1、2012 广东高考数学理科试题信参考答案 第 1 页 共 11 页2012 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：（本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设 为虚数单位，则复数i 6iA B C D65565i65i2. 设集合 ，则1,234,1,24UMUA B C D3, 2,43. 若向量 ，则(,)(,7)CABA B C D2,424(6,10)(6,10)4. 下列函数中，在区间 上为增函数的是(0,)A B C Dln(2)yx1yx2xyyx5. 已知变量 满足约束条件 ，则 的
2、最大值为,21xy3zxA B C D1216. 某几何体的三视图如图 1 所示，它的体积为A B 45C D5787. 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为 0 的概率是A B 4913C D298. 对任意两个非零向量 ，定义 ,若向量 满足 ， 的夹角,=a,b|0a,b，且 和 都在集合 中，则(0,)4ab|2nZ=2012 广东高考数学理科试题信参考答案 第 2 页 共 11 页A B1 C D123252二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分。（一）必做题（913 题）9. 不等式 的解集为 。|1x10. 的展开式
3、中 的系数为 。 （用数261()3x字作答）11.已知递增的等差数列 满足 ，则na213,4a。 na12.曲线 在点 处的切线方程3yx(,)为 。13.执行如图 2 所示的程序框图，若输入 的值为 8，则输出 的值为 。ns（二）选做题（1415 题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系 中，曲线 和 参数方程分别为xOy1C2和 ，则曲线 和()xty为 参 数 2cos()inxy为 参 数 1的交点坐标为 。2C15.（几何证明选讲选做题）如图 3，圆 的半径为 1， 为圆O,ABC周上的三点，满足 ，过点 作圆 的切线与 的0ABCO延长线交于
4、点 ，则 。P三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。16. （本小题满分 12 分）已知函数 （其中 ）的最小正周期为()2cos()fxx0,xR101）求 的值；2）设 ，求 的值。56516,0,(),()37ffcos()2012 广东高考数学理科试题信参考答案 第 3 页 共 11 页17. （本小题满分 13 分）某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图 4 所示，其中成绩分组区间是：。40,5,60,7,80,9,11）求图中 x 的值；2）从成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人，该 2 人中成绩在 90 分
5、以上（含 90 分）的人数记为 ，求 的数学期望。18. （本小题满分 13 分）如图 5，在四棱锥 中，底面 为矩形，PABCDAB，点 在线段 上，PA平 面 EPDE平 面（1）证明： 平 面（2）若 ，求二面角 的正切值。1,2BA19 （本小题满分 14 分）设数列 的前 项和为 ，满足 ，且 成等差数列。nanS1*2,nnaN123,5a（1）求 的值；1（2）求数列 的通项公式；n（3）证明：对一切正整数 ，有 。123naa2012 广东高考数学理科试题信参考答案 第 4 页 共 11 页20. （本小题满分 14 分）在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的离心率为 ，且椭xOy
6、2:1(0)xyCab23e圆 上的点到 的距离的最大值为 3.C(0,2)Q（1）求椭圆 的方程；（2）在椭圆 上，是否存在点 ，使得直线 与圆 相交于不(,)Mmn:1lxny2:1Oxy同的两点 ，且 的面积最大？若存在，求出点 M 的坐标及对应的 的面积；若不存在，,ABO AB请说明理由。21.（本小题满分 14 分）设 ，集合 ，1a2|0,|3(1)60AxRBxRaxDAB（1）求集合 （用区间表示） ；D（2）求函数 在 内的极值点。32()2(1)6faD2012 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）参考答案：18: DCAAB CDB注：第 8 题解析：因
7、为 ，| 2cosab|cos1ba且 和 都在集合 中，|2nZ2012 广东高考数学理科试题信参考答案 第 5 页 共 11 页所以， ， ，所以|1cos2ba|cosba 2|cosab所以 ，故有29. （写成集合形式也给分 ） 10. 20 11. 21,(1|2x21n12. 13. 8 14. 15. 0xy(,)3第 9 题注解：x-(-2)|-|x-0| 即数轴上到-2 的点与到 0 点距离只差小于 1 的点的集合。|2|1| 1三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。16. （本小题满分 12 分）已知函数 （其中 ）的最小
8、正周期为()2cos()fxx0,xR10（1）求 的值；（2）设 ，求 的值。5656,0,(),()37ffcos()解：（1）由题意 ，解得 。211（2）由题 ，即 ，又 ，可得 ，6cos()5173sin58co17,0,24cos51in7所以 。43cos()cssin518517. （本小题满分 13 分）某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图 4 所示，其中成绩分组区间是：。40,5,60,7,80,9,1（1）求图中 x 的值；（2）从成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人，该 2 人中成绩在 90 分以上（含 90 分）的人数记为 ，求 的数学期望
9、。解：（1）由题意：2012 广东高考数学理科试题信参考答案 第 6 页 共 11 页，解得 ；(0.54.1063)10x0.18x（2）8090 分有 人；90100 分有 人。.895.603所有可能的取值为 0, 1, 221 2993321 1(0); (); ()CCCPPP故 。E18. （本小题满分 13 分）如图 5，在四棱锥 中，底面 为矩形，PABCDAB，点 在线段 上，PA平 面 EPDE平 面（1）证明： 平 面（2）若 ，求二面角 的正切值。1,2BA（1）证明： ， ； ， 。PACD平 面 PCBDE平 面 PCB又 ， 。平 面（2）解：设 交于 ，连结 ，
10、由题 ，所以 即为二面角,BOE, PO的平面角。PCA由（1）知， ，所以四边形 ABCD 为正方形，D易得 。22, 183PCA由（1）知 又 ，有 ，90EEPCAEPAC:故 ， 。在 中， 。OPA3ORtBOtan3OB所以二面角 的正切值为 3 BCA19 （本小题满分 14 分）设数列 的前 项和为 ，满足 ，且 成等差数列。nanS1*2,nnaN123,5a（1）求 的值；1（2）求数列 的通项公式；n2012 广东高考数学理科试题信参考答案 第 7 页 共 11 页（3）证明：对一切正整数 ，有 。n123naa解：（1）由题 ，解得 ，故21321()5aa12359
11、a1.（2）当 时， ；n1a当 时， 1nnS12nnS由-得： ，整理得 ，12n 133,(1)2nnaa故 为公比为 的等比数列，1()na32首项为 ，故 ，2942931()4nnna，经验证当 时，3na综上 。*2()nnN（3）当 时(1)nna1212nnnCC12nC ()又因为 ，所以， 。25()21,na所以， 11()2na所以， 1231113( )().2342nann 20. （本小题满分 14 分）在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的离心率为 ，且椭圆 上的xOy2:1(0)xyCab3eC点到 的距离的最大值为 3.(0,2)Q（1）求椭圆 的方程；C20
12、12 广东高考数学理科试题信参考答案 第 8 页 共 11 页（2）在椭圆 上，是否存在点 ，使得直线 与圆 相交于不同C(,)Mmn:1lxny2:1Oxy的两点 ，且 的面积最大？若存在，求出点 M 的坐标及对应的 的面积；若不,ABO AB存在，请说明理由。解：（1）由 ，所以23ceaa2213bac设 是椭圆 上任意一点，则 ，所以(,)PxyC2xy222()3yxab22222|()3()(1)6()Qa ay 当 ，即 时， 时， 有最大值 ，31ay|PQ23可得 ，所以 ；,2bc当 ，即 时， 时， 有最大值 ，可31a03a3ya|P23()a得，舍去。3所以 故椭圆
13、的方程为：1,2bcC21.3xy（2）因为 在椭圆 上，所以 ，(,)Mmn2mn223n设 ， ， 由 ，得1(,)Axy2(,)B21xy222()10xm所以， ，可得22224()44()nnn24n并且： ，122mx12x所以，22121112 ()xmynnn 2012 广东高考数学理科试题信参考答案 第 9 页 共 11 页所以， 222211112|()()()ABxyxyxy（ 亦可 ，其中 为圆心到直线222nmn|ABrd的距离 ）1mxy设点 O 到直线 AB 的距离为 ，则h21mn所以 221| ()2ABS:设 ，由 ，得 ，所以，tmn04213(,)n1(
14、,)3t，21(1)()OABStt: (,)t所以，当 时， 面积最大，最大为 。2tOABS:12此时， (0,)M21.（本小题满分 14 分）设 ，集合 ，1a2|0,|3(1)60xRxRaxDAB（1）求集合 （用区间表示） ；D（2）求函数 在 内的极值点。32()2(1)6faD解：（1）对于方程 0x判别式 29(1)483()a因为 ，所以 当 时， ，此时 ，所以 ；30BR(0,)D 当 时， ，此时 ，所以 ；1a|1x1(,)当 时， ，设方程 的两根为 且 ，则 23()6a2x12x，13()()4x23()4ax2012 广东高考数学理科试题信参考答案 第 1
15、0 页 共 11 页12|Bxx或 当 时， ， ，所以03a13()0a1230xa12,0x此时， 2(,),)Dx1(3()()(0, ,)44 当 时， ，所以a120xa12,0x此时， 23()(3)(,) ,)4aD（2） ，)616(1)fxaxx1所以函数 在区间 上为减函数，在区间 和 上为增函数(,(,a,) 当 时，因为 ，所以 在 D 内没有极值点；3D)fx 当 时， ，所以 在 D 内有极大值点 ；1a(0,1)(13a 当 时， 03(1)(3)3(1)(3)1, ,)44aaD 由 ，很容易得到0a3(1)(3)13()(3)144aaaa（可以用作差法，也可以用分析法）所以， 在 D 内有极大值点 ；()fxa 当 时，0a3(1)(3)1,)4由 ，很容易得到0a(31)4aa
