1、第 1 页 2012 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数 学（理科）选择题部分（共 50 分）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合 A x|1x4，Bx| x 22x3 0 ，则 A (CRB)A(1 ，4) B(3，4) C(1，3) D(1 ，2)【解析】A(1，4)，B( 3，1)，则 A( RB)(1，4)【答案】A2已知 i 是虚数单位，则 +i1A1 2i B 2i C2i D12i【解析】 3+i i 412i 【答案】D3设 aR，则“a 1”是“直线 l1：ax2 y10 与直线 l2
2、：x ( a1)y 4 0 平行”的A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【解析】当 a1 时，直线 l1：x2 y10 与直线 l2：x 2y40 显然平行；若直线l1 与直线 l2 平行，则有： a，解之得：a1 or a2所以为充分不必要条件【答案】A4把函数 y cos2x1 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ，然后向左平移 1 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，得到的图像是第 2 页 【解析】把函数 ycos2x 1 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)得：y 1cosx1，向左平移 1 个单位长度
3、得：y 2cos( x1)1，再向下平移 1 个单位长度得：y 3cos(x 1)令 x0，得：y 30；x ，得： y30；观察即得答案【答案】B5设 a，b 是两个非零向量A若|ab| |a|b|，则 abB若 ab，则|ab| |a| b|C若 |ab| a|b|，则存在实数 ，使得 abD若存在实数 ，使得 ab，则| ab | a|b|【解析】利用排除法可得选项 C 是正确的，|a b| |a |b| ，则 a，b 共线，即存在实数 ，使得 ab如选项 A：|a b| |a | b|时，a，b 可为异向的共线向量；选项 B：若 ab，由正方形得|ab|a| b|不成立；选项 D：若存
4、在实数 ，使得ab，a，b 可为同向的共线向量，此时显然|ab |a| b|不成立【答案】C6若从 1，2，2，9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有A60 种 B63 种 C65 种 D66 种【解析】1，2 ，2 ，9 这 9 个整数中有 5 个奇数，4 个偶数要想同时取 4 个不同的数其和为偶数，则取法有：4 个都是偶数：1 种；第 3 页 2 个偶数，2 个奇数： 25460C种；4 个都是奇数： 45种不同的取法共有 66 种【答案】D7设 S n 是公差为 d(d0)的无穷等差数列 a n的前 n 项和，则下列命题错误的是A若 d0 ，则数列 S
5、n有最大项B若数列S n有最大项，则 d0C若数列S n是递增数列，则对任意的 nN*，均有 S n0D若对任意的 nN*，均有 S n0，则数列S n是递增数列【解析】选项 C 显然是错的，举出反例：1，0 ，1，2 ，3 ，满足数列 S n是递增数列，但是 S n0 不成立【答案】C8如图，F 1，F 2 分别是双曲线 C：21xyab(a，b0)的左右焦点，B 是虚轴的端点，直线 F1B 与 C 的两条渐近线分别交于 P，Q 两点，线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交于点M若 |MF2|F 1F2|，则 C 的离心率是A 3 B 62C 2 D 3【解析】如图：|OB|b，|O F1|c
6、k PQ bc，k MN bc直线 PQ 为：y c(xc )，两条渐近线为：y ax由()yxba ，得：Q( ac， b)；由()byxca -，得：P ( ac， b)直线 MN 为：y c (x ac)，令 y0 得：x M32ca又|MF 2|F 1F2|2c，3 cx M32ca，解之得：2ace，即 e 6第 4 页 【答案】B9设 a0，b0A若 23b，则 abB若 a，则 abC若 b，则 abD若 23a，则 ab【解析】若 2b，必有 22ab构造函数： 2xf，则2ln0xf恒成立，故有函数 xf在 x0 上单调递增，即 ab 成立其余选项用同样方法排除【答案】A10
7、已知矩形 ABCD，AB1，BC 2将 ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻着，在翻着过程中，A存在某个位置，使得直线 AC 与直线 BD 垂直B存在某个位置，使得直线 AB 与直线 CD 垂直C存在某个位置，使得直线 AD 与直线 BC 垂直D对任意位置，三直线“AC 与 BD”， “AB 与 CD”， “AD 与 BC”均不垂直【解析】最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着，观察在翻着过程，即可知选项 C 是正确的【答案】C非选择题部分（共 100 分）二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分11已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三棱锥的
8、体积等于_cm 3【解析】观察三视图知该三棱锥的底面为一直角三角形，右侧面也是一直角三角形故体积等于 1321【答案】1第 5 页 12若程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是_【解析】T，i 关系如下图：T 1 2162410i 2 3 4 5 6【答案】 1013设公比为 q(q0) 的等比数列a n的前 n 项和为S n若 23Sa， 432S，则 q_【解析】将 2， 4a两个式子全部转化成用 1a，q 表示的式子即 1123312aqaq，两式作差得： 23211()aq，即：230，解之得： or(舍去) 【答案】14若将函数 5fx表示为 25012511faaxax其中 0
9、， 1， 2， 5为实数，则 3_【解析】法一：由等式两边对应项系数相等即：54 33143010aCa法二：对等式： 25501251fxxaax 两边连续对 x 求导三次得：2 234560(1)6()xaa，再运用赋值法，令 得： 360a，即 310【答案】10第 6 页 15在 ABC 中，M 是 BC 的中点，AM3，BC 10 ，则 ABC_ 【解析】此题最适合的方法是特例法假设 ABC 是以 ABAC 的等腰三角形，如图，AM 3，BC10 ，AB AC 34cosBAC 410293 ABC cos29ABC【答案】2916定义：曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值称为
10、曲线 C 到直线 l 的距离已知曲线C1：y x 2a 到直线 l：y x 的距离等于 C2：x 2(y4) 2 2 到直线 l：yx 的距离，则实数 a_【解析】C 2：x 2(y4) 2 2，圆心(0，4)，圆心到直线 l：yx 的距离为：0(4)d，故曲线 C2 到直线 l：yx 的距离为 2dr另一方面：曲线 C1：yx 2a ，令 20，得： 1x，曲线 C1：yx 2a 到直线l：y x 的距离的点为( 2， 4)，1()7442ad 【答案】 7417设 aR，若 x0 时均有( a1)x1( x 2ax1)0，则 a_ 【解析】本题按照一般思路，则可分为一下两种情况：(A) 2
11、10xa ， 无解；(B) 2 ， 无解因为受到经验的影响，会认为本题可能是错题或者解不出本题其实在 x0 的整个区间上，我们可以将其分成两个区间(为什么是两个？) ，在各自的区间内恒正或恒负 (如下答图)我们知道：函数 y1(a1)x1，y 2x 2ax1 都过定点 P(0，1) 考查函数 y1(a1)x1 ：令 y0 ，得 M( a，0)，还可分析得：a1 ；第 7 页 考查函数 y2x 2ax1 ：显然过点 M( 1a，0)，代入得：2110a，解之得： a，舍去 a，得答案： 2【答案】 2a三、解答题：本大题共 5 小题，共 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18 (本
12、小题满分 14 分)在 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知cosA 23，sinB 5cosC()求 tanC 的值；()若 a 2，求 ABC 的面积【解析】本题主要考察三角恒等变换，正弦定理，余弦定理及三角形面积求法等知识点。()cosA 230，sin A 251cos3，又 5cosCsinB sin( AC)sinAcosC sinC cosA 3cosC sinC整理得：tanC 5()由图辅助三角形知：sin C 6又由正弦定理知： siniacA，故 3c (1)第 8 页 对角 A 运用余弦定理：cosA 223bca (2)解(1) (2)得： 3b
13、 or b 3(舍去) ABC 的面积为： S 52【答案】() 5；( ) 19 (本小题满分 14 分)已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球，且规定：取出一个白球的 2 分，取出一个黑球的 1 分现从该箱中任取 (无放回，且每球取到的机会均等 )3 个球，记随机变量 X 为取出 3 球所得分数之和()求 X 的分布列；()求 X 的数学期望 E(X)【解析】本题主要考察分布列，数学期望等知识点。() X 的可能取值有：3，4，5，6 359)42CP； 2154390()CPX;1539(； 4396故，所求 X 的分布列为X 3 4 5 6P 54201221421() 所求 X 的数
14、学期望 E(X)为：E(X)6491(2ii【答案】() 见解析；( ) 20 (本小题满分 15 分)如图，在四棱锥 PABCD 中，底面是边长为 23的菱形，且BAD120，且 PA平面 ABCD，PA 26，M ，N 分别为 PB，PD 的中点()证明：MN平面 ABCD；() 过点 A 作 AQPC，垂足为点 Q，求二面角 AMNQ 的平面角的余弦值【解析】本题主要考察线面平行的证明方法，建系求二面角等知识点。第 9 页 ()如图连接 BD.M ，N 分别为 PB，PD 的中点，在 PBD 中，MN BD又 MN平面 ABCD，MN 平面 ABCD；()如图建系：A(0， 0，0)，P
15、(0，0 ， 26)，M( 32， ，0) ，N( 3，0，0)，C( 3，3 ，0)设 Q(x，y，z)，则 (3)(326)xyzCP， ， ， ， ， (326P， ， ， Q， ， 由 0OC，得： 13 即： 236()， ， 对于平面 AMN：设其法向量为 ()nabc， ， 3(0)=302AMAN， ， ， ， ， 则3001230anabbANc 31(0)n， ， 同理对于平面 AMN 得其法向量为 (316)v， ， 记所求二面角 AMNQ 的平面角大小为 ，则 10cos5nv所求二面角 AMNQ 的平面角的余弦值为 105【答案】() 见解析；( ) 10521 (本
16、小题满分 15 分)如图，椭圆 C：2+1xyab(ab0)的离心率为 12，其左焦点到点 P(2，1) 的距离为 0不第 10 页 过原点 O 的直线 l 与 C 相交于 A，B 两点，且线段 AB 被直线 OP 平分()求椭圆 C 的方程；() 求 ABP 的面积取最大时直线 l 的方程【解析】()由题： 12cea； (1)左焦点(c，0)到点 P(2，1) 的距离为： 2()1dc0 (2)由(1) (2)可解得： 222431bc， ， 所求椭圆 C 的方程为： +xy()易得直线 OP 的方程：y 2x，设 A(xA，y A)，B (xB，y B)，R (x0，y 0)其中 y0 12x0A，B 在椭圆上，2 0+1 2334344AABABBBxy xyxkxyy设直线 AB 的方程为 l：y 2m(m0) ，代入椭圆：222+143330xxy -显然 222()()(1)mm 1m 且 m0由上又有： ABxm， ABy23|AB| 1k| x| 1k2()4ABABxx 1ABk243m点 P(2，1)到直线 l 的距离为： 3ABABmdS ABP 12d|AB| |m2|243，当|m 2| 243，即 m3 or m0( 舍去) 时，(S ABP)max 12此时直线 l 的方程 y 1x
