1、12013 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）第卷（选择题 共 50 分）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（1） 【2013 年安徽，理 1，5 分】设 是虚数单位， 是复数 的共轭复数若 ，则 （ ）izi+2=zz（A） （ B） （C ） （D ）i11i1i【答案】A【解析】设 ，则由 得 ，即 ，()zabR,i+2=z()ii2()abab2i()2bab所以 ， ，所以 ， ，即 ，故选 A22b1iz（2） 【2013 年安徽，理 2，5 分】如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结
2、果是（ ）（A） （B） （C） （D）1643412【答案】D【解析】开始 ， ， ；返回， ， ， ；28102s2n81324s6n返回， ， ， ；返回， 不成立，输出 ，故选 D63466 12s（3） 【2013 年安徽，理 3，5 分】在下列命题中，不是公理的是（ ）（A）平行于同一个平面的两个平面相互平行（B）过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（C）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 （D）如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线【答案】A【解析】由立体几何基本知识知，B 选项为公理 2，C 选项为公理 1
3、，D 选项为公理 3，A 选项不是公理，故选A（4） 【2013 年安徽，理 4，5 分】 “ ”是“函数 在区间 内单调递增”的（ ）0a|()|fxax(0)，（A）充分不必要条件 （ B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】C【解析】函数 的图象有以下三种情形：fx0a0a0a由图象可知 在区间 内单调递增时， ，故选 Cfx()， （5） 【2013 年安徽，理 5，5 分】某班级有 50 名学生，其中有 30 名男生和 20 名女生随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为 86,94,88,92,90，五名女生的成
4、绩分别为88,93,93,88,93下列说法一定正确的是（ ）（A）这种抽样方法是一种分层抽样 （B）这种抽样方法是一种系统抽样 （C）这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差（D）该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数【答案】C【解析】解法一：对 A 选项，分层抽样要求男女生总人数之比 =男女生抽样人数之比，所以 A 选项错；对 B 选项，系统抽样要求先对个体进行编号再抽样，所以 B 选项错；2对 C 选项，男生方差为 40，女生方差为 30所以 C 选项正确；对 D 选项，男生平均成绩为 90，女生平均成绩为 91所以 D 选项错，故选 C解法二：五名男生成绩的平均数为 ，869
5、42015(9)五名女生成绩的平均数为 ，3831五名男生成绩的方差为 ，2222221 9085s 五名女生成绩的方差为 ，所以 ，故选 C296521s（6） 【2013 年安徽，理 6，5 分】已知一元二次不等式 的解集为 ，则 的解0fx12x或 0xf集为（ ）（A） （B） （C ） （D ）| 1lg2x或 lg|12xl|gl2|g【答案】D【解析】由题意知 ，所以 ，故选 D0xlgl（7） 【2013 年安徽，理 7，5 分】在极坐标系中，圆 的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ）2cos（A） （B ）()cos2R和 )s(co2R和（C） （D）1和 01和【答案】B
6、【解析】由题意可知，圆 可化为普通方程为 所以圆的垂直于 轴的两条切线方程分s21()xyx别为 和 ，再将两条切线方程化为极坐标方程分别为 和 ，故选0x2 ()cos2B（8） 【2013 年安徽，理 8，5 分】函数 的图象如图所示，在区间 上可找到 个不yfxab,n同的数 ，使得 ，则 的取值范围是（ ）12nx,， 12=nffx（A） （B） （C ） （D ）34,343,452,3【答案】B【解析】 可化为 ，故上式可理解为12=nfxfxf 1200=nfxfxfyf图象上一点与坐标原点连线的斜率相等，即 可看成过原点的直线与 的交点个数nyfx如图所示，由数形结合知识可得
7、，为 ，为 ，为 ，故选 B 234n（9） 【2013 年安徽，理 9，5 分】在平面直角坐标系中， 是坐标原点，两定点 ， 满足OA，则点集 所表示的区域的面积是（ ）=2OAB=+,1,PABR（A） （B ） （C） （D ）23423【答案】D【解析】以 ， 为邻边作一个平行四边形，将其放置在如图平面直角坐标系中，使 ， 两点 AB关于 轴对称，由已知 ，可得出 ，点 ，点x=2OAB60AOB3,1， 3,1B点 ，现设 ，则由 得 ，23,0D()Pxy， +P,xy3即 ，由于 ， ，可得 ，画出动点3xy1R， 31xy()Pxy，满足的可行域为如图阴影部分，故所求区域的面积
8、为 ，故选 D2=4（10） 【2013 年安徽，理 10，5 分】若函数 有极值点 ， ，且 ，则关于3fxabxc1x21f的方程 的不同实根个数是（ ）x230fxafb（A）3 （B）4 （C）5 （D）6【答案】A【解析】由 得， 或 ，即 的根为 或2f1x2x230fxafb1fx2fx的解如图所示12x21x由图象可知 有 2 个解， 有 1 个解，因此 的不同实根个数为1fxf30fafxb3，故选 A第卷（非选择题 共 100 分）二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分把答案填在答题卡的相应位置（11） 【2013 年安徽，理 11，5 分】若将函数
9、的图像向右平移 个单位，所得图像关于 轴sin24fxy对称，则 的最小正值是 【答案】 12【解析】 的通项为 ， ，解得 ，83ax183C()rrxa 8833=Crrrxax4r3r38C7a得 12（12） 【2013 年安徽，理 12，5 分】设 的内角 ， ， 所对边的长分别为 ， ， 若 ，ABBabc2，则角 3sin5iAB【答案】 【解析】 ， 又 ，由可得， ， ，sii35ab2bca53ab7c ， 222 713cosbcCb3C（13） 【2013 年安徽，理 13，5 分】已知直线 交抛物线 于 ， 两点若该抛物线上存在点 ，使ya2yxABC得 为直角，则
10、的取值范围为 ABa【答案】 1)，4【解析】如图，设 ， ， ，则 ，20()Cxa,Aa,B20,CAax ， ，即 ，BaC020， ， 22001x201（14） 【2013 年安徽，理 14，5 分】如图，互不相同的点 A1，A 2，A n，和 B1，B 2，B n，分别在角 的两条边上，所有 相互平行，且所有梯形 的面积均相OnAB1nB等设 若nAa， ，则数列 的通项公式是 12na【答案】 3n【解析】设 ， ， ， ， ， 又易知 ，1OABS12nOAa12OA12OAB 所有梯形 的面积12214OAB1123ABABSS梯 形 1nn均相等，且 ，1n ，11332n
11、nOABSS132na 2a（15） 【2013 年安徽，理 15，5 分】如图，正方体 的棱长为 1， 为 的中点，1ABCDPBC为线段 上的动点，过点 的平面截该正方体所得的截面记为 则下列命题正Q1CPQ， ， S确的是_(写出所有正确命题的编号 )当 时， 为四边形； 当 时， 为等腰梯形；02S2S当 时， 与 的交点 满足 ； 当 时， 为六边形；341DR13C41CQS当 时， 的面积为1CQS62【答案】【解析】当 时， ， ，所以 ，又因为 ，2211154Q2254APB1DAP1/2DPQ所以 正确；当 时，截面为 ，且为四边形，故也正确，如图（1）所示；0CM如（2
12、）图，当 时，由 得 ，即 ， ，故 正确；341NCR 1QN143CR3如图（3）所示，当 时，截面为五边形 ，所以错误；当 时，截面为1CQAPF1Q，1APCE可知 ， ，且四边形 为菱形， 四边形 ，故 正确132EP1CES162CE5图（1） 图（2） 图（3）三、解答题：本大题共 6 题，共 75 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程解答写在答题卡上的指定区域内（16） 【2013 年安徽，理 16，12 分】已知函数 的最小正周期为 4cosin()40xfx（1）求 的值；（2）讨论 f(x)在区间 上的单调性0,2解：（1） 24cosinsincocssin2c2o
13、s24f xxxx 因为 的最小正周期为 ，且 ，从而有 ，故 2if 0=1（2）由（1）知， 若 ，则 2sin24fxx02x544x当 即 时， 单调递增；当 即 时， 单调递减2408f 82xfx综上可知， 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减fx,82（17） 【2013 年安徽，理 17，12 分】设函数 ，其中 ，区间 1fxax0a|0Ixf（1）求 的长度(注：区间 的长度定义为 ；I()， （2）给定常数 ，当 时，求 长度的最小值0,1k1kI解：（1）因为方程 有两个实根 ， ，故 的解集为20axa10x22a0fx2|x因此区间 ， 的长度为 20,1II2（
14、2）设 ，则 令 ，得 ，故当 时，da1ad0da101k1ka，0单调递增；当 时， ， 单调递减所以当 时， 的最小k d值必定在 或 处取得而 ，故 1ak23211kdk1k因此当 时， 在区间 上取得最小值 da1,k21k（18） 【2013 年安徽，理 18，12 分】设椭圆 E： 的焦点在 轴上22=1xyax（1）若椭圆 的焦距为 1，求椭圆 的方程；E（2）设 分别是椭圆 的左、右焦点， 为椭圆 上第一象限内的点，直线 交 轴于点 ，并12F， PE2FPyQ且 证明：当 变化时，点 在某定直线上1PQ解：（1）因为焦距为 1，所以 ，解得 故椭圆 的方程为 24a258
15、a28=153xy（2）设 ， ， ，其中 由题设知 ，则直线 的斜率 ，0()xy,0Fc2, 1c0cFP10FPykxc6直线 的斜率 ，故直线 的方程为 当 时， ，2FP20FPykxc2FP0()yxc00cyx即点 坐标为 因此，直线 的斜率为 Q0(,)1Q10FQk由于 ，所以 化简得 1100FPQykxc22(1)yxa将代入 方程，由于点 在第一象限，解得 ， ，即点 在定直线E0()， 0a0P上xy（19） 【2013 年安徽，理 19，13 分】如图，圆锥顶点为 ，底面圆心为 ，其母线与底面所成的角为 ，PO2.5和 是底面圆 上的两条平行的弦，轴 与平面 所成的
16、角为 ABCDOOCD6（1）证明：平面 与平面 的交线平行于底面；PABCD（2）求 cos解：（1）设面 与面 的交线为 ， 不在面 内，所以 面l/AB/ABP又因为 面 ，面 与面 的交线为 ，所以 Pl/ABl由直线 在底面上而 在底面外可知， 与底面平行 ll（2）设 CD 的中点为 连接 ， 由圆的性质， ， FOF2CODFCD因为 底面， 底面，所以 又 ，故 面 OCDPOP又 面 ，因此面 面 从而直线 在面 上的射影为直线 ，PCDF故 为 与面 所成的角 设 ，60h则 tantan60Fh根据题设有 ，得 由 和 ，2.5tantan2.5OP 2tan.51ta4
17、5tan2.50得 ，因此 在 中，tan2.51(1)2hChRtCF，os33c6OFCh故 2 2scos2co()s(63)1=721DOF（20） 【2013 年安徽，理 20，13 分】设函数 证明： *()nnfxxxRN ，（1）对每个 ，存在唯一的 ，满足 ；*nN,30nf（2）对任意 ，由（1）中 构成的数列 满足 pnxx1npx解：（1）对每个 ，当 时， ，故 在 内单调递增*n011+02f f(0)，由于 ，当 时， ，故 1f223nn n又 ，21122321123 () 03443k nknnnkf 所以存在唯一的 ，满足 ,3nx0nfx（2）当 时，
18、，故 0x112fff110nnnfxffx7由 在 内单调递增知， ，故 为单调递减数列，从而对任意 ，1nfx(0)， 1nxnx *npN，npx对任意 ，由于 ，*pN220nnnfx212 21+ npppppnn xxfx 式减去 式并移项，利用 ，得0np22211kkknpnpnpnpkkxx因此，对任意 ，都有 211()npnpkk1*N0np（21） 【2013 年安徽，理 21，13 分】某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责已知该系共有 位学生，每次活动均需该系 位学生参加( 和 都是固定的nkk正整数)假设李老师和张老
19、师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系 位学生，且所发信息都能收到记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为 X（1）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；（2）求使 取得最大值的整数 PXmm解：（1）因为事件 ：“ 学生甲收到李老师所发信息 ”与事件 ：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立的事AB件，所以 与 相互独立由于 ，故 ，因此学生甲收到活动通知B1CknPA=1kPAn信息的概率 221knP（2）当 时， 只能取 ，有 当 时，整数 满足 ，其中 是knm1Xmnkmktt2k和 中的较小者由于“ 李老师和张老师各自独立、随机地发活动通知信息
20、给 位同学”所包含的基本事件总数为 当 时，同时收到李老师和张老师转发信息的学生人数恰为 仅收到李老师2(C)kn 2或仅收到张老师转发信息的学生人数均为 由乘法计数原理知：事件 所含基本事件数为kX此时 2kmkmknnn2CC()kmkmnnnPX当 时， t1PXk1k21knmk假如 成立，则当 能被 整除时，2(1)kn2()ktn2故 在 和 处达最大值；2()2tPXm()kn2()mkn当 不能被 整除时， 在 处达最大值( 注： 表示不超过 的最21kn 2(1)kxx大整数)，下面证明 因为 ，所以2(1)kt1n22)1kknn而 ，故 210kn22()10n显然 因此 ()kkt
