1、第 1 页（共 62 页）2017 年重庆市高考数学试卷（理科） （全国新课标）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 （5 分） =（ ）A1 +2i B12i C2+i D2 i2 （5 分）设集合 A=1，2，4，B=x|x 24x+m=0若 AB=1，则 B=（ ）A1 ， 3 B1，0 C1，3 D1，53 （5 分）我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2
2、 倍，则塔的顶层共有灯（ ）A1 盏 B3 盏 C5 盏 D9 盏4 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ）A90 B63 C42 D36第 2 页（共 62 页）5 （5 分）设 x，y 满足约束条件 ，则 z=2x+y 的最小值是（ ）A 15 B9 C1 D96 （5 分）安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1人完成，则不同的安排方式共有（ ）A12 种 B18 种 C24 种 D36 种7 （5 分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的
3、成绩老师说：你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则（ ）A乙可以知道四人的成绩 B丁可以知道四人的成绩C乙、丁可以知道对方的成绩 D乙、丁可以知道自己的成绩8 （5 分）执行如图的程序框图，如果输入的 a=1，则输出的 S=（ ）第 3 页（共 62 页）A2 B3 C4 D59 （5 分）若双曲线 C： =1（a0，b 0）的一条渐近线被圆（x 2）2+y2=4 所截得的弦长为 2，则 C 的离心率为（ ）A2 B C D10 （5 分）已知直三棱柱 ABCA1B1C1 中，ABC=1
4、20，AB=2，BC=CC 1=1，则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为（ ）A B C D11 （5 分）若 x=2 是函数 f（x）=（x 2+ax1）e x1 的极值点，则 f（x）的极小值为（ ）A 1 B2e 3 C5e 3 D112 （5 分）已知ABC 是边长为 2 的等边三角形， P 为平面 ABC 内一点，则（ + ）的最小值是（ ）A 2 B C D 1二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13 （5 分）一批产品的二等品率为 0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 100 次X 表示抽到的二等品件数，则 DX= 14 （5 分
5、）函数 f（x ）=sin 2x+ cosx （x 0， ）的最大值是 15 （5 分）等差数列a n的前 n 项和为 Sn，a 3=3，S 4=10，则 = 16 （5 分）已知 F 是抛物线 C：y 2=8x 的焦点，M 是 C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点 N若 M 为 FN 的中点，则|FN|= 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生第 4 页（共 62 页）根据要求作答 （一）必考题：共 60 分。17 （12 分）ABC 的内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b ，c ，
6、已知 sin（A+C）=8sin2 （1）求 cosB；（2）若 a+c=6，ABC 的面积为 2，求 b18 （12 分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg） ，其频率分布直方图如图：（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50kg，新养殖法的箱产量不低于 50kg”，估计 A 的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量50kg 箱产量50kg 旧养殖法 新养殖法 （3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产
7、量的中位数的估计值（精确到 0.01） 附：P（ K2k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 K2= 第 5 页（共 62 页）19 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC= AD，BAD=ABC=90，E 是 PD 的中点（1）证明：直线 CE平面 PAB；（2）点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD 所成角为 45，求二面角MABD 的余弦值20 （12 分）设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C： +y2=1 上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满足
8、= （1）求点 P 的轨迹方程；（2）设点 Q 在直线 x=3 上，且 =1证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l过 C 的左焦点 F21 （12 分）已知函数 f（ x）=ax 2axxlnx，且 f（x）0（1）求 a；（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点 x0，且 e2f（x 0）2 2（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1 的极坐标方程为 cos=4（1）M 为曲线 C
9、1 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足|OM| |OP|=16，求点 P 的轨迹 C2 的直角坐标方程；（2）设点 A 的极坐标为（2， ） ，点 B 在曲线 C2 上，求OAB 面积的最大第 6 页（共 62 页）值选修 4-5：不等式选讲（10 分）23已知 a0，b0 ，a 3+b3=2证明：（1） （a+b ） （ a5+b5）4 ；（2）a+b 2 第 7 页（共 62 页）2017 年重庆市高考数学试卷（理科） （全国新课标）参考答案与试题解析一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 （5 分） =
10、（ ）A1 +2i B12i C2+i D2 i【分析】分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再利用虚数单位 i 的幂运算性质，求出结果【解答】解： = = =2i，故选 D【点评】本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位 i 的幂运算性质，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数2 （5 分）设集合 A=1，2，4，B=x|x 24x+m=0若 AB=1，则 B=（ ）A1 ， 3 B1，0 C1，3 D1，5【分析】由交集的定义可得 1A 且 1B，代入二次方程，求得 m，再解二次方程可得集合 B【解答】解：集合 A=1，2，4，B=x|x 24x+m=0若 AB=1，则 1A 且 1
11、B，可得 14+m=0，解得 m=3，即有 B=x|x24x+3=0=1，3故选：C【点评】本题考查集合的运算，主要是交集的求法，同时考查二次方程的解法，运用定义法是解题的关键，属于基础题第 8 页（共 62 页）3 （5 分）我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯（ ）A1 盏 B3 盏 C5 盏 D9 盏【分析】设这个塔顶层有 a 盏灯，由题意和等比数列的定义可得：从塔顶层依次向下每层灯数是等比数列，结合条件和等比数
12、列的前 n 项公式列出方程，求出 a 的值【解答】解：设这个塔顶层有 a 盏灯，宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的 2 倍，从塔顶层依次向下每层灯数是以 2 为公比、a 为首项的等比数列，又总共有灯 381 盏，381= =127a，解得 a=3，则这个塔顶层有 3 盏灯，故选 B【点评】本题考查了等比数列的定义，以及等比数列的前 n 项和公式的实际应用，属于基础题4 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ）第 9 页（共 62 页）A90 B63 C42 D36【分析】由三视图可得
13、，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为 6 的圆柱的一半，即可求出几何体的体积【解答】解：由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为 6 的圆柱的一半，V=3210 326=63，故选：B【点评】本题考查了体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5 （5 分）设 x，y 满足约束条件 ，则 z=2x+y 的最小值是（ ）A 15 B9 C1 D9【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最小第 10 页（共 62 页）值即可【解答】解：x、y 满足约束条件 的可行域如图：z=2x+y 经过可行域的 A 时，目标函数取得最小值，由 解得 A（6，3） ，则 z
14、=2x+y 的最小值是：15故选：A【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及计算能力6 （5 分）安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1人完成，则不同的安排方式共有（ ）A12 种 B18 种 C24 种 D36 种【分析】把工作分成 3 组，然后安排工作方式即可【解答】解：4 项工作分成 3 组，可得： =6，安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，可得：6 =36 种故选：D【点评】本题考查排列组合的实际应用，注意分组方法以及排列方法的区别，考查计算能力7 （5 分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看
