1、12014 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项（1） 【2014 年北京，理 1，5 分】已知集合 ， ，则 （ ）2|0Ax,12BAB（A） （B） （C ） （D ）00,1 0,12【答案】C【解析】集合 故 ，故选 C2| 2x,B,（2） 【2014 年北京，理 2，5 分】下列函数中，在区间 上为增函数的是（ ）(0)（A） （B） （C） （D ）1y2(1)yx2xy0.5log(1)yx【答案】A【解析】对于 A，
2、在 上为增函数，符合题意，对于 B， 在 上为减函数，不x1， 2(1)()，合题意，对于 C， 为 上的减函数，不合题意，对于 D， 为2xy()， 0.5lyx上的减函数，不合题意，故选 A(1)，（3） 【2014 年北京，理 3，5 分】曲线 （ 为参数）的对称中心（ ）cos2iny（A）在直线 上 （ B）在直线 上 （C）在直线 上（D ）在直线 上2yxx1yx1yx【答案】B【解析】参数方程 ，所表示的曲线为圆心在 ，半径为 1 的圆1cosin (12)，其对称中心为圆心 逐个代入选项可知， 在直线 上，故选 B(2)， ， 2yx（4） 【2014 年北京，理 4，5 分
3、】当 时，执行如图所示的程序框图，输出的 值为7,3mn S（ ）（A）7 （B）42 （C）210 （D）840【答案】C【解析】当 输入的 ， 时，判断框内的判断条件为 故能进入循环的 依次为 m73n5kk7，6，5顺次执行 ，则有 ，故选 CSk765210S（5） 【2014 年北京，理 5，5 分】设 是公比为 的等比数列，则“ ”是“ ”为递增数naq1qna列的（ ）（A）充分且不必要条件 （B）必要且不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】D【解析】对于等比数列 ，若 ，则当 时有 为递减数列故“ ”不能推出“ 为递增数列”na1q10an 1qna若
4、 为递增数列，则 有可能满足 且 ，推不出 综上， “ ”为“ 为递增nn 1q数列”的既不充分也不必要条件，故选 D（6） 【2014 年北京，理 6，5 分】若 满足 且 的最小值为 ，则 的值为（ ）,xy20ykxzyx4k（A）2 （B） （C） （D ）2212x +y-2=0-2kkx-y+2=02 2Oyx2【答案】D【解析】若 ， 没有最小值，不合题意若 ，则不等式组所表示的平面区 0k zyx0k域如图所示由图可知， 在点 处取最小值故 ，解得 ，故选zyx2， 204k12kD（7） 【2014 年北京，理 7，5 分】在空间直角坐标系 中，已知 ， ， ，Oxyz,A,
5、B0,C，若 ， ， 分别表示三棱锥 在 ， ， 坐标平面上的正投影图形的面积，1,21S2 DBCyzOx则（ ）（A） （B） 且 （C ） 且 （D ） 且12312S31S13S2S23S13S【答案】D【解析】 在 平面上的投影为 ，故 ，设 在 和 平面上的投影 CxOyA 2yzx分别为 和 ，则 在 和 平面上的投影分别为 和 23DCyOzx2OC 3A ， ，故 ，故选 D01， ， 102， ， 23S（8） 【2014 年北京，理 8，5 分】有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“ 合格”“不合格”三种若同学每科成绩不低于 同学，且至少有一科成绩比 高，则称“ 同学比
6、 同学成绩ABBB好”，现有若干同学，他们之间没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的问满足条件的最多有多少学生（ ）（A）2 （B）3 （C）4 （D）5【答案】B【解析】用 ABC 分别表示优秀、及格和不及格显然语文成绩得 A 的学生最多只有 1 个，语文成绩得 B 的也最多只有 1 个，得 C 的也最多只有 1 个，因此学生最多只有 3 个显然， （AC） （BB ） （CA）满足条件，故学生最多 3 个，故选 B第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题：共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分（9） 【2014 年北京，理 9，5 分】复数 21
7、i【答案】 1【解析】复数 ，故 2i(1i)i2i()11（10） 【2014 年北京，理 10】已知向量 、 满足 ， ，且 ，则 ab2,b0abR【答案】 5【解析】由 ，有 ，于是 ，由 ，可得 ，又 ，故 0ab|(1)， 5|1a|5（11） 【2014 年北京，理 11，5 分】设双曲线 经过点 ，且与 具有相同渐近线，则 的方程为C2,24yxC_；渐近线方程为_【答案】 ，213xy2x【解析】双曲线 的渐近线为 ，故 的渐近线为 ，设 ： 并将点 代42yx2yxC24yxm(2)，入 的方程，解得 ，故 的方程为 ，即 C3mC234yx1（12） 【2014 年北京，
8、理 12，5 分】若等差数列 满足 ， ，则当 _时，na7890a70an的前 项和最大naD1OD3 D2CBAz yx3【答案】8【解析】由等差数列的性质， ， ，于是有 ， ，故 故78983aa71089a80a890a9， ， 为 的前 项和 中的最大值87S98SnnS（13） 【2014 年北京，理 13，5 分】把 5 件不同产品摆成一排，若产品 与产品 不相邻，则不同的摆法有AC_种【答案】36【解析】先只考虑 与产品 相邻此时用捆绑法，将 和 作为一个元素考虑，共有 种方法而ABAB42A和 有 2 种摆放顺序，故总计 种方法再排除既满足 与 相邻，又满足 与 相邻的情2
9、4=8BC况，此时用捆绑法，将 作为一个元素考虑，共有 种方法，而 有 2 种可能的摆C， ，36， ，放顺序，故总计 种方法综上，符合题意的摆放共有 种6=1 4812（14） 【2014 年北京，理 14，5 分】设函数 ， ， 若 在学科网区间 上具()sin)fx0A()fx,6有单调性，且 ，则 的最小正周期为_236fff【答案】 【解析】由 在区间 上具有单调性，且 知， 有对称中心 ，由fx6226fffx03知 有对称轴 ，记 为最小正周期，则 ，23fx1731xT12263T 从而 714T三、解答题：共 6 题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程（15）
10、 【2014 年北京，理 15，13 分】如图，在 中， ， ，点 在 边上，且ABC38ABDBC， 2CD1cos7AC（1）求 ；inB（2）求 ， 的长解：（1）在 中，因为 ，所以 17OSD43sin7ADC所以 4313sinsi()icosin7214ACBBB（2）在 中，由正弦定理得 ，BD38sin147A在 中，由余弦定理得 ，所以AC2221cos85492CBBC7（16） 【2014 年北京，理 16，13 分】李明在 10 场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）：场次 投篮次数 命中次数 场次 投篮次数 命中次数主场 1 22 12 客场 1 18
11、8主场 2 15 12 客场 2 13 12主场 3 12 8 客场 3 21 7主场 4 23 8 客场 4 18 15主场 5 24 20 客场 5 25 12（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过 的概率；0.64（2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，学科网求李明的投篮命中率一场超过 ，一场不超过0.6概0.6率；（3）记 是表中 10 个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记 为李明在这比赛中的命中x X次数，比较 与 的大小（只需写出结论）()EXx解：（1）李明在该场比赛中命中率超过 的概率有：主场 2 主场 3 主场 5 客场 2 客场 40
12、.6所以李明在该场比赛中投篮命中超过 的概率 510P（2）李明主场命中率超过 概率 ，命中率不超过 的概率为 ，客场中命中率超过 概.135P.61P0.6率，命中率不超过 的概率为 25P0.6232355P（3） EXx（17） 【2014 年北京，理 17，14 分】如图，正方形 的边长为 2， 分别为 的中点，在五棱AMDE,BC,AMD锥 中， 为棱 的中点，平面 与棱 分别交于点 ABCDFPEBF,GH（1）求证： ；/G（2）若 底面 ，且 ，求直线 与平面 所成角的大小，求线段 的长PCAFP解：（1） ， 面 ， 面 面 MEPP面 ，即 面 ，面 面 ABAEB（2）如
13、图建立空间直角坐标系 ，各点坐标如下 , , , xyz0201, , ，设面 的法向量为 ，10CF0,2Fnxyz，,AB， ，即 ，令 ， ，又,nAB0xyz1y0,1， 1,0，直线 与平面 所成的角为 1sin,2CCABF6设 ，由 ，则1,HxyzPHt1,2,1xyzt12xtyzt，又 面 ， ， ，2,ttABF,Htt0nBH， ， ，0234,34,3P224PH（18） 【2014 年北京，理 18，13 分】已知函数 ()cosin,02fxx（1）求证： ；()0fx（2）若 在 上恒成立，求 的最大值与 的最小值sinab(,)2ab解：（1） ， 时， ，从
14、而 在 上单调递cosicosinfxxx02x0fx fx02减，z yxAB CDEFGPMH5所以 在 上的最大值为 ，所以 fx020f0fxf（2）解法一：当 时， “ ”等价于 “ ”；“ ”等价于“ ”，sinaxsinxasinbxsin0xb令 ，则 当 时， 对任意 恒成立igccog0c0g2当 时，因为对任意 ， ，所以 在区间 上单调递减1c02xosgxx0从而 对任意 恒成立0gx当 时，存在唯一的 ，使得 ，且当 时， ，1c02x00cosgx0x0gx单调递增；当 时， ， 单调递减所以 gx0g进一步， “ 对任意 恒成立”当且仅当 ，即 002x12gc
15、2c综上所述，当且仅当 时， 对任意 恒成立；当且仅当 时， 对任cg0x 10gx意 恒成立所以若 对任意 恒成立，则 最大值为 ， 最小值02xsinxab2a2b为 1解法二：令 ，则 ，由知， ，故 在 上单sin02xg2cosinxg0gx gx02调递减，从而 的最小值为 ，故 ， 最大值为 ， 最小值为 ，下面进行证明：a 2b1， ，则 ，当 时， ， 在 上单调递sinhxbx02coshxb10hx x02减，从而 ，所以 ，当且仅当 时取等号mahin0从而当 时， 故 的最小值小于等于 若 ，则 在xsi1xbcosxb上有唯一解 ，且 时， ，故 在 上单调递增，此
16、时0200hxhx0, 与恒成立矛盾，故 ，综上知： 的最小值为 hxsinsinxbbx1b b1（19） 【2014 年北京，理 19，14 分】已知椭圆 2:4Cy（1）求椭圆 的离心率；C（2）设 为原点，若点 在椭圆 上，点 在直线 上，且 ，求直线 与圆 的OABOABA2xy位置关系，并证明你的结论解：（1）由题意，椭圆 的标准方程为 所以 ， ，从而 因此 ，214xy24a2b22caba2c故椭圆 的离心率 C2cea（2）直线 与圆 相切证明如下：AB2xy6解法一：设点 的坐标分别为 ，其中 因为 ，所以 ，即AB02xyt0xOAB 0AO，解得 当 时， ，代入椭圆
17、 的方程，得 ，故直线 的02txy02t02tyC2tAB方程为 圆心 到直线 的距离 此时直线 与圆 相切OABd2xy当 时，直线 的方程为 ，即 0t0yxt000ytt圆心 到直线 的距离 又 ， ，AB2200td2040tx故 此时直线 与圆 相切200242200 04816yxxdAB2y解法二：由题意知，直线 的斜率存在，设为 ，则直线 的方程为 ， ，OAkOykxOB当 时， ，易知 ，此时直线 的方程为 或 ，k202BAB22y原点到直线 的距离为 ，此时直线 与圆 相切；B2x当 时，直线 的方程为 ，联立 得点 的坐标 或01yxk24ykA221k；联立 得点
18、 的坐标 ，由点 的坐标的对称性知，取点221k2yB2计算，直线 的方程为：A22k A，2211kyxxkk即 ，220ky原点到直线 距离 ，此时直线 与圆 相AB2211kdkk AB2xy切综上知，直线 一定与圆 相切2xy解法三：当 时， ，易知 ，此时 ， ，原点到直0k0A0B2OAB 2A线 的距离 ，此时直线 与圆 相切；B2Od2xy当 时，直线 的方程为 ，设 ，则 ，0k1yxk12y 21Okx，联立 得点 的坐标 或221Oy24A2217；于是 ， ，221k2211AkOkx21OBk，所以 ，22241ABkk 2221dk直线 与圆 相切；2xy综上知，直
19、线 一定与圆 相切2xy（20） 【2014 年北京，理 20，13 分】对于数对序列 ，记 ，12(,),()nPabab 11()TPab，其中 表示 和12()ma(),kkk kTPbTPan 12mxk kT 1()kTP两个数中最大的数12a（1）对于数对序列 ，求 的值；,54,12(),T（2）记 为 四个数中最小值，对于由两个数对 组成的数对序列 和,cd(,)abcd(,)abcd，试分别对 和 的两种情况比较 和 的大小；()bmad2TP2()（3）在由 5 个数对 组成的所有数对序列中，写出一个数对序列 使 最(1,8)2,(6),(46) P5()T小，并写出 的值 （只需写出结论） 5TP解：（1） , 12721ax21max768TP（2）当 时：ma， ；1b 2dbcdbc ， ；TcmaaTdd 因为 是 中最小的数，所以 ，从而 ； ax 22TP当 时，d， ；1Pab2xmPdbcdbc， ；Tc aaTdc 因为 是 中最小的数，所以 ，从而 ax 22T综上，这两种情况下都有 22TP（3）数列序列 ， ， ， ， 的 的值最小；:P4,61,6,1,85,25P， ， ， ， 10T2340T
