1、12014 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）第卷（选择题 共 50 分）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（1） 【2014 年浙江，理 1，5 分】设全集 ，集合 ，则 （ ）|2UxN2|5AxNUA（A） （ B） （C） （D ）252,5【答案】B【解析】 ， ，故选 B2|5xNx|UA【点评】本题主要考查全集、补集的定义，求集合的补集，属于基础题（2） 【2014 年浙江，理 2，5 分】已知 是虚数单位， ，则“ ”是“ ”的（ ）i,abR1ab2(i)ab（A）充分不必要条件 （
2、 B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当 时， ，反之， ，即 ，则 ，1ab22(i)(1i)ab2(i)2i220ab解得 或 ，故选 A【点评】本题考查的知识点是充要条件的定义，复数的运算，难度不大，属于基础题（3） 【2014 年浙江，理 3，5 分】某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是（ ）（A）90（B ） 129（C）132 （D）1382cm2cm2cm2cm【答案】D【解析】由三视图可知直观图左边一个横放的三棱柱右侧一个长方体，故几何体的表面积为：，故选 D14634634353482S【点评】本题考查了
3、由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键（4） 【2014 年浙江，理 4，5 分】为了得到函数 的图像，可以将函数 的图像（ sincosyx 2cos3yx）（A）向右平移 个单位 （ B）向左平移 个单位 （C）向右平移 个单位 （D）向左平移 个单位4121【答案】C【解析】 ，而sin3cos2in(3)2sin3()1yxxx= ，2co()s6由 ，即 ，故只需将 的图象向右平移 个单位，故选 C)612xx2x2cos3yx12【点评】本题考查两角和与差的三角函数以及三角函数的平移变换的应用，基本知识的考查（5） 【2014 年浙江，
4、理 5，5 分】在 的展开式中,记 项的系数 ，则64()1ymn(,)fn=（ ）(3,0)(2,)0,3ffff（A）45（B）60（C）120（D）210【答案】C【解析】令 ，由题意知 即为 展开式中 的系数，xy(,)(2,1,)(0,3)ffff10()x3x2故 = ，故选 C(3,0)(2,1,)(0,3)ffff7102C【点评】本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力（6） 【2014 年浙江，理 6，5 分】已知函数 ，且 （ ）3fxabxc0(1)2(3)fff（A） （B） （C） （D ）c6c699c【答案】C【解析】由 得 ，解得 ，(1)
5、2(3)fff1842793ababc 61ab所以 ，由 ，得 ，即 ，故选 C36xxc0()f01639c【点评】本题考查方程组的解法及不等式的解法，属于基础题（7） 【2014 年浙江，理 7，5 分】在同一直角坐标系中，函数 ， 的图像可能是（ ()0)afx(logax）（A） （ B） （C） （D）【答案】D【解析】函数 ， 分别的幂函数与对数函数答案 A 中没有幂函数的图像, 不符合；答()0)afx(logax案 B 中， 中 ， 中 ，不符合；答案 C 中， 中1()logax01()0)afx， 中 ，不符合；答案 D 中， 中 ， 中01lag ()0)afx1alo
6、g，符合，故选 D【点评】本题考查的知识点是函数的图象，熟练掌握对数函数和幂函数的图象和性质，是解答的关键（8） 【2014 年浙江，理 8，5 分】记 ， ，设 为平面向量，则（ ）,mx,xyyy,min,x,b（A） （B） min|,|in|abab|,|min|aba（C） （D ）222x222【答案】D【解析】由向量运算的平行四边形法可知 与 的大小不确定，平行四边形法可知i|,|abin|,|所对的角大于或等于 ，由余弦定理知 ，a|,|b90 222ax|,|bab（或 ） ，故选 D22222 2|(|)mx| |ab【点评】本题在处理时要结合着向量加减法的几何意义，将 ，
7、 ， ， 放在同一个平行四边形中进行ab比较判断，在具体解题时，本题采用了排除法，对错误选项进行举反例说明，这是高考中做选择题的常用方法，也不失为一种快速有效的方法，在高考选择题的处理上，未必每一题都要写出具体解答步骤，针对选择题的特点，有时“排除法”， “确定法” ， “特殊值”代入法等也许是一种更快速，更有效的方法（9） 【2014 年浙江，理 9，5 分】已知甲盒中仅有 1 个球且为红球，乙盒中有 m 个红球和 n 个篮球 ，(3,)mn从乙盒中随机抽取 个球放入甲盒中 （a ）放入 个球后，甲盒中含有红球的个数记为 ；(1,2)ii 12i（b）放入 个球后，从甲盒中取 1 个球是红球
8、的概率记为 则（ ）i (1,2)ip（A） （ B） （C） （D）1212,)pE212,()pE12()E12,()【答案】A【解析】解法一：3， = ，112()mnmnp21223nmnmnCCpA223()1)n = ，故 2()23()5()06(12p又 ， ， ，1nP1)Pn12nEn又 ， ，22()nmC22()()1)nmCP23(1nn =21) ()()123()1)1Emnn234()1)mnmn= = ，所以 ，故选 A1234()n()0m2(E解法二：在解法一中取 ，计算后再比较，故选 Am【点评】正确理解 的含义是解决本题的关键此题也可以采用特殊值法，不
9、妨令 ，也可以很,2i 3mn快求解（10） 【2014 年浙江，理 10，5 分】设函数 ， ， ， ，21()fx2()fx31(|si2|fxx9ia，0,12i，记 ， ，则（ ）9 1021998|()| | |kkkkkkIfaffaffaf ,（A） （B） （C） （D）1233II132I321II【答案】B【解析】解法一：由 ，故 ，22199iiiA 215919( )9I A由 ，故 ，2221)|iii i 250(8)102I310 99(|sin)|sin()|sin()|sin()|sin()|sin()|9999IAAAA AA= ，故 ，故选 B2574 1
10、213II解法二：估算法： 的几何意义为将区间 等分为 99 个小区间，每个小区间的端点的函数值之差的绝对值kI0,之和如图为将函数 的区间 等分为 4 个小区间的情形，因 在 上递增，此时21()fx 1()fx0,1=1013243|()| |()|()|Ifafaffaffaf234AHAH，同理对题中给出的 ，同样有 ；而 略小于 ， 略小于 ，所I1I2I3I以估算得 ，故选 B213II【点评】本题主要考查了函数的性质，关键是求出这三个数与 1 的关系，属于难题4第卷（非选择题 共 100 分）二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分 （11） 【2014 年浙
11、江，理 11，5 分】若某程序框图如图所示，当输入 50 时，则该程序运算后输出的结果是 【答案】6【解析】第一次运行结果 ；第二次运行结果 ；第三次运行结果 ；1,2Si4,3Si1,4Si第四次运行结果 ；第五次运行结果 ；此时 ，输出 655765706【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方 法（12） 【2014 年浙江，理 12，5 分】随机变量 的取值为 0,1,2，若 ， ，则 = 1(0)5P()E()D【答案】 25【解析】设 时的概率为 ， 的分布列为：1p由 ，解得 1()02()5E35p的分布列为即为故 22213
12、1()0()()55E【点评】本题综合考查了分布列的性质以及期望、方差的计算公式（13） 【2014 年浙江，理 13，5 分】当实数 满足 时， 恒成立，则实数 的取值范,xy401y4axya围是 _【答案】 31,2【解析】解法一：作出不等式组 所表示的区域如图，由 恒成立，2401xy 14axy故 ，三点坐标代入 ，均成立得 3(1,0)2,(1,)ABC14axy1243a解得 ，实数 的取值范围是 2aa3,2解法二：作出不等式组 所表示的区域如图，由 得，由图分析可知， 且在401xy 14axy0a0 1 2p50 1 2P5点取得最小值，在 取得最大值，故 ，得 ，故实数
13、的取值范围(1,0)A(2,1)B124a32aa是 3,2【点评】本题考查线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，训练了不等式组得解法，是中档题（14） 【2014 年浙江，理 14，5 分】在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张，其余 5 张无奖将这 8 张奖券分配给 4 个人，每人 2 张，不同的获奖情况有 种（用数字作答） 【答案】60【解析】解法一：不同的获奖分两种，一是有一人获两张奖券，一人获一张奖券，共有 ，2346CA二是有三人各获得一张奖券，共有 ，因此不同的获奖情况共有 种342A 0解法二：将一、二、三等奖各 1 张分给 4 个人有 种分法，其
14、中三张奖券都分给一个人的有 4 种分法，6因此不同的获奖情况共有 种60【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题（15） 【2014 年浙江，理 15，5 分】设函数 若 ，则实数 的取值范围是 2,0()xf()2faa【答案】 (,2【解析】由题意 或 ，解得 当 或 ，解得 ()02faf2()0fa()2fa20a20a2a【点评】本题主要考查分段函数的应用，其它不等式的解法，体现了数形结合的数学思想，属于中档题（16） 【2014 年浙江，理 16，5 分】设直线 ( ) 与双曲线 （ ）两条渐近3xym021xyab,b线分别交于点 ， 若点 满足
15、，则该双曲线的离心率是 AB(,0)P|APB【答案】 52【解析】解法一：由双曲线的方程可知，它的渐近线方程为 和 ，分别与直线 ： byxaxl联立方程组，解得， ， ，设30xym(,)3mA(,)3ambB中 AB点为 ，由 得，则 ，Q|PAB(,)22babaQ即 ， 与已知直线垂直， ，即 ，223(,)9ambP1PQlkA22319bmaA即得 ，即 ，即 ，所以 28228()ca254c5cea解法二：不妨设 ，渐近线方程为 即 ，由 消去 ，1a201xyb20xy203bxymx得 ，设 中点为 ，由韦达定理得： ，22(9)6bymAB0(,)Q20391b6又 ，
16、由 得 ，即得 得 代入得03xym1PQlkA013yxmA0132ymA035ym，23915b得 ，所以 ，所以 ，得 2422514cab52c2cea【点评】本题考查双曲线的离心率，考查直线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题（17） 【2014 年浙江，理 17，5 分】如图，某人在垂直于水平地面 的墙面前的点 处进行ABCA射击训练已知点 到墙面的距离为 ，某目标点 沿墙面上的射击线 移动，此人AABPM为了准确瞄准目标点 ，需计算由点 观察点 的仰角 的大小若 ，P15m， ，则 的最大值是 （仰角 为直线 与平面25ACm30BMtanP所成角） 【答案】 39【解析】
17、解法一： ， ， ， ， 过 作 ， 交 于 ，15cAB25cC90ABC20cmPBCP1当 在 线 段 上 时 ， 连 接 ， 则 ， 设 ， 则 ，PPtanAx20x（ ） 由 ， 得 02x30M3t0(2)在 直 角 中 ， ， 令ABP 25x 20an5PxA， 则 函 数 在 单 调 递 减 ， 时 ， 取 得 最 大 值 为25xy0,2xtan230349A2当 在 线 段 的 延 长 线 上 时 ， 连 接 ， 则 ， 设 ，PCBAPtanPABx则 ， （ ） 由 ， 得 ，0x030BCM3t0(2)C在 直 角 中 ， ， ， A 25Px23tan5xP令
18、， 则 ， 当 时 ； 当 时 ，25xy22()y400y45x0y所 以 当 时 ， 此 时 时 ， 取 得 最 大 值 为 ，4xmax24503()y45xtan39A综 合 1， 2可 知 取 得 最 大 值 为 tn59解法二：如 图 以 为 原 点 ， 、 所 在 的 直 线 分 别 为 ， 轴 ， 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 ，BABCxy ， ， ， ， 由 ，5cmA5c020cmBC30BCM可 设 （ 其 中 ） ， ， ，3(0,2)Px2x(,)P(15,)A7所 以 ，223(0) 30tan155xPxAA设 ( )， ，2(x)t3
19、f x22350()()xf A所 以 ， 当 时 ； 当 时 ，4200y40xy所 以 当 时 ， 所 以 取 得 最 大 值 为 5xmax 25533()()9()4ffAtan539解法三：分 析 知 ， 当 取 得 最 大 时 ， 即 最 大 ， 最 大 值 即 为 平 面 与 地 面tnACMABC所 成 的 锐 二 面 角 的 度 量 值 ， 如 图 ， 过 在 面 内 作 交 于BBD， D过 作 于 ， 连 ， 则 即 为 平 面 与 地 面 所 成BHACDH的 二 面 角 的 平 面 角 ， 的 最 大 值 即 为 ， 在 中 ，tantanHRt由 等 面 积 法 可
20、 得 ， ，1520BA 203anCA所 以 max3(tn)t129H【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题三、解答题：本大题共 5 题，共 72 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 （18） 【2014 年浙江，理 18，14 分】在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， 已知ABCBCabc， ,3abc22osc3sinco3sinco（1）求角 的大小；C（2）若 ，求 的面积4sin5A解：（1）由题得 ，即 ，co21cs3sin2siBAB3131sin2cosin2cosAB，由 得 ，又 ，得 ，sin
21、()sin()66ab(0,)6即 ，所以 3AB3C（2） ， ， ，得 ，由 得 ，从而 ，c4si5sinicA85acAC3cos5A故 = ，所以， 的面积in()43osinC10B为 1831s225SacB【点评】本题主要考查二倍角公式、两角和差的三角公式、正弦定理的应用，属于中档题（19） 【2014 年浙江，理 19，14 分】已知数列 和 满足 若 为等比数列，nab123()*)nbnaN na且 132,6ab（1）求 与 ；n8（2）设 记数列 的前 项和为 1(*)nncNabncnS（）求 ；S（）求正整数 ，使得对任意 均有 k*kn解：（1） ， 当 ， 时
22、 ， ，123()nbn 2*N11231(2)nbna由 知 ： 当 时 ， ， 令 ， 则 有 ， ， 21(nbna3()b32638a 为 等 比 数 列 ， 且 ， 的 公 比 为 ， 则 ， 由 题 意 知 ， ，na1q2340nq 又 由 ，得 ： ，2q*nN （ ） 123()*)nbna 123()nb即 ， (1)nnb *N（ ） （ ）（2） （） ，1()2()nnca =13Sc 211()32n= = = 2()n 1n（）因 为 ， ， ， ； 当 时 ， ，10c30c45(1)nnc而 ， 得 ，11()()()202nnn5(1)()2A所 以 ， 当
23、 时 ， ， 综 上 ， 对 任 意 恒 有 ， 故 5c*N4nS4k【点评】本题考查了等比数列通项公式、求和公式，还考查了分组求和法、裂项求和法和猜想证明的思想，证明可以用二项式定理，还可以用数学归纳法本题计算量较大，思维层次高，要求学生有较高的分析问题解决问题的能力本题属于难题（20） 【2014 年浙江，理 20，15 分】如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，ABCDEABCDE， ， ， 90CDEB2ACD1E2（1）证明： 平面 ；（2）求二面角 的大小E解：（1）在 直 角 梯 形 中 ， 由 ， ， 得 ， 由 ， 2得 ， 即 ， 又 平 面 平 面 ， 从 而 平 面 ，A
24、22BBABCEACBE所 以 ， 又 ， 从 而 平 面 ED（2）解法一：作 ， 与 交 于 点 ， 过 点 作 ， 与 交 于 点 ， 连 接 ，BFDAF/FGG由 （ 1） 知 ， 则 ， 所 以 就 是 二 面 角 的 平 面 角 ，EGAD在 直 角 梯 形 中 ， 由 ， 得 ， 又 平 面 平 面C22BCBCAB，CE得 平 面 ， 从 而 ， 由 于 平 面 ， 得 BADE在 中 ， 由 ， ， 得 ； 在 中 ， 由 ，RtDA6Rt16D得 ； 在 中 ， 由 ， ， ， 得 ， ， 从 而7t 2DA23F2A， 在 ， 中 ， 利 用 余 弦 定 理 分 别 可
25、 得 ， 在23GFEBG 57cos14BAC中 ， ， 所 以 ， ， 即 二 面 角 的 大 小B223cosFA6GBDE9为 6解法二：以 的 原 点 ， 分 别 以 射 线 ， 为 ， 轴 的 正 半 轴 ， 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 如 图DDECxy Dxyz所 示 由 题 意 知 各 点 坐 标 如 下 ： ， ， ， ， (0,)(1,0)E(,20)C(,2)A(1,0)B设 平 面 的 法 向 量 为 ， 平 面 的 法 向 量 为 ，AE1myzABDnxyz可 算 得 ： ， ， ， 由 ，(0,2)(,2)A(,)mE即 ，可取 ，由 即112yzx
26、(0,1)0nB20yzx可取 ，于是 (0,)n |3|cos,mn由题意可知，所求二面角是锐角，故二 面 角 的 大 小 为 ADE6【点评】本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力（21） 【2014 年浙江，理 21，15 分】如图，设椭圆 : 动直线 与椭圆C21(0)xyabl只有一个公共点 ，且点 在第一象限CP（1）已知直线 的斜率为 ，用 表示点 的坐标；lk,abP（2）若过原点 的直线 与 垂直，证明：点 到直线 的距离的最大值为 O1l 1lab解：（1）解法一：设 方 程 为 ， ， 消 去 得 ： ，l(
27、0)ykxm2ykxmaby2222() 0bkxmab由 于 直 线 与 椭 圆 只 有 一 个 公 共 点 ， 故 ， 即 ， 解 得 点 的 坐 标 为lCP0220aP， 又 点 在 第 一 象 限 ， 故 点 的 坐 标 为 22(,)abPbka P22(,)kbak解法二：作 变 换 ， 则 椭 圆 ： 变为圆 ： ，切 点 变 为 点xybC21(0)xyabC21xy0(,)Pxy， 切 线 （ ， 变 为 0(,)Px00:()lyk)k00:()lka在 圆 中 设 直 线 的 方 程 为 （ ） ， 由 ， 解 得 ，COPymx021ymx201xmy即 ， 由 于
28、， 所 以 ， 得 ， 即 ，221(,)mPlOPlkAakbbak代 入 得 ， 即 ， 利 用 逆 变 换22(,)1)(bak22(,)akbkxyb10代 入 即 得 ： 22(,)akbP（2）由 于 直 线 过 原 点 且 与 直 线 垂 直 ， 故 直 线 的 方 程 为 ， 所 以 点 到 直 线 的 距 离1lOl1l0xkyP1l， 整 理 得 : ， 因 为 ，222| |kkbabad22abdk2baka所 以 ， 当 且 仅 当 时 等 号 成 立 222 bbabak2所 以 ， 点 到 直 线 的 距 离 的 最 大 值 为 P1l【点评】本题主要考查椭圆的几
29、何性质、点到直线间的距离、直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法、基本不等式应用等综合解题能力（22） 【2014 年浙江，理 22，14 分】已知函数 3()fxaR（1）若 在 上的最大值和最小值分别记为 ，求 ；fx1,),Mm()a（2）设 若 对 恒成立，求 的取值范围bR24fb1,b解：（1） ， ， 由 于 ，33()|,xaxfa23,()xf1x（ ） 当 时 ， 有 ， 故 ， 所 以 ， 在 上 是 增 函 数 ，13()faf(,)因 此 ， ， 故 ()43Mf14m)43()8ama（ ） 当 时 ， 若 ， ， 在 上 是 增 函 数 ；
30、 若 ，a,xa3fx,11,x， 在 上 是 减 函 数 ， ， ，3fx (x(,)Mf3af由 于 ， 因 此 当 时 ， ；(1)62f1a3)4aa当 时 ， ；3a3()2am（ ） 当 时 ， 有 ， 故 ， 此 时 在 上 是 减 函 数 ，x()fx()fx1,)因 此 ， ， 故 ；()12Mf(1)3fa(4ma综 上 ， 38,4() 12,3aaama（2）令 ， 则 ， ，()hxfb3,()xbxh23,()xah因 为 对 恒 成 立 ， 即 对 恒 成 立 ， 所以由 （ 1） 知 ，241,21,（ ） 当 时 ， 在 上 是 增 函 数 ， 在 上 的 最 大 值 是 ， 最1a()x)()x()43hab小 值 ， 则 且 矛 盾 ；()3hab43ab432ab（ ） 当 时 ， 在 上 的 最 小 值 是 ， 最 大 值 是 ，()h1,()h(1)所 以 且 ， 从 而 且 ，32a23603a
