1、12015 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项（1） 【2015 年北京，理 1】复数 （ ）i2（A） （B ） （C） （D ）2i12i12i【答案】A【解析】 ，故选 A2ii（2） 【2015 年北京，理 2】若 ， 满足 则 的最大值为（ ）xy01xy， 2zxy（A）0 （ B）1 （C） （D）32【答案】D【解析】如图，当 ， ，故选 D0xymax2z（3） 【2015 年北京，理 3】执行如图所示的程序框图，输出
2、的结果为（ ）（A）（B）（C ）（D）2， 40， 4， 08，【答案】B【解析】 ，结束，输出 ，故选 B0021443stxykt(,0)（4） 【2015 年北京，理 4】设 ， 是两个不同的平面， 是直线且 “ ”是“ ”mm 的（ ）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】B【解析】 不能推出 ，而 ， ， “ ”是“ ”的必要不充分条件，故/m/选 B（5） 【2015 年北京，理 5】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）（A） （B） （C） （D ）524525【答案】C【解析】由三视图知， 面 ABC，
3、 ， ，PA1ABSAB, ， ，152PABCS6P125PCSA ，5故选 C（6） 【2015 年北京，理 6】设 是等差数列. 下列结论中正确的是（ ）na（A）若 ，则 （B）若 ，则 120a230130a120a（C）若 ，则 （D）若 ，则1 23【答案】C【解析】 ， ，所以 ， ，故选 C21d3a3232（7） 【2015 年北京，理 7】如图，函数 的图象为折线 ，则不等式 的解集是（ ）fxACB2log1fx（A） （ B） （C ） （D）|10x|1|1|2x【答案】C【解析】由题可知： ，当 时， 时， 单2-0()2xf1,0x2log()0xx0,()f调
4、递减， 单调递增， 当 时， ，2()log(1)x2log()112log(1)2x的解集为 ，故选 Cf,（8） 【2015 年北京，理 8】汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（ ）（A）消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米 （B）以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 （C）甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油 （D）某城市机动车最高限速 80 千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【答案】D【解析】由图可知，对乙车存在一个速度，使
5、燃油效率高于 5， A 错；由图知，当以 的速度行驶时，40/kmh甲车燃油效率最高，行驶相同路程时，耗油最少，B 错；甲车以 行驶 1 小时耗油 8 升，故 C80/kh错在限速 ，相同情况下，丙车燃油效率较乙车高，所以乙车更省油，故选 D80/kmh第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题：共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。（9） 【2015 年北京，理 9】在 的展开式中， 的系数为 （用数字作答）2x3x【答案】40【解析】 ，当 时，系数为 512rrrTCx332540C（10） 【2015 年北京，理 10】已知双曲线 的一条渐近线为 ，则 21xya30xya【
6、答案】 3【解析】令 ，所以 20xxyyaa3a（11） 【2015 年北京，理 11】在极坐标系中，点 到直线 的距离为_2cos3in6【答案】1【解析】直线方程为 ，点为 ，所以点到直线方程的距离为36360xyxy(1,3)3621d（12） 【2015 年北京，理 12】在 中， ， ， ，则 ABC 4a5b6csin2AC【答案】1【解析】 22sin2sico31906AbcC（13） 【2015 年北京，理 13】在 中，点 ， 满足 ， 若 MNABN3，则 ； _MNxAByCxy【答案】 ，126【解析】 ，所以 111()323226ABCABAC1,26xy（14
7、） 【2015 年北京，理 14】设函数 若 ，则 的最小值为 ；4.xaxfx af若 恰有 2 个零点，则实数 的取值范围是 fxa【答案】 ； min()1,2,a【解析】 当 时， ，1()4)(,1xf x时， ， 时， ，所以 ；1xmin31()()4()22ffmin()1fx（ ）当 时， 没有两个零点，0a()fx（）当 时， 时， ， 有一个零点；1220log0xaax()fx时， ；1(),f当 ，即 时， 恰有两个零点，所以当 时， 恰有两个零点；2a 1()fx（）当 时， 时， ， 有一个零点；11x220logxaax()fx时， ， ， 有两个零点，1()f
8、 此时 有三个零点；()f（）当 时， 时，无零点； 时，有两个零点，此时 有两个零点2axx ()fx综上所述 1,三、解答题：共 6 题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程（15） 【2015 年北京，理 15】 （本小题满分 13 分）已知函数 2()2sincosinxxf（）求 的最小正周期；()fx（）求 在区间 上的最小值0解：（） ，周期 2()sin(1cos)f x22incosx2sin()4x21T（） 最小值为 0x34si()410f（16） 【2015 年北京，理 16】 （本小题满分 13 分） ， 两组各有 7 位病人，他们服用某种药物后的康复
9、时间AB（单位：天）记录如下：组：10，11，12，13，14，15，16A组：12，13，15，16，17，14，Ba假设所有病人的康复时间互相独立，从 ， 两组随机各选 1 人， 组选出的人记为甲， 组选出的人AB记为乙（）求甲的康复时间不少于 14 天的概率；（）如果 ，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；25a（）当 为何值时， ， 两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）AB解：（）记甲康复时间不小于 14 天为事件 则 ，所以甲康复时间不小于 14 天的概率为 A()7P 37（）记甲的康复时间比乙的康复时间长为事件 B4基本事件空间如下表乙 甲 10 11 12 13 1
10、4 15 1612 短 短 短 长 长 长 长13 短 短 短 短 长 长 长14 短 短 短 短 短 长 长15 短 短 短 短 短 短 长16 短 短 短 短 短 短 短17 短 短 短 短 短 短 短25 短 短 短 短 短 短 短所以 10()749PB（） 或a8由于 组为公差为 1 的等差数列，所以当 或 时 组也为公差为 1 的等差数列，所以方差A1a8B一定相等，而方差相等的方程是关于 的一个一元二次方程，故最多有两个解，所以只有 或1a两个值1（17） 【2015 年北京，理 17】 （本小题满分 14 分）如图，在四棱锥 中， 为等AEFCA边三角形，平面 平面 ， ， ，
11、 ，EFCBEF 4C2a，60EBC为 的中点O（）求证： ；A（）求二面角 的余弦值；（）若 平面 ，求 的值Oa解：（）证明： 为等边三角形， 为 中点，EFEFAOEF又 平面 平面 ，平面 平面 ， CBCB平面 ， 。A A（）以 为原点建立如图坐标系 ， ， ，,0a,0a,3a， ，2,3,0Ba3E20E平面 的法向量 ；设平面 的法向量 ，AF,1mAB,nxyz则 ，取 ，030nxzyEB 3,1n，15cos,nm又 二面角 为钝角， 二面角 的余弦值为 FAEBFAEB5（） 平面 ， ， ，B OC 2,3,0OCa，解得 （舍）或 232Eaa243a（18）
12、【2015 年北京，理 18】 （本小题满分 13 分）已知函数 1lnxf（）求曲线 在点 处的切线方程；yfx0f，（）求证：当 时， ；1， 32x5（）设实数 使得 对 恒成立，求 的最大值k3xfk01， k解：（） ， 又 ，(x)ln1)l()f(fx1x()0f所以，切线方程为 ，即 02xy2y（） ，3 3()f2ln(1)l()F，21xx2(1)()x2(1)x421x又因为 ，所以 ，所以 在 上是增函数，0)0FF0,又 ，故 ，所以 ()F(3()k)f（） ，设 ，31lnx),1)k 21xln(x,(01)t， ，4222()(0,)kt ,k，函数 是单调
13、递增， 显然成立。0)t t当 时，令 ，得 ，k(x0()t402(,1)x(,)0x0(,1)xt +()极值 ，显然不成立，由此可知 最大值为 20(x)ttk（19） 【2015 年北京，理 19】 （本小题满分 14 分）已知椭圆 ： 的离心率为 ，点C210xyab2和点 都在椭圆 上，直线 交 轴于点 1P， Amn， 0 PAM（）求椭圆 的方程，并求点 的坐标（用 ， 表示） ；CMmn（）设 为原点，点 与点 关于 轴对称，直线 交 轴于点 问： 轴上是否存在点 ，使得OBAxBxNyQ？若存在，求点 的坐标；若不存在，说明理由QMNQ解：（）由题意知 ， ，又 ，解得 ，
14、1b2ca22abc2,1abc所以 的方程为 的斜率 ，所以 方C2xyPA1PAnkmPA程 ，令 ，解得 ，所以 1nym01x,0M（） ，同（）可得 ， ，,B,Nn1taQOk，因为 所以 ，设 则 即 ，tanQNOkOMNM,0t 11ttmn2mtn又 在椭圆 上，所以 ，即 ，所以 ，故存在 使得AC21mn2n2t2,0QM（20） 【2015 年北京，理 20】 （本题满分 13 分）已知数列 满足： ， ，且na*1N136a6，记集合 121836nnna， ， 2， ， *|nMaN（）若 ，写出集合 的所有元素；M（）若集合 存在一个元素是 3 的倍数，证明：
15、的所有元素都是 3 的倍数；（）求集合 的元素个数的最大值解：（）6，12，24（）若存在 是 的倍数，设 ，(1,2)ianL3()iak*N当 时， ， 也是 的倍数；8i 6iiak1i当 时， ， 也是 的倍数131i综上， 是 的倍数，依次类推，当 时， 是 的倍数；i n n若存在 是 的倍数，设 ，(2,)anL3()iak*当 时， ，因为 ，所以 也是 的倍数；18i 132iiak1iN1ia3当 时， ，因为 ，所以 也是 的倍数；i6()iii*1i综上， 是 的倍数，依次类推，当 时， 是 的倍数；所以原结论成立1ia nn（）当 时，将 代入 ，12,18(,2)36nna L依次得到 ， ， ， ， ， ， ， ，2486804所以当 时， ，此时 ，共 个元素9n na,3M8由题意， 可取的值有 ， ， ， 共 个元素，314a17210a4显然，不论 为何值， 必为 的倍数，所以 ，13 3(,29)kL 当 时， ，此时 最多有 个元素；34,8620,86,nn M8 当 时， ，此时 最多有 个元素；a,2n() 当 时， ，此时 最多有 个元素；3()所以集合 的元素个数的最大值为 M
