1、12016 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（理科）第卷（选择题 共 50 分）一、填空题（本大题共 14 小题，共 56 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分（1） 【2016 年上海，理 1，4 分】设 ，则不等式 的解集为 xR31x【答案】 2,4【解析】由题意得： ，解得 3x24【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，是基础题，解题时要认真审题，注意含绝对值不等式的性质的合理运用（2） 【2016 年上海，理 2，4 分】设 ，期中 为虚数单位，则 iZiImz【答案】 3【解析】 i3i,Imzz【点评】本题考查复数的虚部的
2、求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数的乘除运算法则的合理运用（3） 【2016 年上海，理 3，4 分】已知平行直线 ，则 的距离 12:20,:10lxylxy12,l【答案】 25【解析】利用两平行线间距离公式得 122|51cdab【点评】本题考查平行线之间的距离公式的应用，考查计算能力（4） 【2016 年上海，理 4，4 分】某次体检，6 位同学的身高（单位：米）分别为 ， ， ， ，1.72.81.75.80，1.69则这组数据的中位数是 （米） 7【答案】 .【解析】将这 6 位同学的身高按照从矮到高排列为： ， ， ， ， ， ，这六个数的中位1.69.721.5.0数是
3、 与 的平均数，显然为 1.5.7.7【点评】本题考查中位数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意中位数的定义的合理运用（5） 【2016 年上海，理 5，4 分】已知点 在函数 的图像上，则 的反函数 3,9()1xfafx1fx【答案】 2log1x【解析】将点 带入函数 的解析式得 ，所以 ，用 表示 得 ，3,9xfa212xfy2logy所以 12logfx【点评】本题考查了反函数的求法、指数函数与对数函数的互化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题（6） 【2016 年上海，理 6，4 分】如图，在正四棱柱 中，底面 的边长为 3，1ABCDABCD与底面所成角的大小为 ，则该正
4、四棱柱的高等于 1BD32arctn【答案】 2【解析】由题意得 111tan 22DB【点评】本题考查了正四棱柱的性质，正四棱柱的高的计算，考查了线面角的定义，关键是找到直线与平面所成的角2（7） 【2016 年上海，理 7，4 分】方程 在区间 上的解为 3sin1cos2xx0,2【答案】 56且【解析】化简 得： ，所以 ，解得 或3sin1cos2xx2sisixx2sin3i0x1sin2x（舍sin2x去） ，所以在区间 上的解为 0,56且【点评】本题考查三角方程的解法，恒等变换的应用，考查计算能力（8） 【2016 年上海，理 8，4 分】在 的二项式中，所有项的二项式系数之
5、和为 256，则常数项等于 32nx 【答案】112【解析】由二项式定理得：二项式所有项的二项系数之和为 ，由题意得 ，所以 ，二项式的通项2n256n8n为 ，求常数项则令 ，所以 ，所以 8483 312()()rrrrrrTCxCx8403rr312T【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题（9） 【2016 年上海，理 9，4 分】已知 的三边长分别为 3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于 AB【答案】 73【解析】利用余弦定理可求得最大边 7 所对应角的余弦值为 ，所以此角的正弦值为 ，由正22357132弦定
6、理得 ，所以 723R3R【点评】本题考查三角形的外接圆的半径的求法，注意运用正弦定理和余弦定理，考查运算能力，属于基础题（10） 【2016 年上海，理 10，4 分】设 ，若关于 的方程组 无解，则 的取值范围是 0,ab,xy1axybab【答案】 2,+【解析】解法 1：将方程组中的（1）式化简得 ，代入（2）式整理得 ，方程组无解应该1yax(1)axb满足 且 ，所以 且 ，所以由基本不等式得 0abab2解法 2：关于 ， 的方程 组无解，直线 与 平行， ， ，xyxxyy0a ，即 ， ，且 ，则 ，则 ，则设 ，1b11a1ba11f且则函数的导数 ，当 时， ，此时函数为
7、减函数，此时2afa020f，当 时， ，此时函数为增函数， ，综上 ，12fa121f12faf2fa即 的取值范围是 b,+【点评】本题主要考查直线平行的应用以及构造函数，求函数的导数，利用导数和函数单调性之间的关系进行求解是解决本题的关键3（11） 【2016 年上海，理 11，4 分】无穷数列 由 个不同的数组成， 为 的前 项和若对任意naknSan， ，则 的最大值为 nN2,3nSk【答案】4【解析】解法 1：要满足数列中的条件，涉及最多的项的数列可以为 ，所以最多由 4 个不同的数2,10,组成解法 2：对任意 ， ，可得当 时， 或 ；若 ，由 ，可得数*nN23nS， 1n
8、1aS32n23S，列的前两项为 2，0；或 2，1；或 3，0；或 3， ；若 ，由 ，可得数列的前三项为，2，0，0；或 2，0，1；或 2，1，0；或 2，1， ；或 3，0，0；或 3，0， ；或 3，1，0；或 3，1， ；若 ，由 ，可得数列的前四项为 2，0，0，0；或 2，0，0，1；或 2，0，1，0；或4n43S，2，0，1， ；或 2，1，0，0；或 2，1，0， ；或 2，1， ，0；或 2，1， ，1；或 3，0，0，0；或3，0，0， ；或 3，0， ，0；或 3，0， ，1；或 3， ，0，0；或 3， ，0，1；或 3， ，1， 0；或 3， ，1， ；即有 后
9、一项都为 0 或 1 或 ，则 的最大个数为 4，不同的四个数均4nk为2，0，1， ，或 3，0，1， 故答案为：4【点评】本题考查数列与集合的关系，考查分类讨论思想方法，注意运用归纳思想，属于中档题（12） 【2016 年上海，理 12，4 分】在平面直角坐标系中，已知 ， ， 是曲线 上一1,0A,1BP21yx个动点，则 的取值范围是 BPA【答案】 0,12【解析】由题意得知 表示以原点为圆心，半径为 1 的上半圆设 ， ，21yx cos,in0,，,BA，所以 cos,inPcosin2sin10,24BPA【点评】本题考查向量的数量积的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题
10、，注意平面向量数量积的性质的合理运用（13） 【2016 年上海，理 13，4 分】设 ，若对任意实数 都有 ，,0,2abRcx2sin3sinxabxc则满足条件的 有序实数组 的组数为 【答案】4【解析】解法 1： ，当 确定时， 唯一，故有 4 种组合2,3ab,abc解法 2：对于任意实数 都有 ，必有 ，若 ，则方程等价为x2sin3sinxabxc 2a，则函数的周期相同，若 ，此时 ，若 ，则 ，若sin3sinxc 353Cb43C，a则方程等价为 ，若 ，则 ，若 ，则 ，si3sinsinxbxcbxc 2综上满足条件的有序实数组 为 ， ， ， ，共有 4 组,a52,
11、34,32,32,3【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数恒成立，利用三角函数的性质，结合三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键（14） 【2016 年上海，理 14，4 分】如图，在平面直角坐标系 中， 为正八边形xOy的中心， 任取不同的两点 ，点 P 满足 ，则128A 1,0A,ijA0ijA4点 落在第一象限的概率是 P【答案】 528【解析】共有 种基本事件，其中使点 落在第一象限共有 种基本事件，故概CP235C率为 【点评】本题考查平面向量的综合运用，考查了古典概型概率计算公式，理解题意是关键，是中档题二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分）考生应在
12、答题纸相应编号位置填涂，每题只有一个正确选项，选对得 5 分，否则一律得零分（15） 【2016 年上海，理 15，5 分】设 ，则“ ”是“ ”的（ ）aR12a（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件【答案】A【解析】 ，所以是充分非必要条件，故选 A21,1aa或【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，比较基础（16） 【2016 年上海，理 16，5 分】下列极坐标方程中，对应的曲线为如图所示的是（ ）（A） （B） （C） （D ）6cos65sin65cos5sin【答
13、案】D【解析】依次取 ，结合图形可知只有 满足，故选 D30,2si【点评】本题考查了极坐标方程、数形结合方法、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题（17） 【2016 年上海，理 17，5 分】已知无穷等比数列 的公比为 ，前 项和为 ，且 下列条naqnnSlimnS件中，使得 恒成立的是（ ）2nSN（A） （B） （C） （D）10,.6.7aq10,.70.6aq10,.70.6aq1,.8【答案】B【解析】解法 1：由题意得 ： 对一切正整数恒成立，当 时 不恒成立，112,(|)nqa 12n舍去；当 时 ，故选 B10a2n解法 2： ， ， ， ， ，nqS
14、1limnaSq12nS120naq若 ，则 ，故 A 与 C 不可能成立；若 ，则 ，故 B 成立，D 不成立10a210q【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用（18） 【2016 年上海，理 18，5 分】设 、 、 是定义域为 的三个函数，对于命题：若fxghxR、 、 均为增函数， 则 、 、 中至少有一个增函数；fxgfxhhfgxh若 、 、 均是以 为周期的函数，则 、 、 均是以 为周TfgxhT期的函数，下列判断正确的是（ ）（A）和均为真命题 （B）和均为假命题（C）为真命题，为假命题 （D）为假命题，为真命题【答案】D【
15、解析】解法 1：因为 必为周期为 的函数，所以正确；增()gx()xg()x2ffhhfx 函数减增函数不一定为增函数，因此不一定，故选 D5解法 2：不成立可举反例： ， 2,13xf23,01,xg,02xh ，fxgfxTgfhfxTh，前两式作差可得： ，结合第三式可hh gxT得： ， ，同理可得： ，因此正确hff【点评】本题考查了函数的单调性与周期性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题（本题共 5 题，满分 74 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤（19） 【2016 年上海，理 19，12 分】将边长为 1 的正方形
16、（及其内部）绕的 旋转一周1AO1O形 成圆柱，如图， 长为 ， 长为 ，其中 与 在平面 的同侧AC23A1B31BC1（1）求三棱锥 的体积；1O（2）求异面直线 与 所成的角的大小B解：（1）由题意可知，圆柱的高 ，底面半径 由 的长为 ，可知 h1rA1313AOB， 11113sin24AOBSAB11CV32OBBSh（2）设过点 的母线与下底面交于点 ，则 ，所以 或其补角为直线 与 所成的角/C1C1由 长为 ，可知 ，又 ，所以 ，C323O1A3B从而 为等边三角形，得 因为 平面 ，所以 11在 中，因为 ， ， ，所以 ，1B12BC1B14从而直线 与 所成 的角的大
17、小为 A4【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查两直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养（20） 【2016 年上海，理 20，14 分】有一块正方形菜地 ， 所在直线是一条小河，收货EFGH的蔬菜可送到 点或河边运走。于是，菜地分为两个区域 和 ，其中 中的蔬菜运到河边F1S21S较近， 中的蔬菜运到 点较近，而菜地内 和 的分界线 上的点到河边与到 点的2S 12CF距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点 为 的中点，点 的坐标为 ，如图OEF,0（1）求菜地内的分界线 的方程；C（2）菜农从蔬菜运量估计出 面积是 面积的两倍，由此得到 面积的“经验
18、值”为 。设 1S2 1S83M是 上纵坐标为 1 的点，请计算以 为一边、另一边过点 的矩形的面积，及五边形 的CHMEOGH面积，并判断哪一个更接近于 面积的经验值1解：（1）设分界线上任一点为 ，依题意 ，可得 ,xy21xy201x（2）设 ，则 ， ，设所表述的矩形面积为 ，则0,Mxy02043S，35142S6设五边形 面积为 ，则 ，EMOGH4S4351312424OMPGQS， ，五边形 的面积更接近 的面积 1385126S18126EH1S【点评】本题主要考查圆锥曲线的轨迹问题，考查学生的运算能力，综合性较强，难度较大（21） 【2016 年上海，理 21，14 分】双
19、曲线 的左、右焦点分别为 ，直线 过 且与双20yxb12F、 l2F曲线交于 两点AB、（1）若 的倾斜角为 ， 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；l21FAB（2）设 ，若 的斜率存在，且 ，求 的斜率3bl10FABl解：（1）设 由题意， ， ， ，因为 是等边三角形，,xyA2,0c2b241ycb1FAB所以 ，即 ，解得 故双曲线的渐近线方程为 c4413b 2yx（2）由已知， ， 设 ， ，直线 显然 12,0F2,1,x2,x:lykx0k由 ，得 因为 与双曲线交于两点，所以 ，23yxk2430kkl 23且 设 的中点为 由 即 ，2610AB,Mxy1FA+B=0
20、10FMAB知 ，故 而 ， ， ，FMAB1Fk2123k263kykx123k所以 ，得 ，故 的斜率为 23k235l5【点评】本题考查双曲线与直线的位置关系的综合应用，平方差法以及直线与双曲线方程联立求解方法，考查计算能力，转化思想的应用（22） 【2016 年上海，理 22，16 分】已知 ，函数 aR21()log()fxa（1）当 时，解不等式 ；5a()0fx（2）若关于 的方程 的解集中恰好有一个元素，求 的取值范围；x2log450a（3）设 ，若对任意 ，函数 在区间 上的最大值与最小值的差不超过 1，求 的取01,t()fx,1t a值范围解：（1）由 ，得 ，解得 4
21、21log50x15x,0,4x分（2） ， ，当 时， ，经检验，满足题意4aa2451aa1x当 时， ，经检验，满足题意当 且 时， ， ， 312x344a21x2x是原方程的解当且仅当 ，即 ； 是原方程的解当且仅当 ，即 1x10ax2x20a于是满足题意的 综上， 的取值范围为 10 分,a1,（3）当 时， ， ，所以 在 上单调递减120x12x221loglogaaxxfx,函数 在区间 上的最大值与最小值分别为 ， f,tft1ft7即 ，对任意 成立2211loglogft aatt210tat1,2t因为 ，所以函数 在区间 上单调递增， 时， 有最小值 ，0ay,t
22、y3142a由 ，得 故 的取值范围为 16 分31423a2,3【点评】本题主要考查函数最值的求解，以及对数不等式的应用，利用换元法结合对勾函数的单调性是解决本题的关键综合性较强，难度较大（23） 【2016 年上海，理 23，18 分】若无穷数列 满足：只要 ，必有 ，则称na*(,)pqaN1pqa具有性质 naP（1）若 具有性质 ，且 ， ，求 ；1245,3,2a678213（2）若无穷数列 是等差数列，无穷数列 是公比为正数的等比数列， ， ，nbnc15bc518c判断 是否具有性质 ，并说明理由；nacP（3）设 是无穷数列，已知 求证：“对任意 都具有性质 ”的充要条件*1
23、si()nnbaN1,naP为“ 是常数列”n解：（1）因为 ，所以 ， ， 于是 ，又因为5263a74385267832，6781a解得 43a分（2） 的公差为 ， 的公比为 ，所以 ， nb20nc1312019nbn1583nnnc ， ， ， ， 不具有性质 10519nac158a24a6326a分（3）充分性：当 为常数列时， 对任意给定的 ，只要 ，则由 ，nb1sinnb1pq11sinsipqba必有 充分性得证1pqa必要性：用反证法证明假设 不是常数列，则存在 ，使得 ，而 n k12kb1kb下面证明存在满足 的 ，使得 ，但 1sinaba12kaa21a设 ，取 ，使得 ，则 ， ，sifxmb0fm0fm故存在 使得 取 ，因为 （ ） ，所以 ，c0f1c1sinn21sinca依此类推，得 但 ，即 12k 21sinikkbc2k所以 不具有性质 ，矛盾必要性得证na综上， “对任意 ， 都具有性质 ”的充要条件 为“ 是常数列” 18 分1nan【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合应用，充要条件的应用，考查分析问题解决问题的能力，逻辑思维能力，难度比较大
