1、第 1 页（共 22 页）2015 年天津市高考数学试卷（理科）一.选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （5 分） （2015 天津）已知全集 U=1，2，3，4，5，6，7，8，集合 A=2，3，5，6，集合 B=1，3，4，6，7，则集合 AUB=（ ）A2，5 B3，6 C2，5，6 D2，3，5，6，82 （5 分） （2015 天津）设变量 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 z=x+6y 的最大值为（ ）A3 B4 C18 D403 （5 分） （2015 天津）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出 S 的值为（ ）A10 B6 C14 D184
2、（5 分） （2015 天津）设 xR，则“|x2|1”是“x 2+x20” 的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件5 （5 分） （2015 天津）如图，在圆 O 中，M、N 是弦 AB 的三等分点，弦 CD，CE 分别经过点 M，N，若 CM=2，MD=4，CN=3 ，则线段 NE 的长为（ ）第 2 页（共 22 页）A B3 C D6 （5 分） （2015 天津）已知双曲线 =1 （a 0，b0）的一条渐近线过点（2， ） ，且双曲线的一个焦点在抛物线 y2=4 x 的准线上，则双曲线的方程为（ ）A =1 B =1C =1 D =17 （5
3、 分） （2015 天津）已知定义在 R 上的函数 f（x）=2 |xm|1（m 为实数）为偶函数，记a=f（log 0.53） ，b=f（log 25） ，c=f （2m） ，则 a，b，c 的大小关系为（ ）Aabc Ba cb Cc ab Dcba8 （5 分） （2015 天津）已知函数 f（x）= ，函数 g（x）=bf（2x） ，其中 bR，若函数 y=f（x）g（x）恰有 4 个零点，则 b 的取值范围是（ ）A （ ，+） B （ ， ） C （0， ） D （ ，2）二.填空题（每小题 5 分，共 30 分）9 （5 分） （2015 天津）i 是虚数单位，若复数（12i ）
4、 （a +i）是纯虚数，则实数 a 的值为 10 （5 分） （2015 天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m） ，则该几何体的体积为 m311 （5 分） （2015 天津）曲线 y=x2 与 y=x 所围成的封闭图形的面积为 12 （5 分） （2015 天津）在（x ） 6 的展开式中，x 2 的系数为 第 3 页（共 22 页）13 （5 分） （2015 天津）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c已知ABC 的面积为 3 ，b c=2，cosA= ，则 a 的值为 14 （5 分） （2015 天津）在等腰梯形 ABCD 中，已知ABDC，AB=2，BC=
5、1，ABC=60动点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上，且= ， = ，则 的最小值为 三.解答题（本大题共 6 小题，共 80 分）15 （13 分） （2015 天津）已知函数 f（x）=sin 2xsin2（x ） ，xR （）求 f（x）的最小正周期；（）求 f（x）在区间 ， 内的最大值和最小值16 （13 分） （2015 天津）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员 3 名，其中种子选手 2 名，乙协会的运动员 5 名，其中种子选手 3 名，从这 8 名运动员中随机选择 4 人参加比赛（）设 A 为事件“选出的 4 人中
6、恰有 2 名种子选手，且这 2 名种子选手来自同一个协会”，求事件 A 发生的概率；（）设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数，求随机变量 X 的分布列和数学期望17 （13 分） （2015 天津）如图，在四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，侧棱 AA1底面ABCD，AB AC，AB=1 ，AC=AA 1=2，AD=CD= ，且点 M 和 N 分别为 B1C 和 D1D 的中点（）求证：MN平面 ABCD（）求二面角 D1ACB1 的正弦值；（）设 E 为棱 A1B1 上的点，若直线 NE 和平面 ABCD 所成角的正弦值为 ，求线段A1E 的长18 （13 分） （2015 天津）已知
7、数列a n满足 an+2=qan（q 为实数，且 q1） ，nN*，a 1=1，a 2=2，且 a2+a3，a 3+a4，a 4+a5 成等差数列（1）求 q 的值和a n的通项公式；（2）设 bn= ，nN *，求数列b n的前 n 项和第 4 页（共 22 页）19 （14 分） （2015 天津）已知椭圆 + =1（ab0）的左焦点为 F（c，0） ，离心率为 ，点 M 在椭圆上且位于第一象限，直线 FM 被圆 x2+y2= 截得的线段的长为c，|FM|= （）求直线 FM 的斜率；（）求椭圆的方程；（）设动点 P 在椭圆上，若直线 FP 的斜率大于 ，求直线 OP（O 为原点）的斜率的
8、取值范围20 （14 分） （2015 天津）已知函数 f（x）=nxx n，x R，其中 nN，且 n2（）讨论 f（x）的单调性；（）设曲线 y=f（x）与 x 轴正半轴的交点为 P，曲线在点 P 处的切线方程为 y=g（x） ，求证：对于任意的正实数 x，都有 f（x）g（x） ；（）若关于 x 的方程 f（x） =a（a 为实数）有两个正实数根 x1，x 2，求证：|x 2x1|+2第 5 页（共 22 页）2015 年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （5 分） （2015 天津）已知全集 U=1，2，3，
9、4，5，6，7，8，集合 A=2，3，5，6，集合 B=1，3，4，6，7，则集合 AUB=（ ）A2，5 B3，6 C2，5，6 D2，3，5，6，8【分析】由全集 U 及 B，求出 B 的补集，找出 A 与 B 补集的交集即可；【解答】解：全集 U=1，2，3，4，5，6，7，8，集合 A=2，3，5，6，集合B=1，3，4，6，7， UB=2，5，8，则 AUB=2， 5故选：A【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键2 （5 分） （2015 天津）设变量 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 z=x+6y 的最大值为（ ）A3 B4 C18 D40【分析
10、】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定 z的最大值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分） 由 z=x+6y 得 y= x+ z，平移直线 y= x+ z，由图象可知当直线 y= x+ z 经过点 A 时，直线 y= x+ z 的截距最大，此时 z 最大由 ，解得 ，即 A（0，3）将 A（0，3）的坐标代入目标函数 z=x+6y，得 z=36=18即 z=x+6y 的最大值为 18故选：C第 6 页（共 22 页）【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法3 （5 分） （2015
11、 天津）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出 S 的值为（ ）A10 B6 C14 D18【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 i，S 的值，当 i=8 时满足条件i5，退出循环，输出 S 的值为 6【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=20，i=1i=2，S=18不满足条件 i5，i=4，S=14不满足条件 i5，i=8，S=6满足条件 i5，退出循环，输出 S 的值为 6故选：B【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的 i，S 的值是解题的关键，属于基础题第 7 页（共 22 页）4 （5 分） （2015 天津）设 xR，则“|x2|1”是“x
12、2+x20” 的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：由“|x 2|1”得 1x3，由 x2+x20 得 x1 或 x 2，即“| x2|1”是“x 2+x20”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础5 （5 分） （2015 天津）如图，在圆 O 中，M、N 是弦 AB 的三等分点，弦 CD，CE 分别经过点 M，N，若 CM=2，MD=4，CN=3 ，则线段 NE 的长为（ ）A B3 C D【分析】由相交弦定理求出 AM，再利用相
13、交弦定理求 NE 即可【解答】解：由相交弦定理可得 CMMD=AMMB，24=AM2AM，AM=2，MN=NB=2，又 CNNE=ANNB，3NE=42，NE= 故选：A【点评】本题考查相交弦定理，考查学生的计算能力，比较基础6 （5 分） （2015 天津）已知双曲线 =1 （a 0，b0）的一条渐近线过点（2， ） ，且双曲线的一个焦点在抛物线 y2=4 x 的准线上，则双曲线的方程为（ ）A =1 B =1第 8 页（共 22 页）C =1 D =1【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程，从而可得双曲线的左焦点，再根据焦点在 x轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程，得 a、b 的另一个方程
14、，求出 a、b，即可得到双曲线的标准方程【解答】解：由题意， = ，抛物线 y2=4 x 的准线方程为 x= ，双曲线的一个焦点在抛物线 y2=4 x 的准线上，c= ，a 2+b2=c2=7，a=2，b= ，双曲线的方程为 故选：D【点评】本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题7 （5 分） （2015 天津）已知定义在 R 上的函数 f（x）=2 |xm|1（m 为实数）为偶函数，记a=f（log 0.53） ，b=f（log 25） ，c=f （2m） ，则 a，b，c 的大小关系为（ ）Aabc Ba cb Cc ab Dcba【分析】根据 f（
15、x）为偶函数便可求出 m=0，从而 f（x）=2 |x|1，这样便知道 f（x）在0，+）上单调递增，根据 f（x）为偶函数，便可将自变量的值变到区间 0，+）上：a=f（|log 0.53|） ，b=f（log 25） ，c=f （0） ，然后再比较自变量的值，根据 f（x）在0，+）上的单调性即可比较出 a，b，c 的大小【解答】解：f（x）为偶函数；f（ x）=f（x） ；2 |xm|1=2|xm|1；|x m|=|xm|；（x m） 2=（xm） 2；mx=0；m=0；f（x）=2 |x|1；第 9 页（共 22 页）f（x）在0，+）上单调递增，并且 a=f（|log 0.53|）=
16、f（log 23） ，b=f（log 25） ，c=f（0） ；0log 23log 25；cab故选：C【点评】考查偶函数的定义，指数函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间0，+）上，根据单调性去比较函数值大小对数的换底公式的应用，对数函数的单调性，函数单调性定义的运用8 （5 分） （2015 天津）已知函数 f（x）= ，函数 g（x）=bf（2x） ，其中 bR，若函数 y=f（x）g（x）恰有 4 个零点，则 b 的取值范围是（ ）A （ ，+） B （ ， ） C （0， ） D （ ，2）【分析】求出函数 y=f（x）g（x）的表达式，构造函数 h（
17、x）=f（x）+f（2x） ，作出函数h（x）的图象，利用数形结合进行求解即可【解答】解：g（x）=b f（2x） ，y=f（x）g（ x）=f （x）b +f（2x） ，由 f（x） b+f（2x）=0 ，得 f（x）+f（2x）=b，设 h（x）=f（x）+f（2x） ，若 x0，则x 0，2 x2，则 h（x）=f（x）+f（2x）=2+x+x 2，若 0x2，则2 x0，0 2x2，则 h（x）=f（x）+f（2x）=2x+2|2 x|=2x+22+x=2，若 x2，x2，2x0，则 h（x）=f（x）+f（2x）=（x2） 2+2|2x|=x25x+8即 h（x）= ，作出函数 h（
18、x）的图象如图：第 10 页（共 22 页）当 x0 时，h（x）=2+x+x 2=（x+ ） 2+ ，当 x2 时，h（x）=x 25x+8=（x ） 2+ ，故当 b= 时，h（x）=b ，有两个交点，当 b=2 时，h（x）=b ，有无数个交点，由图象知要使函数 y=f（x）g（x）恰有 4 个零点，即 h（x）=b 恰有 4 个根，则满足 b2，故选：D【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键二.填空题（每小题 5 分，共 30 分）9 （5 分） （2015 天津）i 是虚数单位，若复数（12i ） （a +i）是纯虚数，则实数 a 的值为 2 【分析】由复数代数形式的乘除运算化简，再由实部等于 0 且虚部不等于 0 求得 a 的值【解答】解：由（12i） （a+i ）= （a +2）+（12a）i 为纯虚数，得 ，解得：a=2故答案为：2【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数为纯虚数的条件，是基础题10 （5 分） （2015 天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m） ，则该几何体的体积为 m 3
