1、整理人 谭峰2014 年全国普通高等学校招生统一考试上海 数学试卷(理工农医类)考生注意：1. 本试卷共 4 页，23 道试题，满分 150 分. 考试时间 120 分钟. 2. 本考试分设试卷和答题纸. 试卷包括试题与答题要求. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.一、填空题（本大题共有 14 题，满分 56 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分.1. （2014）函数 的最小
2、正周期是 .21cos()yx【解析】：原式 ， T2. （2014）若复数 ，其中 是虚数单位，则 .12zii1z【解析】：原式 5163. （2014）若抛物线 的焦点与椭圆 的右焦点重合，则该抛物线的准2ypx2195xy线方程为 .【解析】：椭圆右焦点为 ，即抛物线焦点，所以准线方程(,0) 2x4. （2014）设 若 ，则 的取值范围为 .2,),.xaf(2)4fa【解析】：根据题意， ，)5. （2014）若实数 满足 ，则 的最小值为 .,xy12xy【解析】： 26. （2014）若圆锥的侧面积是底面积的 倍，则其母线与底面夹角的大小为 3（结果用反三角函数值表示）.【解
3、析】：设圆锥母线长为 ，底面圆半径为 ， ， ，即RrS侧 底 23rRr， ，即母线与底面夹角大小为3Rr1cos31acos37. （2014 ）已知曲线 的极坐标方程为 ，则 与极轴的交点到极C(4in)C整理人 谭峰点的距离是 .【解析】：曲线 的直角坐标方程为 ，与 轴的交点为 ，到原点距离为C341xyx1(,0)3138. （2014）设无穷等比数列 的公比为 ，若 ，则 .naq134limnnaa q【解析】： ， ，2311 502qa 0152q9. （2014）若 ，则满足 的 的取值范围是 .213()fx()0fx【解析】： ，结合幂函数图像，如下图，可得 的取值范
4、围是20 x(0,1)10. （2014）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续 天中随机选择 天进行紧急疏散103演练，则 选择的 天恰好为连续 天的概率是 （结果用最简分数表示）.33【解析】： 1085PC11. （2014）已知互异的复数 满足 ，集合 ，则 .,ab02,abab【解析】：第一种情况： ， ， ，与已知条件矛盾，不21符；第二种情况： ， ， ，即 ；2,ab431a20a1ab12. （2014）设常数 使方程 在闭区间 上恰有三个解sincosx,2，则 .123,x123x【解析】：化简得 ，根据下图，当且仅当 时，恰有三个交点，sin()a3a即 1237023
5、x整理人 谭峰P2 P5P67P84P31BA13. （ 2014）某游戏的得分为 ，随机变量 表示小白玩该游戏的得分. 若1,234,5，则小白得 分的概率至少为 .()4.2E5【解析】：设得 分的概率为 ， ，iip12345.2p且 ， ，与前式相减得：12345p4， ， ，即0.2i1235p50.214. （2014）已知曲线 ，直线 . 若对于点 ，存在 上的2:Cxy:6lx(,)AmC点 和 上的 使得 ，则 的取值范围为 .PlQAPm【解析】：根据题意， 是 中点，即 ， ，2PQP20Px2,3m二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分）每题有且只有一个正确答案
6、，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分.15. （2014）设 ，则“ ”是“ 且 ”的 （ ）,abRab2ab(A) 充分条件. (B) 必要条件.(C) 充分必要条件. (D) 既非充分又非必要条件.【解析】：B16. （2014）如图，四个棱长为 的正方体排成一个正四1棱柱， 是一条侧棱， 是上底A(,28)iP面上其余的八个点，则 的,iBA不同值的个数为 （ ）(A) . (B) .12整理人 谭峰(C) . (D) .48【解析】：根据向量数量积的几何意义， 等于 乘以 在 方向上的投影，iABPiAPB而 在 方向上的投影是定值，
7、也是定值， 为定值 ，选 AiAPB i117. （2014）已知 与 是直线 （ 为常数）上两个不同的点，1(,)ab2(,)P1ykx则关于 和 的方程组 的解的情况是 （ ）xy12x(A) 无论 如何，总是无解. (B) 无论 如何，总有唯一解.12,k 12,kP(C) 存在 ，使之恰有两解. (D) 存在 ，使之有无穷多解.P【解析】：由已知条件 ， ，1bka2ka，有唯一解，选 B122aD112()()0a18. （2014）设 若 是 的最小值，则 的取值范围为2,0,()1.xaf()ffxa（ ）(A) . (B) . (C) . (D) .1,2,01,20,2【解析
8、】：先分析 的情况，是一个对称轴为 的二次函数，当 时，xxaa，不符合题意，排除 AB 选项；当 时，根据图像min()()0fxfa0，即 符合题意，排除 C 选项；选 D；i三、解答题（本大题共有 5 题，满分 74 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. （2014）(本题满分 12 分 )底面边长为 的正三棱锥 ，其表面展开图是2-PABC三角形 ，如图. 求 的各边长及此三棱锥的13P123体积 .V【解析】：根据题意可得 共线，12,PB ， ，1AC60A ， ，同理 ，121P2360PBACP3P1 P2整理人 谭峰ACBD 是等边三角形，
9、是正四面体，所以 边长为 4；123PPABC123P 2VAB20.（2014） (本题满分 14 分 ) 本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分.设常数 ，函数 .0a(xaf(1) 若 ，求函数 的反函数 ；4)y1()yfx(2) 根据 的不同取值，讨论函数 的奇偶性，并说明理由.【解析】：（1） ， ， ， ，a24()xfy421xy24log1yx ，12()log1yfx(,)(,)（2）若 为偶函数，则 ， ，f)fx2xxa整理得 ， ，此时为偶函数(2)0xaa若 为奇函数，则 ， ，)f()fxf2xxa整理得 ， ， ，此时为奇函数2
10、10aa1当 时，此时 既非奇函数也非偶函数(,),)()f21.（2014） (本题满分 14 分 ) 本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分.如图，某公司要在 两地连线上的定点AB、处建造广告牌 ，其中 为顶端， 长CDC米， 长 米. 设点 在同一水平面35B80、上，从 和 看 的仰角分别为 和 . (1) 设计中 是铅垂方向. 若要求 ，2问 的长至多为多少（结果精确到 米）？0.1(2) 施工完成后， 与铅垂方向有偏差现在实测得 ， ，求CD38.128.45的长（结果精确到 米）.CD【解析】：（1）设 的长为 米，则 ， ，xtan,t350x
11、0整理人 谭峰 ， ， ，tant22tant12216083541xx解得 ， 的长至多为 米08.xCD.（2）设 ， ，,DBaAbm8023.AB则 ，解得 ，sini15sin3.25.64a ， 的长为 米28016co8.6.9maC2.9322. （2014）(本题满分 16 分 ) 本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满分 8 分. 在平面直角坐标系 中，对于直线 和点 ，xOy:0laxbyc12(,)(,)Pxy记 . 若 ，则称点 被直线 分割. 若曲线 与直12()()axbcbc12,lC线 没有公共点，且曲线 上存
12、在点 被直线 分割，则称直线 为曲线 的一条分割lC12,Pl线.(1) 求证：点 被直线 分割；(1,2),0)AB0xy(2) 若直线 是曲线 的分割线，求实数 的取值范围；ykx241k(3) 动点 到点 的距离与到 轴的距离之积为 ，设点 的轨迹为曲线 . 求证：M(,)Q1ME通过原点的直线中，有且仅有一条直线是 的分割线.E【解析】：（1）将 分别代入 ，得(1,2),0ABxy(2)(1)40点 被直线 分割10（2）联立 ，得 ，依题意，方程无解，24xyk2(4)kx ， 或2101（3）设 ，则 ，(,)Mxy22()1yx曲线 的方程为 E当斜率不存在时，直线 ，显然与方
13、程 联立无解，0x又 为 上两点，且代入 ，有 ，12(,),)P0x10 是一条分割线；0x当斜率存在时，设直线为 ，代入方程得：yk整理人 谭峰，2432(1)10kxkx令 ，则 ，432()1fkx(0)1f， ，2()2243()kk当 时， ， ，即 在 之间存在实根，kf(ffx0, 与曲线 有公共点yxE当 时， ，即 在 之间存在实根，2(0)1f()0f(1,) 与曲线 有公共点k直线 与曲线 始终有公共点，不是分割线，yx综上，所有通过原点的直线中，有且仅有一条直线 是 的分割线0xE23. （2014）(本题满分 18 分 ) 本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3
14、 分，第 2 小题满分 7 分，第 3 小题满分 8 分. 已知数列 满足 ， ， . na13nna*N1a(1) 若 ，求 的取值范围；24,9xx(2) 设 是公比为 的等比数列， . 若 ，nq12nnS 13nnS， *N求 的取值范围；q(3) 若 成等差数列，且 ，求正整数 的最大值，以12,ka 1210ka k及取最大值时相应数列 的公差.k12,k【解析】：（1）依题意， ， ，又 ，32a6x3431a，327x综上可得 ；36x（2）由已知得 ，又 ，1nq1213aq当 时， ， ，即 ，成立1qnSnnS3n当 时， ， ，即31nq13nnS，13nnq整理人 谭
15、峰 ，此不等式即 ， ，133nq1320nq1q ，12()2nnn对于不等式 ，令 ，得 ，解得 ，130q1230q12q又当 时， ， 成立，12()2()2()2nn q当 时， ， ，即131nnqS13nS，1nnq即 ，1320nq31,30q 1()2nnn323(3)(1)20qqqq 时，不等式恒成立1综上， 的取值范围为 23（3）设公差为 ，显然，当 时，是一组符合题意的解，d10,kd ，则由已知得 ，max10k()(1)3(2)kkd ，当 时，不等式即 ，(2)5d10k,5d ， ，1k2(1). 02ka 时， ，00(1)d解得 ， ，1990k19k整理人 谭峰 的最大值为 ，此时公差k19201981()9kd
