接BI（I0,1，,N）中相邻两个矢径的端点，这样组成的N边折现多边形称为BEZIER特征多边形，位置矢径端点称为特征多边形的端点。从BEZIER曲线的定义可知，BEZIER曲线是一段曲线，曲线次数为N，需要N1个位置矢径来定义，在实际应用当中，最常见的所示三次BEZIER曲线，其次是二次BEZIER曲线，其他的高次的曲线一般不用，本文主要研究三次BEZIER曲线和变异性BEZIER的比较2。22BEZIER曲线的性质（1）端点性质。1）端点矢量P（0）
31、0D，P（1）ND，可见，BEZIER曲线的首末点与其特征多边形的首末点重合。2）切矢量P（0）N（10DD），P（1）N（1NNDD），说明BEZIER曲线在首末点处的切线方向与特征多边形第一条边和最后一条边得方向是一致的。3）K阶导函数假设控制顶点无重点（下同），则其K阶导矢曲线是以KNIIKPKNN0/为控制顶点的K次BEZIER曲线（2）对称性。若将控制顶点方向排列成新的控制点ID（IN，N1,0）,由此构成的曲线形状不变，只是走相反的方向。（3）凸包性。BEZIER曲线的P（T）是点ID（IN，N1,0）的凸线性组合，并且曲线很位于其控制顶点构成的凸包内。（4）几何不变性和仿射不变性
32、。（5）变差缩减性。任何一个平面与BEZIER曲线的交点数不超过它的控制多边形的交点数，但包含整个控制多变形的平面除外。000,0,1,KNKNNKKNKKIIKIDNNITPITPBTPKNDTNKNK18（6）移动N次BEZIER曲线的第I个控制顶点ID，对曲线上的点P（I/N）影响最大，这是因为相应的基函数在TI/N处达到最大值2。22BEZIER曲线的拼接BEZIER曲线只是一个曲线段。仅用一个曲线段（不管是低次还是高次BEZIER曲线）来描述几何外形或进行图案设计是极其困难的，只有把若干个BEZIER曲线段拼接成BEZIER样条曲线方可用于几何设计。下面介绍三次BEZIER曲线的拼接
33、。两段BEZIER曲线在拼接处必须满足几何连续性的要求，即要达到012,GGG连续。,2G连续的拼接条件比较复杂，这里不做讨论。在一些几何设计要就不太严格的情况下（如艺术绘画）仅考虑01,GG连续。两段三次BEZIER曲线的拼接如图1所示。由01112131B,B,B,B四个顶点构造一段BEZIER曲线，四个顶点构造另一段02122232B,B,B,B曲线，两段曲线在31B处拼接。在拼接处要达到1G连续，首先要达到0G连续，即第一段特征多边形的终点31B必须和第二段特征多边形的起点重合（因BEZIER曲线起点、终点分别与特征多边形的起点，终点重合）。由端点性质可知，第一段曲线在31B处的切线方
34、向为3121BB方向，第二段曲线在31B处的切线方向为1202BB方向。1G连续要求在拼接处此二切线的方向一致。要做到这一点，213112,BBB3个顶点必须共线，而且2112,BB两个顶点分布在拼接点的异侧3。图6BEZIER曲线的拼接23BEZIER曲线的CASTELJAU算法设P0、P02、P2是一条抛物线上顺序三个不同的点。过P0和P2点的两切线交于P1点，在P02点的切线交P0P1和P2P1于P01和P11，则如下比例成立这是所谓抛物线的三切线定理19图7二次BEZIER曲线当P0，P2固定，引入参数T，令上述比值为T1T，即有T从0变到1，第一、二式就分别表示控制二边形的第一、二条
35、边，它们是两条一次BEZIER曲线。将一、二式代入第三式得当T从0变到1时，它表示了由三顶点P0、P1、P2三点定义的一条二次BEZIER曲线。并且表明这二次BEZIER曲线P02可以定义为分别由前两个顶点P0,P1和后两个顶点P1,P2决定的一次BEZIER曲线的线性组合。依次类推，由四个控制点定义的三次BEZIER曲线P03可被定义为分别由P0,P1,P2和P1,P2,P3确定的二条二次BEZIER曲线的线性组合，由N1个控制点PII0,1,N定义的N次BEZIER曲线P0N可被定义为分别由前、后N个控制点定义的两条N1次BEZIER曲线P0N1与P1N1的线性组合由此得到BEZIER曲线
36、的递推计算公式24三次BEZIER曲线的矩阵形式及参数式由PPU0P132U23U1P32U23U0PU22U3U1P2U3U当3N时，根据0P31P0P和3P3（32PP）则PPU0P（13U32U3U）1P3U62U33U2P32U33U3P3U20于是得到矩阵形式为01232310003300136301331PPPPUUUUPP若将3210,PPPP分解为二维平面上的YX,分量，则01232310003300136301331XXXUUUUXX01232310003300136301331YYYUUUUYY将其展开，按U的升幂书写得三阶BEZIER曲线的参数式为230123XUAAUA
37、UAU230123YUAAUAUAU式中321032102101003210321021010033363333336333YYYYBYYYBYYBYBXXXXAXXXAXXAXA25三次BEZIER曲线的绘图程序设计根据公式可以编写AUTOLISP程序得到三次BEZIER曲线的图下面是绘制三次BEZIER曲线的AUTOLISP程序。DEFUNCBEZIER3IFSETQB0GETPOINT“NENTERFIRSTPOINT“B1GETPOINTB0“NSENCONDPOINT“B2GETPOINTB1“NTHIRDPOINT“B3GETPOINTB2“NFORTHPOINT“21PROGNS
38、ETQX0CARB0Y0CADRB0X1CARB1Y1CADRB1X2CARB2Y2CADRB2X3CARB3Y3CADRB3A13X1X0A23X06X13X2A33X1X33X2X0A43Y1Y0A53Y06Y13Y2A63Y1Y33Y2Y0COMMAND“LAYER“S“4“C“4“COMMAND“PLINE“B0B1B2B3“绘制特征多边形COMMAND“LAYER“S“1“C“1“SETQT10COMMAND“PLINE“REPEAT11SETQXX0A1T1A2T1T1A3T1T1T1YY0A4T1A5T1T1A6T1T1T1T1T101COMMANDLISTXYCOMMAND“C
39、OMMAND“PEDIT“L“F“COMMAND“REDRAW“PRINC上述程序中的A1，A2，A3，A4，A5，A6为中间变量，分别代表坐标分量表示式中参数U前面的系数。如图8为一个三次BEZIER曲线的例子，22图8三次BEZIER曲线其中0P（10，10），1P（,20,20），2P（30,20），3P（40,10）26三次BEZIER曲线的性质（1）端点性质BEZIER曲线通过特征多边形的起点和终点，且曲线在起点与特征多边形始终相切，在终点与多边形终边始终相切。（2）对称性若是把顶点的位置颠倒过来，得到的曲线和原来的是曲线是重合的，只不过是方向相反了。（3）其他性质。包括直观性，几何
40、不变性，凸包性等1。233变异性BEZIER曲线构造与分析31变异性BEZIER曲线的参数计算从三次BEZIER曲线的计算中可以得到0P31P0P和3P3（32PP）若0PK1P0P和3PK（32PP），即改变原来的参数，将3改变成其他的值，本文研究K的变化范围在110之间。则得到的矩阵是不一样的。由PPU0P132U23U1P32U23U0PU22U3U1P2U3U0PK1P0P和3PK（32PP）可以得到3211201001000KKKKKPUUUUPKK将其展开则得到下面的方程2300101201232PUPKPKPUKPKPKPUPKPKPPU将它改写为参数形式2301230123XU
41、AAUAUAUYUBBUBUBU其中321032102101003210321021010022YKYKYYBKYKYKYBKYKYBYBXKXKXXAKXKXKXAKXKXAXA32变异性BEZIER曲线特性分析321K1有3211111210111001000PUUUUP24将它展开即得2300101201232PUPPPUPPPUPPPPU00101201232XUXXXUXXXUXXXXU2300101201232YUYYYUYYYUYYYYU用AUTOLISP编程时，在三次BEZIER曲线编程中将A1，A2，A3，A4，A5，A6中的方程用上述方程代替，便可以得出K1时的图。如下图9
42、三次BEZIER曲线和K1的曲线将它和原来的是三次BEZIER曲线比较，可以得到如下特点（1）当K1的变异型曲线的端点性质改变，所得到的变异型曲线与特征多边形的起点和终点虽然重合，但曲线在起点与特征多边形一边已经不相切，如3P点。所以变异型曲线的端点性质改变。（2）三次BEZIER曲线具有对称性，即要是把顶点次序颠倒过来，得到的新的曲线和原来的曲线是重合的，只不过是走向相反，但K1的变异型曲线已经不具有对称性，如图10（3）变异型曲线的变化幅度已经明显变小，但仍然具有凸包性。（4）变异后的曲线仍旧具有跟三次BEZIER曲线一样的几何不变性，即曲线仅依赖于控制顶点而与坐标系的位置和方向无关，即曲
43、线的形状在坐标系平移和旋转后不变；同时，对控制多边形进行缩放或剪切等仿射变换后所对应的新曲线就是相同仿射变换后的曲线。25图10变异曲线的对称性其中曲线A的控制点为3210,PPPP曲线B的控制点为0123,PPPP322K2有3212212420122001000PUUUUP将其展开即得23001012012300101201230010120123222422212224222122242221PUPPPUPPPUPPPPUXUXXXUXXXUXXXXUYUYYYUYYYUYYYYU用AUTOLISP编程时，在三次BEZIER曲线编程中将A1，A2，A3，A4，A5，A6中的方程用上述方程
44、代替，便可以得出K2时的图。如下图11三次BEZIER曲线和K2的曲线把它与原始曲线进行比较（如图11）进行分析之后可知26（1）当K2的变异型曲线的端点性质改变，所得到的变异型曲线与特征多边形的起点和终点虽然重合，但曲线在起点与特征多边形一边已经不相切，如3P点。所以变异型曲线的端点性质改变。（2）和K1的变异型曲线一样，新得到的K2的变异型曲线也不具有对称性。如图12（3）得到新的K2的变异型曲线和三次BEZIER曲线幅度要小，但和K1变异型曲线相比，幅度有了明显的增加。如图11（4）变异后的曲线仍旧具有跟三次BEZIER曲线一样的几何不变性，即曲线仅依赖于控制顶点而与坐标系的位置和方向无
45、关，即曲线的形状在坐标系平移和旋转后不变；同时，对控制多边形进行缩放或剪切等仿射变换后所对应的新曲线就是相同仿射变换后的曲线。图12K2曲线的对称性其中曲线A的控制点为3210,PPPP曲线B的控制点为0123,PPPP323K3这是三次BEZIER曲线。324K4有3214414840144001000PUUUUP将其展开即得2723001012012300101201230010120123444842214448444144484441PUPPPUPPPUPPPPUXUXXXUXXXUXXXXUYUYYYUYYYUYYYYU用AUTOLISP编程时，在三次BEZIER曲线编程中将A1，A
46、2，A3，A4，A5，A6中的方程用上述方程代替，便可以得出K4时的图。如下图13三次BEZIER曲线和K4的曲线把它与原始曲线进行比较（如图13）进行分析之后可知（1）当K4的变异型曲线的端点性质改变，所得到的变异型曲线与特征多边形的起点和终点虽然重合，但曲线在起点与特征多边形一边已经不相切，如3P点。所以变异型曲线的端点性质改变。（2）和上述的变异型曲线一样，新得到的的K4变异型曲线也不具有对称性。如图14（3）新得到的K4变异型曲线和上述曲线不同，幅度明显变大，而且曲线的凸包性消失。如图13。（4）变异后的曲线仍旧具有跟三次BEZIER曲线一样的几何不变性，即曲线仅依赖于控制顶点而与坐标
47、系的位置和方向无关，即曲线的形状在坐标系平移和旋转后不变；同时，对控制多边形进行缩放或剪切等仿射变换后所对应的新曲线就是相同仿射变换后的曲线。28图14K4曲线的对称性其中曲线A的控制点为3210,PPPP曲线B的控制点为0123,PPPP325K5有32155151050155001000PUUUUP将其展开即得23001012012300101201230010120123555105555551055555510555PUPPPUPPPUPPPPUXTXXXUXXXUXXXXUYUYYYUYYYUYYYYU用AUTOLISP编程时，在三次BEZIER曲线编程中将A1，A2，A3，A4，A
48、5，A6中的方程用上述方程代替，便可以得出K5时的图。如下图15三次BEZIER曲线和K5的曲线把它与原始曲线进行比较（如图15）进行分析之后可知29（1）当K5的变异型曲线的端点性质改变，所得到的变异型曲线与特征多边形的起点和终点虽然重合，但曲线在起点与特征多边形一边已经不相切，如3P点。而且比上诉其他的变异型曲线更加明显，所以变异型曲线的端点性质改变。（2）和上述的变异型曲线一样，新得到的的K5变异型曲线也不具有对称性，如图16（3）新得到的K5变异型曲线和上述曲线不同，幅度明显变大，而且曲线的凸包性消失。如图15。（4）变异后的曲线仍旧具有跟三次BEZIER曲线一样的几何不变性，即曲线仅依赖于控制顶点而与坐标系的位置和方向无关，即曲线的形状在坐标系平移和旋转后不变；同时，对控制多边形进行
