1、2013 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学第 I 卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的。1若复数 z满足 (3)2i(i为虚数单位)，则 z的共轭复数 z为(A) 2i (B) (C) (D) i 2 已知集合 A=0,1,2，则集合 B,xyA中元素的个数是(A) 1 (B) 3 (C)5 (D)93已知函数 ()fx为奇函数，且当 0时，21()fx，则 ()f(A) (B) 0 (C) 1 (D) 24已知三棱柱 1ABC的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为 3的正三角
2、形.若 P为底面 1的中心，则 P与平面 ABC所成角的大小为(A) 52(B) 3 (C) 4(D) 65将函数 sin()yx的图象沿 x轴向左平移 8个单位后，得到一个偶函数的图象，则 的一个可能取值为(A) 34(B) 4 (C)0 (D) 46在平面直角坐标系 xoy 中， M为不等式组20,138,xy所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为（A）2 （B）1 （C）（D） 27给定两个命题 p， q.若 是 的必要而不充分条件，则 p是 q的（A）充分而不必要条件 （B） 必要而不充分条件 （C）充要条件 （D ） 既不充分也不必要条件8函数 cosinyxx的图象大致为9
3、过点 (3,1)作圆2()1xy的两条切线，切点分别为 A， B，则直线 的方程为（A） 20y （B） 30x （C） 430xy （D） 430xy10用 0，1，9 十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（A）243 （B） 252 （C） 261 （D）27911已知抛物线 1C：2yxp(0)的焦点与双曲线 2C：213xy的右焦点的连线交 1C于第一象限的点 M。若 在点 处的切线平行于 的一条渐近线，则 p（A）36（B）38（C）3（D）412设正实数 ,xyz满足2240xyz，则当xyz取得最大值时，21xyz的最大值为（A）0 （B）1 （C）9（D）3二、填空题：
4、本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。13执行右图的程序框图，若输入的 的值为 0.25，则输出的 n 的值为_.否是开始输入 (0)01,2Fn101n1?F输出 n结束14在区间 3,上随机取一个数 x，使得 12x成立的概率为_.15已知向量 AB与 C的夹角为 20，且 3AB， C，若 APBC，且P，则实数 的值为_.16定义“正对数”：,1,lnlx现有四个命题：若 0,ab，则 ()nba；若 ，则 llb若 ,，则()若 0ab，则 lnlnl2a其中的真命题有_.( 写出所有真命题的编号)三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分。17 （本小题满分 12 分
5、）设 ABC的内角 ,所对的边分别为 ,abc，且 6， 2b，7cos9B。（）求 ,a的值； （）求 sin()的值。18 （本小题满分 12 分）如图所示，在三棱锥 PABQ中， 平面 ABQ， PB，,DCEF分别是 ,AQ的中点， 2D, 与 E交于点 G， C与Q交于点 H，连接 G.（）求证： B； （）求二面角 GH的余弦值。19 （本小题满分 12 分）甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜 3 局者获得比赛的胜利，比赛随即结束，除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23，假设各局比赛结果相互独立.（）分别求甲队以 3：0,3:1,3:2 胜利的概率；（）
6、若比赛结果为 3:0 或 3:1，则胜利方得 3 分，对方得 0 分；若比赛结果为 3:2，则胜利方得2 分、对方得 1 分.求乙队得分 X的分布列及数学期望。20 （本小题满分 12 分）设等差数列 na的前 n 项和为 nS，且 42S， 1na.（）求数列 na的通项公式；（）设数列 b前 n 项和为 nT，且 12n（ 为常数）.令 2ncb*()N.求数列 nc的前 n 项和 R。21 （本小题满分 13 分）设函数 2()xfce（ =2.71828是自然对数的底数， cR）.（）求 ()fx的单调区间、最大值； （）讨论关于 x的方程 ln()fx根的个数。22(本小题满分 13
7、 分) 椭圆2:1yCab(0)的左、右焦点分别是 12,F，离心率为32，过 1F且垂直于 x轴的直线被椭圆 截得的线段长为 1.（）求椭圆 的方程； （）点 P是椭圆 上除长轴端点外的任一点，连接 12,PF，设 12P的角平分线 M交C 的长轴于点 (,0)Mm，求 的取值范围；（）在（）的条件下，过 P点作斜率为 k的直线 l，使得 l与椭圆 C有且只有一个公共点，设直线 12,F的斜率分别为 12,，若 0，试证明 12k为定值，并求出这个定值. 参考答案一、选择题1D【解析】由(z-3)(2-i)=5，得 ，所5(2)5(2)33352iiz iii以 ，选 D.5zi2C【解析】
8、因为 ,所以 ，即 ,有 5 个元素，选 C.,xyA,10,xy,10B3A【解析】因为函数为奇函数，所以 ，选 A.()()2ff4B【解析】取正三角形 ABC 的中心，连结 ,则 是 PA 与平面 ABC 所成的角。因为底面边长为OPA，所以 , .三棱柱的体积为 ,解32D23D2139()4A得 ，即 ,所以 ，即 ，选 B. 11OPAtanPAO5B【解析】将函数 y=sin（2x + ）的图像沿 x 轴向左平移 个单位，得到函数8，因为此时函数为偶函数，所以 ，即sin2()sin(2)84yxx ,42kZ，所以选 B.,4kZ6C【解析】作出可行域如图由图象可知当 M 位于
9、点 D 处时，OM 的斜率最小。由 得 ，即 ,此时 OM 的21038xy31xy()D斜率为 ，选 C.137A【解析】因为p 是 q 的必要而不充分条件，所以q 是 p 的必要而不充分条件，即 p 是q 的充分而不必要条件，选 A.8 D【解析】函数 y=xcosx + sinx 为奇函数，所以图象关于原点对称，所以排除 B，C.当 时，x,排除 A,选 D.()0f9A【解析】由图象可知， 是一个切点，所以代入选项知， 不成立，排除。又 直线的斜(1,)A,BDA率为负，所以排除 C，选 A10B【解析】有重复数字的三位数个数为 。没有重复数字的三位数有 ,所910129648C以有重
10、复数字的三位数的个数为 ，选 B.648=2511D【解析】经过第一象限的双曲线的渐近线为 。抛物线的焦点为 ,双曲线的右焦点3yx(0)pF为 . ，所以在 处的切线斜率为 ，即 ，所以 ，即2(,0)F1yxp20(,)xMp013x03x三点 ， ， 共线，所以 ，即 ，选 D.(,)2(,)3(,)60623p412B 【解析】由 ，得 。所以224xyz223xy，当且仅当 ，即 时取等号此时221433xyxyz143y， . 2y)(maxz xyz22)21()(y，故选 B.1)21(4133【解析】第一次循环， ，此时 不成立。第二次循023,12,Fn10.253F环，
11、，此时 成立，输出 。105,Fn1.5Fn14 【解析】设 ，则 。由3()12fxx,1()223,xfxx，解得 ，即当 时， 。由几何概型公式得所求概率为21x231f。()615 【解析】向量 与 的夹角为 ，且 所以712ABC20|3,|2,ABC。由 得， ，即1cos2032ABCA APBC0，所以 ，即()()PCB22(1)A，解得 。49317116【解析】当 时， ， ，所以,0abbaln()lln,lnbbaab成立。当 时， ，此时 ，即ln()lba1()0成立。综上 恒成立。当 时，ln()l1,e，所以 不成立。讨论 的取值，l()l10,l1,0aeb
12、 ln()lnabb ,ab可知正确。讨论 的取值，可知正确。所以正确的命题为。b17解：（）由余弦定理 22cosB，得 22(1cos)caB，又 6ac， ，7cos9，所以 9a，解得 3， .（）在 ABC中，24sin1,由正弦定理得 i3b，因为 ac，所以 为锐角，所以21cosin3A因此 0sin()sii7ABB.18解：（）证明：因为 ,DCEF 分别是 ,QAP的中点，所以 EF , ，所以 ，又 平面 P， 平面 P，所以 平面 ，又 平面 Q,平面 平面 GH，所以 GH，又 AB，所以 .（）解法一：在 中, 2ABD, Q,所以 =90，即 ,因为 P平面 A
13、,所以 BP，又 PQ，所以 平面 ，由（）知 GH,所以 GH平面 B，又 FH平面 ，所以 F，同理可得 C，所以 FC为二面角 GE的平面角，设 2,连接 ，在 tR 中，由勾股定理得， 2C，在 中，由勾股定理得， 5P，又 H为 PBQ的重心，所以13同理 53FH,在 C中，由余弦定理得5249cosFHC，即二面角 DGHE的余弦值为45.解法二：在 ABQ中， 2D, AQ,所以 90，又 P平面 B,所以 BP两两垂直，以 为坐标原点，分别以 ,所在直线为 x轴， y轴， z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设 ，则 (10), (,1)F, (02,), (10)D， (,
14、)C(0,2)P,所以(1,2)E, (,2F, ,C,设平面 Q的一个法向量为 1mxyz，由 0m， ,得112xyz取 1，得 (,2).设平面 PDC的一个法向量为 2(,)nxyz由 0n， ,得22xyz取 21z，得 (0,1)n.所以4cos,5mn因为二面角 DGHE为钝角，所以二面角 DGHE的余弦值为45.19解：（）记“甲队以 3：0 胜利”为事件 1A， “甲队以 3：1 胜利”为事件 2A， “甲队以 3：2胜利”为事件 3A，由题意，各局比赛结果相互独立，故 128()7P，232()3C，12414()A所以，甲队以 3：0,3:1,3:2 胜利的概率分别是82
15、7， ，4；（）设“乙队以 3:2 胜利” 为事件 4A，由题意，各局比赛结果相互独立，所以124 14()()()327PAC由题意，随机变量 X的所有可能的取值为 0,1,2,3， ，根据事件的互斥性得1212(0)()()APA6,347,4()(2PX,310)(1)PX(2)37故 的分布列为0 1 2 3P62747427所以1432EX920解：（）设等差数列 na的首项为 1，公差为 d， 由 42S， na得11684()()dd， 解得， ，因此 2na*N（）由题意知： 12nnT所以 2n时， 2nb故，121()4nc*()N所以0231() ()4 4nnR ，则1
16、231()()()()4n两式相减得1314 4nn ()4)(1nn整理得3()9nnR所以数列数列 nc的前 n 项和 13(4)9nnR21解：（） 2()1)xfxe，由()0fx，解得 ，当12时，()f， ()fx单调递减所以，函数 x的单调递增区间是1,)2，单调递减区间是1(,)2，最大值为1()2fce（）令 2ln()lnxgxfxce(0,) （1）当 (,)时， l0，则 2()lxgce，所以，2 1)xeg因为 210x，x所以 (0gx因此 ()在 ,)上单调递增.（2）当 ,时，当时， ln，则 2()lnxce，所以，2()(1)xegx因为221,e， 0x
17、，又 21x所以x所以 ()g因此 ()g在 0,上单调递减.综合（1） （2）可知 当 ,x时，2()1xgec，当 ec，即 2e时， 没有零点，故关于 x的方程 ln()f根的个数为 0；当2()0g，即 2时， ()x只有一个零点，故关于 的方程 lfx根的个数为 1；当21ec，即 2e时，当 (,)x时，由（）知 12)lnln()lnxgcxc要使 (0，只需使 0，即1(,)e；当 ,1时，由（）知12()lnln()ln12xgxcecxce；要使 0，只需使 0，即 (,)e；所以当 2c时， ()g有两个零点，故关于 的方程 l()fx根的个数为 2；综上所述：当 e时，
18、关于 x的方程 ln()fx根的个数为 0；当 2c时，关于 的方程 根的个数为 1；当 时，关于 的方程 l()f根的个数为 2.22解：（）由于 22cab，将 xc代入椭圆方程21xyab得2ba由题意知21ba，即 又ea3所以 ， 所以椭圆方程为214y（）由题意可知： = , = ,设 其中 ，1|PFM2|P1|FM2|P0(,)xy204将向量坐标代入并化简得：m （ ，因为 ， 3006)xx04所以 ，而 ，所以034x(,)(,)2m（3）由题意可知，l 为椭圆的在 p 点处的切线，由导数法可求得，切线方程为：，所以 ，而 ，代入 中得01y04xky0012,3yykkxx12k为定值。01203()8k
