1、理科数学试题 第 1 页( 共 4 页)绝密启用前2017 年普通高等学校招生全国统一考试(全国 2 卷)理科数学本试题卷共 23 题，共 150 分，共 4 页，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项： 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、题卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须使用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁，不要折叠
2、、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1. ( )31iA. B. C. D.2i12i2i2i2.设集合 , .若 ,则 ( ) 440xm1ABA. B. C. D.1,31, ,31,53.我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍,则塔的顶层共有灯( )理科数学试题 第 2 页( 共 4 页)产SK=+1a=S
3、=+aK产产产aS=0,K1K6A.1 盏 B.3 盏 C.5 盏 D.9 盏4.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得,则该几何体的体积为( )A. B. C. D.906342365.设 , 满足约束条件 ,则 的最小值是( )xy203xy2zxyA. B. C. D.159196.安排 3 名志愿者完成 4 项工作,每人至少完成 1 项,每项工作由 1 人完成,则不同的安排方式共有( )A.12 种 B.18 种 C.24 种 D.36 种7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩.老师说：你们四人中有
4、2 位优秀,2 位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则( )A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩8.执行右面的程序框图,如果输入的 ,则输出的 ( )1aSA.2 B.3 C.4 D.59.若双曲线 ( , )的一条渐近线被圆 所截得的弦长为 2,则 的离C:21xyab0b24xyC心率为( )A.2 B. C. D.322310.已知直三棱柱 中, , , ,则异面直线 与 所成角的1AC10AB11ABC余弦值为( )理科数学试题 第
5、 3 页( 共 4 页)A. B. C. D.3215105311.若 是函数 的极值点,则 的极小值为( )x21()xfxae)fxA. B. C. D.11335e12.已知 是边长为 2 的等边三角形,P 为平面 ABC 内一点,则 的最小值是( )BC ()PABCA. B. C. D.23431二、填空题：本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。13.一批产品的二等品率为 ,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取 次, 表示抽到的二等品件0.2 0数,则 .D14.函数 ( )的最大值是 .23sincos4fxx0,215.等差数列 的前 项和为 , , ,则 .nan
6、S3a411nkS16.已知 是抛物线 的焦点, 是 上一点, 的延长线交 轴于点 .若 为 的中点,则F2:8CyxMCFyNMF.N三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第 1721 题为必做题,每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题：共 60 分。17.(12 分)的内角 的对边分别为 ,已知 .ABC,abc2sin()8sinBAC(1)求 cos(2)若 , 面积为 2,求 6a.理科数学试题 第 4 页( 共 4 页)18.(12 分)淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取 1
7、00 个网箱,测量各箱水产品的产量(单位：kg),其频率直方图如下：产0.20.320.4.4.1402产产/kg305405056057025O 0.810.460.680.2.4产产/kg405056057035产O(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立,记 A 表示事件：旧养殖法的箱产量低于 50kg, 新养殖法的箱产量不低于 50kg,估计 A 的概率；(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量50kg 箱产量50kg旧养殖法新养殖法(3)根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值 (精确到 0.01)附: 2()PKk0
8、.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.82822()nadbc理科数学试题 第 5 页( 共 4 页)19.(12 分)如图,四棱锥 中,侧面 为等比三角形且垂直于底面三角形 , ,PABCDPBCD12A, 是 的中点,09BADE(1)证明：直线 平面 PAB(2)点 M 在棱 PC 上,且直线 与底面 所成锐角为 ,求BMACD045二面角 的余弦值ABD20. (12 分)设 O 为坐标原点,动点 M 在椭圆 C： 上,过 M 做 x 轴的垂线,垂足为 N,点 P 满足21xy.2NP(1)求点 P 的轨迹方程；(2)设点 Q 在直线 上,且 .证明：过点
9、P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F. 3x1OPQ EAB DPCM理科数学试题 第 6 页( 共 4 页)21.(12 分)已知函数 且 .3()ln,fxax()0f(1)求 a；(2)证明： 存在唯一的极大值点 ,且 .()fx0x220()efx(二)选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做 ,按所做的第一题计分。22.选修 4-4：坐标系与参数方程(10 分)在直角坐标系 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为Oy 1C.cos4(1)M 为曲线 上的动点,点 P 在线段 OM 上,且满足 ,求点 P 的轨迹 的直角坐标方程；1C16OM2(2)设点 A 的极坐标为 ,点 B 在曲线 上,求 面积的最大值.(2)32CAB23.选修 4-5：不等式选讲(10 分)已知 ,证明：20,ab(1) ；3()4(2) .2ab理科数学试题 第 7 页( 共 4 页)
