1、2011 年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（理科） （辽宁卷）解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的主题 1. 为正实数， 为虚数单位， ，则ai 2iaaA2 B C D132难度 易 正确答案 B 考点：复数、模的运算提示一 考查学生基本计算能力，清晰分母实数化是解题的前提.提示二 首先化简复数，然后利用模的运算得到含有 的等式，进而求解.a提示三 即 ，又 为正实数， .21()1,aia233a主题 2. 已知 M，N 为集合 I 的非空真子集，且 M，N 不相等，若 NMI，则AM BN CI D 难度 易 正确
2、答案 A 考点：集合、韦恩图应用提示一考查学生数形结合能力，清晰集合的概念是解题的前提.提示二 根据 画出韦恩图，然后明确I .MN提示三 作出满足条件的韦恩（Venn）图，易知 主题 3. 已知 F 是抛物线 y2=x 的焦点，A，B 是该抛物线上的两点，则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为3ABA B1 C D4547难度 中 正确答案 C 考点：圆锥曲线抛物线提示一 考查学生的等价转换能力，利用转化思想得到 是解题的关键.AMNFB提示二 利用梯形的中位线的性质进行过渡求解中点 的横坐标.C提示三如图，由抛物线的定义知， A所以中点 的横坐标为 .3,2BFCDC31524I MNF
3、xAyCBNDM14O主题 4. ABC 的三个内角 A，B ，C 所对的边分别为 a， b，c， ，则2sincos,ABbabA B C D23232难度 易 正确答案 D 考点：解三角形提示一 考查学生目标意识能力，清晰正弦定理是解题的前提.提示二 利用正弦定理将已知表达式中的边转化为角是解题的关键.提示三 由正弦定理可得：2sincos,aABba,即2i inAsi2sinBA2ba主题 5. 从 1，2，3 ，4 ，5 中任取 2 各不同的数，事件 A=“取到的 2 个数之和为偶数” ，事件 B=“取到的 2 个数均为偶数” ，则 P（B A）=A B C D8151难度 中 正确
4、答案 B 考点：古典概率提示一 考查学生识别事件的能力，清晰事件的计算公式是解题的前提.提示二 准确计算出 是解题的关键.()PA、提示三 , .2 235541(),(100CCB()1()4PAB主题 6. 执行右面的程序框图，如果输入的 n 是 4，则输出的 P 是A8 B5 C3 D2难度 中 正确答案 C 考点：算法初步流程图提示一 考查学生的识图能力.清晰框图的流程过程是解题的前提.提示二 抓住流程图的限制条件 是解题的关键.kn提示三 初始值 循环开始，第一次:1,0,1pst第二次: 第三1,2pstk2,3,pstk次: 此时， 不成立，跳出循环，输出 .3,4,kn3p主题
5、 7. 设 sin ，则1+=3（ ） siA B C D7991979难度 中正确答案 A 考点：三角函数求值提示一 考查学生划归能力，清晰两角和的公式和二倍角公式是解题的前提.提示二 利用平方技巧过渡是解题的关键.提示三 由 得 即 两边平方，得1sin(),4321sincos,32sinco,3.21i,97i9主题 8. 如图，四棱锥 SABCD 的底面为正方形，SD 底面 ABCD，则下列结论中不正确的是AAC SB BAB 平面 SCDCSA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角DAB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角难度 中 正确答案 D
6、 考点：空间几何体的位置关系和角的判断提示一 考查学生的空间形象能力 .清晰线面垂直的性质定理、线面平行的判定定理和线面角、异面直线所成的角的定义是解题的前提.提示二 采用逐一判断的方法进行分析.提示三 为正方形， ,SDABCABDSCABD面 面 又故 A 对；,又 .面,故 B 对；,S 面 在 面 外 ， 面设 由上面的分析知， 分别是 所成的角，易知,ACBDOASOC与 ,SDCSB与 面 与 面相等，故 C 对；选 D.S与主题 9. 设函数 ，则满足 的 x 的取值范围是1,log12)(xxfx 2)(fA ，2 B0 ，2 C1，+ D0，+ 1难度 中正确答案 D 考点：
7、分段函数以及性质提示一 考查学生转化能力，清晰分段函数的性质是解题的前提.提示二 判断函数在定义域上的单调性是解题的关键.提示三 易知， 上是减函数，由 所以 的取值范围是 .()fxR在 12,0,x得 x0+，主题 10. 若 ， ， 均为单位向量，且 ， ，则 的最大值为abcba)(cb|cbaA B1 C D22难度 难 正确答案 B 考点：向量模的最值提示一 考查学生运算能力.清晰数量积的运算是解题的前提.提示二 利用将 平方的技巧进行转化是解题的关键.|cba提示三 2)()1()0,abcabc（ ()1;abc.22 32abc 32主题 11. 函数 的定义域为 ， ，对任
8、意 ， ，则 的解集为)(xfR2)1(f Rx)(xf 4)(xfA （ ，1） B （ ， + ） C （ ， ） D （ ，+ ）1难度 中 正确答案 B 考点：不等式的解法提示一 考查学生构造能力，通过 构造函数 是解题的前提.42)(xf ()(24)hxfx提示二 利用求导判断函数 单调性是解题的关键.)hx提示三设 ,故 上单调递增，又()(24),(hxf fx则 0()xR在所以当 时， ，即 .10f1x)h24f主题 12. 已知球的直径 SC=4，A，B 是该球球面上的两点，AB= ， ，则棱锥 SABC 的330ASCB体积为A B C D1332难度 难 正确答案
9、C 考点：空间几何体棱锥的体积提示一 此题考查棱锥的体积，考查学生的画图能力和空间想象能力.利用题设条件准确画出图形是解题的前提.提示二 明确三棱锥的底面面积和高是解题的关键.提示三 如图，过 作与直径 垂直的球的截面，交 于点 D，在ABSCSCRtSAC中， 同理cos30=2sin30=SACD ， ， 3,BD故为正三角形. .113i644BD SABCV ， 故二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分主题 13. 已知点（2 ，3）在双曲线 C： 上，C 的焦距为 4，则它的离心率为 )0,(12bayx难度 易 正确答案 2 考点：圆锥曲线双曲线的离心率 提示一 考查学生基
10、本知识掌握情况，清晰双曲线的几何性质是解题的前提.提示二 利用点在曲线上和焦距得到方程组是解题的关键.SDABC提示三 与 联立，求得 ，所以 .2491ab24a1a2cea主题 14. 调查了某地若干户家庭的年收入 x（单位：万元）和年饮食支出 y（单位：万元） ，调查显示年收入 x 与年饮食支出 y 具有线性相关关系，并由调查数据得到 y 对 x 的回归直线方程： 由回归直线方程可321.054.x知，家庭年收入每增加 1 万元，年饮食支出平均增加_ 万元难度 易 正确答案 0.254 考点：回归方程提示一 考查学生的基础知识掌握情况，清晰归回方程的含义是解题的前提.提示二 利用 求解“
11、年饮食支出平均增加量”是解题的关键.321.054.xy提示三 家庭收入每增加 1 万元，对应的回归直线方程中的 增加 1，相应的 的值增加 0.254，即年饮食支出平均xy增加 0.254 万元.主题 15. 一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为 ，它的三视图中的俯32视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是 难度 中正确答案 考点：三视图 23提示一 考查学生的分析解决问题能力和空间形象能力，清晰三视图的观察方法是解题的前提.提示二 根据俯视图和左视图得到几何体的性质是解题的关键.提示三如图，设底面边长为 ，则侧棱长也为 ， ，故 .aa23438,2a左视图与矩形 相同
12、， .1DC1DCS四 边 形主题 16. 已知函数 =Atan（ x+ ） （ ） ，y= 的部分图像如下)(xf2|,0)(xf图，则 )24(f难度 中 正确答案 考点：三角函数 3提示一 考查学生视图能力，清晰 的含义是解题的前提.A、 、提示二 利用函数图象得到周期，利用点 代入解析式确定 ，利用（0,1）代入308（ ， ） 解析式确定 A，进而明确函数的解析式，然后求 .()24f提示三 由图知， , 将 代入得， 即3=-=282T， ， tan(),xAx308（ ， ） 3tan(2+=08A）又 ， . 又3tan()0,44()si.f 1CD1AA BCD(0)1,t
13、an1,.()tan(2)tan3.444fAf三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤主题 17 （本小题满分 12 分）已知等差数列a n满足 a2=0， a6+a8=-10（I）求数列 an的通项公式；（II）求数列 的前 n 项和12n难度 中 正确答案（I） （II） 考点：数列的通项公式和递推数列求和 na； 1.2nS提示一 考查学生应用方程思想的解题能力和划归能力.清晰等差数列的基本量思想以及错位相减法是解题的前提.提示二 (1)中，利用等差数列的通项公式得到两个方程，解得 ；（2）中通过观察数列的通项公式的结构特点，1ad、采用错位相减法求 的前 n 项和.12na提
14、示三 （I）设等差数列 的公差为 d，由已知条件可得n 10,2ad解得 1,.ad故数列 的通项公式为 5 分n2.na（II）设数列 ，即 ，12nnS的 前 项 和 为 211,naaS 故1.4nnSaa所以，当 时，1211112()4)2nnnnnnSaa所以 综上，数列 12 分=.n1.nS11.22nnaS的 前 项 和主题 18. （本小题满分 12 分）如图，四边形 ABCD 为正方形，PD平面 ABCD，PDQA，QA =AB= PD12（I）证明：平面 PQC平面 DCQ；（II）求二面角 QBPC 的余弦值难度 中 正确答案（I）详见提示 ; （II） 15.考点：
15、空间几何体、面面垂直的证明、二面角的求解提示一 考查学生的空间想象能力和利用空间向量处理问题的能力.清晰面面垂直的判定定理和利用向量法求解二面角的步骤是解题的前提.提示二 (1)利用数量积为 0，证明 PQDQ，PQDC，然后利用线面垂直证明面面垂直；（2）确定两个半平面的法向量，利用向量夹角公式求解二面角的余弦值.提示三 如图，以 D 为坐标原点，线段 DA 的长为单位长，射线 DA 为 x 轴的正半轴建立空间直角坐标系 Dxyz.（I）依题意有 Q（1 ，1 ，0） ，C （0，0 ，1） ，P（0，2 ，0）.则 (,)(,)(,).所以 .P即 ,DC故 PQ 平面 DCQ.又 PQ
16、平面 PQC，所以平面 PQC平面 DCQ. 6 分（II）依题意有 B（1，0，1） ， (1,0)(1,2).BP设 是平面 PBC 的法向量，则(,)nxyz 0,.,nCxyz即因此可取 0,12.设 是平面 PBQ 的法向量，则m0,.mBPQ可取 15(1,).cos,.n所 以故二面角 QBPC 的余弦值为 12 分.主题 19. （本小题满分 12 分）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验选取两大块地，每大块地分成 n 小块地，在总共 2n 小块地中，随机选 n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙（I）假设 n=4，在
17、第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为 X，求 X 的分布列和数学期望；（II）试验时每大块地分成 8 小块，即 n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表：品种甲 403 397 390 404 388 400 412 406品种乙 419 403 412 418 408 423 400 413分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？附：样本数据 的的样本方差 ，其中 为样本平均数nx,2122221()()()nsxxxn难度 中 正确答案（I）2; （II）选择种植品种乙 考点：随机变
18、量的分布列、期望、样本平均数、样本方差提示一 考查学生的对事件的识别能力和计算能力. 确定 X 的取值和准确记忆期望、样本平均数和样本方差的计算公式是解题的前提.提示二 (1)根据题意，明确 X 的取值，利用随机事件的概率公式 进行计算，然后利用期望公式求解；（2）mPn利用样本平均数和样本方差的公式分别计算两种情况下数值，通过数值大小比较确定选择哪一种品种.提示三（I）X 可能的取值为 0，1 ，2，3，4，且1324488 8314 1(0),(),(),7535, .570CCPPXPXC即 X 的分布列为4 分X 的数学期望为6 分18181()02342.735570E（II）品种甲
19、的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：222221(4039740380416)40,8)(1)()57.xS甲甲8 分品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为： 2222221(490314803401),87)6()1(56.xS乙乙10 分由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙. 12 分主题 20. 如图，已知椭圆 C1 的中心在原点 O，长轴左、右端点 M，N 在 x 轴上，椭圆 C2 的短轴为 MN，且C1，C 2 的离心率都为 e，直线 lMN，l 与 C1 交于两点，与 C2 交于两点，这四点按纵
20、坐标从大到小依次为A，B，C，D （I）设 ，求 与 的比值；eBAD（II）当 e 变化时，是否存在直线 l，使得 BOAN，并说明理由难度 难 正确答案（I） （II）当 时，不存在直线 l，使得 BO/AN；3.420e当 时，存在直线 l 使得 BO/AN. 21e考点：圆锥曲线椭圆、直线与椭圆的位置关系 提示一 考查学生对数形结合和分类讨论的理解，以及计算能力.利用直线和椭圆联立得到交点坐标和 BO/AN 得到斜率相等是解答本题的前提.提示二 (1)根据离心率相同设出两个椭圆方程, 利用直线 和椭圆联立，确定 A 和 B 的坐标，进而表示出 与l BC；（2）利用 BO/AN 当且仅
21、当 BO 的斜率 kBO 与 AN 的斜率 kAN相等，得到 的表达关系式，通过 t 的范围AD et、和函数关系确定 e 范围，进而明确是否存在直线 l，使得 BOAN.提示三（I）因为 C1，C 2 的离心率相同，故依题意可设2 2124:,:1,(0)xybyxabaa设直线 ，分别与 C1，C 2 的方程联立，求得:(|)lxta4 分22(,.abAtBtb当 表示 A，B 的纵坐标，可知13,Aeay时 分 别 用6 分2|:| .4BAbBCD（II）t=0 时的 l 不符合题意. 时，BO/AN 当且仅当 BO 的斜率 kBO 与 AN 的斜率 kAN相等，即0t解得22,ba
22、tabt221.abet a因为21|,0,.ete又 所 以 解 得所以当 时，不存在直线 l，使得 BO/AN；2当 时，存在直线 l 使得 BO/AN. 12 分21e21. 已知函数 xaxxf )2(ln)(（I）讨论 的单调性；（II）设 ，证明：当 时， ；0ax10)1()(xaff（III ）若函数 的图像与 x 轴交于 A，B 两点，线段 AB 中点的横坐标为 x0，证明： （x 0）0)(xfy f难度 难 正确答案 (1) 单调增加，在 单调减少. （II） （III ）详见提示.1(,)a在 (,)考点：函数、单调性、不等式证明提示一 考查学生灵活应用分类讨论思想、等价转换思想的能力和构造函数证明不等式的解题能力.清晰导数法研究函数的单调性、构造函数 和借助前一二问结论解决第三问的意识是解题的前提.1()()gxffxa提示二 (1)首先明确函数的定义域，利用求导和对 a 进行分类确定函数的单调区间；（2）利用构造函数通过求导确定其最小值大于 0；（3）借助第一问和第二问的结论进行证明.1()(),gxffa提示三（I） 0,的 定 义 域 为 1(1)()().xafx（i）若 单调增加.0,(),fx则 所 以 在（ii）若 aa则 由 得
