1、理科数学 2017 年高三 2017 年全国丙卷理科数学 理科数学考试时间：120 分钟题型 单选题 填空题 简答题 总分得分一、单选题 （本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1已知集合 ，则 中元素的个数为( )2,|1,AxyBxyABA. 3 B. 2 C. 1 D. 02设复数 z 满足(1+i)z=2 i，则 ( )zA. B. C. D. 2123.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2014 年 1 月至2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是( )A. 月接待游客
2、量逐月增加 B. 年接待游客量逐年增加C. 各年的月接待游客量高峰期大致在 7,8 月份D. 各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳4. 的展开式中 的系数为 ( )52xy3xyA. -80 B. -40 C. 40 D. 805.已知双曲线 的一条渐近线方程为 ,且与椭圆2:10,xyCabb52yx有公共焦点，则 C 的方程为( )213xyA. B. C. D. 2802145xy214xy213xy6设函数 ，则下列结论错误的是( )cos3fxA. f(x)的一个周期为2 B. y=f(x)的图像关于直线 对称83xC. f(x+)的
3、一个零点为 D. f(x)在 单调递减6x,27执行右面的程序框图，为使输出 S 的值小于 91，则输入的正整数 N 的最小值为( )A. 5 B. 4 C. 3 D. 28.已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）A. B. C. D. 34249.等差数列 的首项为 1，公差不为 0.若 a2，a 3，a 6成等比数列，则 前 6 项的和为（ na na）A. -24 B. -3 C. 3 D. 810.已知椭圆 的左、右顶点分别为 A1，A 2，且以线段 A1A2为直径的2:10xyCab圆与直线 相切，则 C 的离心率为（ ）baA
4、. B. C. D. 6323111.已知函数 有唯一零点，则 a=（ ）21xxfxaeA. B. C. D. 11312. 在矩形 ABCD 中，AB =1，AD=2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上.若，则 的最大值为（ ）PA. 3 B. C. D. 225二、填空题 （本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13. 若 满足约束条件 ，则 的最小值为_.,xy02xy34zxy14. 设等比数列 满足 ，则na1213,aa4_.15.设函数 则满足 的 x 的取值范围是_。,0xf12fxf16.a，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 ABC
5、 的直角边 AC 所在直线与a，b 都垂直，斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转，有下列结论：当直线 AB 与 a 成 60角时， AB 与 b 成 30角；当直线 AB 与 a 成 60角时， AB 与 b 成 60角；直线 AB 与 a 所成角的最小值为 45；直线 AB 与 a 所成角的最小值为 60；其中正确的是_。（填写所有正确结论的编号）三、简答题（综合题） （本大题共 7 小题，共 70 分）17.ABC 的内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c，已知sin3cos0,27,ab（1）求 c；（2）设 D 为 BC 边上一点，且 AD AC,求ABD 的面积.18.某超市
6、计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关.如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间 ，需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶为了20,5确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。（1）求六月份这种酸奶一天的需求量 X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y（单位：元），当六
7、月份这种酸奶一天的进货量 n（单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？19（12 分）如图，四面体 ABCD 中，ABC 是正三角形，ACD 是直角三角形，ABD=CBD，AB=BD（1）证明：平面 ACD平面 ABC；（2）过 AC 的平面交 BD 于点 E，若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角DAEC 的余弦值20.（12 分）已知抛物线 ，过点（2,0）的直线 l 交 C 与 A,B 两点，圆 M 是以线段 AB 为直径2:yx的圆.（1）证明：坐标原点 O 在圆 M 上；（2）设圆 M 过点 P（4，-2 ），求直线 l 与圆 M 的方程.21.（1
8、2 分）已知函数 .1lnfxax（1）若 ，求 a 的值；0fx（2）设 m 为整数，且对于任意正整数 n， ，求 m 最小值.211.n22 选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。在直角坐标系 xOy 中，直线 l1的参数方程为 （t 为参数），直线 l2的参数方程为2,xyk（m 为参数）.设 l1与 l2的交点为 P，当 k 变化时，P 的轨迹为曲线 C.2xyk（1）写出 C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 ，3:cosin20lM 为 l3与 C 的交点，求 M 的极径.23.选考题：
9、共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。已知函数 f（x） =x+1x2.（1）求不等式 f（x ）1 的解集；（2）若不等式 f（x ） x2x +m 的解集非空，求 m 的取值范围.参考答案单选题 1. B 2. C 3. A 4. C 5. B 6. D 7. D 8. B 9. A 10. A 11. C 12. A 精选题目详解：8如图所示，易知 ， ，1,2O32AB，选2314S11 21xxfxae令 ，则 在 上单调递减，在 上单调递增；21gg,1,令 ，则由均值不等式得， 在 上单调递减，在 上单xxhe hx1,调递增；故
10、当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；0af,1,12f满足题意，结合选项知选 C12. 建立如图所示的平面直角坐标系，则 ，0,12,0ABD由等面积法可知，圆的半径为 ，5故圆的方程为24xy故可设cos,in5PABD12cs,si15onco235填空题 13. -114. -815. (-1/4,+)16. 精选题目详解：BOAxyPDCBAxyf(x-12)-1f(x)15. 画出 及 的图像知 及 都是 上的单调递增函数，故fx12ffx12fR也是 上的单调递增函数，从图像上易判断 的解在直fR12fxf线部分，故令 ，解得 ，故 的解集为12x14x12fxf,416.
11、建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设 ，CABD直线 的方向向量为 ，a1,0直线 的方向向量为bE则 ，cos,in,1AB当直线 AB 与 a 成 60角时，即cos1cos,cos602ABCD2cos则直线 与直线 的夹角 应该满足ABbsin1co260设直线 与直线 的夹角 ，则 ，所以 的最小值为 ，as0,45最大值为 9综上 正确的为简答题 17. 解：(1) sin3cos0Ata2由余弦定理知 22cosbcaA148整理可得： 240c(舍去),6(2) 由(1)可得 22cos7abC3tan2t11sin342ABDCSDAB18. (1) 的所有可能取值为 200
12、,300,500X2600.9P3457.0X故 的分布列为： X200 300 500P0.2 0.4 0.4(2) 当 时，20n2Yn当 时， 的分布列为：3802n2n0.2 0.4 0.4当 时， 的分布列为：05nY10P0.2 0.4 0.4当 时， 的分布列为：802n2n02n0.2 0.4 0.4综上所述 2,0863053,51402nnEY易知，当 时， 最大，此时nEY520EY19. (1) 证明：设 ABa是正三角形C,DABCDA又 是直角三角形 2Ca取 中点 ，连接M,DB易知 ，且 ，又A132MaBDAa22DMB又 AC平面又 平面平面 平面 AC(2
13、) 过点 作 的垂线，垂足为 ，则 ，EBF/EDM平面 ， 平面DB13ACABCVFS又 ，且DBM12EABCDABCV12E为 的中位线F为 中点以 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系，BxCyz则由(1)得 ， ， ，10,2Da10,2Aa3,02Ba1,02Ca3,4Ea11,0,0,242AaADaAa平面 的法向量 ，平面 的法向量DE13,nEC21,03n127cos,3n二面角 的余弦值为DAEC720. (1) 设直线方程为 ，2xmy12,AxyBxy联立抛物线方程 可得：240m124y21212112xmyyy10OABx9坐标原点 在圆 上M(2)
14、由(1)得： 212124ym2112464840Pxxyym,m当 时，直线方程为 ，1m20xy圆心 ，半径3,M1rOM圆 的方程为23当 时，直线方程为240xy圆心 ，半径91,485r圆 方程为M2216xy21. (1) 的定义域为fx0,1ax当 时， ， 在 上单调增，又 ，故不满足题意ffx0,10f当 时，令 ，则 ，0a易知 在 上单调减，在 上单调增fx,a,故只需 ，即 1ln0令 ，则lgg易知 在 上单调增， 单调减，故a0,max10g且仅在 时取得最大值1故当且仅当 时， 0fa(2) 由(1)得 对 均成立lnx,x故用 代替 得12lnn2 2111ll.ln.2nn.32ne又23115264m的最小值为 322. （1）由已知得 ， ， （3 分）
