1、12017年普通高等学校招生全国统一考试（理科数学）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合A=x|x1000的 最 小 偶 数 n， 那 么 在 和 两 个 空 白 框 中 ，可 以 分 别 填 入AA1 000和n=n+1 BA1 000和n=n+2 CA 1 000和n=n+1 DA 1 000和n=n+29已知曲线C 1：y=cos x，C 2：y=sin (2x+ 23)，则下面结论正确的是A把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 6个单位长度，得到曲线C 2B把C 1上各点的
2、横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12个单位长度，得到曲线C 2C把C 1上各点的横坐标缩短到原来的 12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 6个单位长度，得到曲线C 2D把C 1上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12个单位长度，得到曲线C 210已知F为抛物线C：y 2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C交于A、B3两点，直线l 2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为A16 B14 C12 D1011设xyz为正数，且 35xyz，则A2x100且 该 数 列 的 前 N项 和 为
3、2的 整 数 幂 。 那 么 该 款 软 件 的 激 活 码 是A440 B330 C220 D110二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知向量a，b的夹角为60，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b |= .14设x，y满足约束条件210xy，则 32zxy的最小值为 .15已知双曲线C：21xyab（a0，b0）的右顶点为 A，以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点。若MAN=60，则C的离心率为_。16如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O。D、E、F为圆O上的点，DBC，ECA，FAB分别是以
4、BC，CA，AB为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥。当ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3）的最大值为_。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。417（12分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为23sinaA（1）求sinBsinC;（2）若6cosBcosC=1，a=3，求ABC的周长.18.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中
5、，AB/CD，且 90BAPCD.（1）证明：平面PAB平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC， 90APD，求二面角A-PB-C的余弦值.19（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 2(,)N（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在 (3,)之外的零件数，求 (1)P及 X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 (3,)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产
6、过程进行检查（ ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.0410.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得169.7ix，1616222()()0.1i iisxx，其中 ix5为抽取的第 i个零件的尺寸， 1,26i用样本平均数 x作为 的估计值 ，用样本标准差 s作为 的估计值 ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除 (3,)之外的数据，用剩下的数据估计 和（精确到0.01）附：若随机变量 Z服从正态
7、分布 2(,)N，则 (3)0.97 4PZ，160.97 4.59 2， 0.8.920.（12分）已知椭圆C：2=1xyab（ab0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（1， 32），P 4（1， 32）中恰有三点在椭圆C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P 2点且与C相交于A，B两点。若直线P 2A与直线P 2B的斜率的和为1，证明：l过定点.21.（12分）已知函数 )fx（ ae2x+(a2) e xx.（1）讨论 (的单调性；（2）若 )f有两个零点，求a的取值范围.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
8、622选修44：坐标系与参数方程（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 3cos,inxy（为参数），直线l的参数方程为4,1xaty（ 为 参 数 ）.（1）若a=1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l的距离的最大值为 17，求a.23选修45：不等式选讲（10分）已知函数f（x）=x 2+ax+4，g(x)=x+1+x1.（1）当a=1时，求不等式f（x）g（x）的解集；（2）若不等式f（x）g（x）的解集包含1，1，求a的取值范围.7参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. A 2B 3B 4C
9、5D 6C7B 8D 9D 10A 11D 12A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13 14-5 15 162323315cm三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17（12分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为23sinaA（1）求sinBsinC;（2）若6cosBcosC=1，a=3，求ABC的周长.解：（1）由题意可得21sin23iABCaSbcA，化简可得 23ia，根据正弦定理化简可得： 222sin
10、isnCisinC3BB。（2）由 2sinC 123cossincos1 3co6BA A，因此可得 3，将之代入 2sinCB中可得： 231sinsisincosin032CC ，化简可得 3ta,6B，8利用正弦定理可得 31sin2abBA，同理可得 3c，故而三角形的周长为 23。18.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，AB/CD，且 90BAPCD.（1）证明：平面PAB平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC， 90APD，求二面角A-PB-C的余弦值.（1）证明： /,ABCDB,又 P,PA、PD都在平面PAD内，故而可得 。又AB在平面PAB内，故而平面PAB平面
11、PAD。（2）解：不妨设 2PADBCa，以AD中点O为原点，OA为x轴，OP为z轴建立平面直角坐标系。故而可得各点坐标： 0,02,0,2,0ABaCa，因此可得 22PAaPaP，假设平面 B的法向量 1,nxy，平面 的法向量 2,1nm，故而可得 101220nPaay ，即 1,0，同理可得2 2CmnnBn，即 2,1。9因此法向量的夹角余弦值： 123cos,n。很明显，这是一个钝角，故而可得余弦为 3。19（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件
12、的尺寸服从正态分布 2(,)N（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在 (3,)之外的零件数，求 (1)P及 X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 (3,)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查（ ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.0410.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得169.7ix，1616222()()
13、0.1i iisxx，其中 ix为抽取的第 i个零件的尺寸， ,2用样本平均数 x作为 的估计值 ，用样本标准差 s作为 的估计值 ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除 (3,)之外的数据，用剩下的数据估计和 （精确到0.01）附：若随机变量 Z服从正态分布 2(,)N，则 (3)0.97 4PZ，160.97 4.59 2， 0.8.9解：（1） 16740.952.48PX由题意可得，X满足二项分布 ,XB，因此可得 16,0.16.6E10（2）由（1）可得 10.485%PX，属于小概率事件， 1故而如果出现 (3,)的零件，需要进行检查。由题意可得 AAA9.7.23
14、9.4,310.6， 2故而在 .4,106范围外存在9.22这一个数据，因此需要进行检查。此时： .10.5x，150.9i。20.（12分）已知椭圆C：2=1xyab（ab0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（1， 32），P 4（1， 32）中恰有三点在椭圆C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P 2点且与C相交于A，B两点。若直线P 2A与直线P 2B的斜率的和为1，证明：l过定点.解：（1）根据椭圆对称性可得，P 1（1,1）P 4（1， 32）不可能同时在椭圆上，P3（1， 2），P 4（1， 32）一定同时在椭圆上，因此可得椭圆经过P 2（0,1），P 3（1， 2），P 4（1， 32），代入椭圆方程可得： 2,4baa，故而可得椭圆的标准方程为： 21xy。（2）由题意可得直线P 2A与直线P 2B的斜率一定存在，不妨设直线P 2A为： ykx,P2B为： ykx.
