1、绝密启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。第卷1 至 2 页，第卷 3 至 5 页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第 I 卷注意事项：1每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。参考公式：如果事件
2、 A，B 互斥，那么 .()()PABP如果事件 A，B 相互独立，那么 .棱柱的体积公式 ，其中 表示棱柱的底面面积， 表示棱柱的高.VShh棱锥的体积公式 ，其中 表示棱锥的底面面积， 表示棱锥的高.13一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)设全集为 R，集合 ， ，则 02Ax1Bx()RIAB(A) (B) 01x0(C) (D) 22x(2)设变量 x，y 满足约束条件 则目标函数 的最大值为 5,41,0xy35zxy(A) 6 (B) 19 (C) 21 (D) 45(3)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入 N 的值为 20，则输出 T
3、的值为 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4(4)设 ，则“ ”是“ ”的 xR1|2x31x(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(5)已知 ， ， ，则 a，b，c 的大小关系为 2logealnb12log3c(A) (B) (C) (D) cacab(6)将函数 的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数 sin(2)5yx10(A)在区间 上单调递增 (B)在区间 上单调递减3,4 3,4(C)在区间 上单调递增 (D)在区间 上单调递减5,2,2(7)已知双曲线 的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于
4、A，B21(0,)xyabb两点. 设 A，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为 和 ，且 ，则双曲线的方程为 1d2126d(A) (B) 214xy4xy(C) (D) 239xy 2193xy(8)如图，在平面四边形 ABCD 中， ， ， ， . 若点 E 为ABCD20BA1BAD边 CD 上的动点，则 的最小值为 urE(A) (B) (C) (D) 2163225163第卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。2. 本卷共 12 小题，共 110 分。二. 填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。(9) i 是虚数单位，复数 .7i12(1
5、0) 在 的展开式中， 的系数为 .5()2x2x(11) 已知正方体 的棱长为 1，除面 外，该正方体其余各面的中心分别为点1ABCDABCDE，F ，G，H ， M(如图)，则四棱锥 的体积为 .EFGH(12)已知圆 的圆心为 C，直线 ( 为参数) 与该圆相交于 A，B 两点，则20xy21,3xty的面积为 . ABC(13)已知 ，且 ，则 的最小值为 . ,abR360ab128ab(14)已知 ，函数 若关于 的方程 恰有 2 个互异的实数解，02,0,().xxfax()fax则 的取值范围是 . a三.解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 解答应写出文字说明，证明过程
6、或演算步骤.（15） （本小题满分 13 分）在 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 . sincos()6AaB（I）求角 B 的大小；（II）设 a=2，c=3 ，求 b 和 的值.sin(2)AB(16)(本小题满分 13 分)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 24，16，16. 现采用分层抽样的方法从中抽取 7 人，进行睡眠时间的调查.（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（II）若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足，3 人睡眠充足，现从这 7 人中随机抽取 3 人做进一步的身体检查.（i）用 X 表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数，求
7、随机变量 X 的分布列与数学期望；（ii）设 A 为事件“抽取的 3 人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工” ，求事件 A 发生的概率.(17)(本小题满分 13 分)如图， 且 AD=2BC， , 且 EG=AD， 且 CD=2FG，ADBC ADCEGA CDFG，DA=DC=DG=2.G平 面（I）若 M 为 CF 的中点，N 为 EG 的中点，求证： ；MNE 平 面（II）求二面角 的正弦值；学.科网EBCF（III）若点 P 在线段 DG 上，且直线 BP 与平面 ADGE 所成的角为 60，求线段 DP 的长.(18)(本小题满分 13 分)设 是等比数列，公比大于 0，
8、其前 n 项和为 ， 是等差数列. 已知 ，na ()nSNnb1a， ， .32435b462ab（I）求 和 的通项公式；nab（II）设数列 的前 n 项和为 ，S()nTN（i）求 ；nT（ii）证明 .221()()nkkb(19)(本小题满分 14 分)设椭圆 (ab0)的左焦点为 F，上顶点为 B. 已知椭圆的离心率为 ，点 A 的坐标为21x 53，且 .(,0)b62FBA（I）求椭圆的方程；（II）设直线 l： 与椭圆在第一象限的交点为 P，且 l 与直线 AB 交于点 Q. (0)ykx若 (O 为原点) ，求 k 的值.52sin4AQAP(20)(本小题满分 14 分
9、)已知函数 ， ，其中 a1.(xfa()logax（I）求函数 的单调区间；)lnhf（II）若曲线 在点 处的切线与曲线 在点 处的切线平行，证(yfx1,()fx()ygx2,()gx明 ；12ln()axg（III）证明当 时，存在直线 l，使 l 是曲线 的切线，也是曲线 的切线.1e()yfx()ygx参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题 5 分，满分 40 分（1）B （2）C （3）B （4）A（5）D （6）A （7）C （8）A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题 5 分，满分 30 分（9）4i （10） （11） 5212（12） （13） （1
10、4） 1214(48)，三、解答题（15）本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力满分 13 分（）解：在ABC 中，由正弦定理 ，可得 ，又由 ，siniabABsiniAaBsincos()6bAaB得 ，即 ，可得 又因为 ，可得 B= sincos()6aBsico()6Bta3(0)， 3（）解：在ABC 中，由余弦定理及 a=2，c =3，B = ，有 ，故 b= 22cos7ba由 ，可得 因为 ac，故 因此 ，sincos()6bAaB3sin7Aos7A43sinis7A21c7
11、所以， sin()sincos2inABAB43137214（16）本小题主要考查随机抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥事件的概率加法公式等基础知识考查运用概率知识解决简单实际问题的能力满分 13 分（）解：由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为 322，由于采用分层抽样的方法从中抽取 7 人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取 3 人，2 人，2 人（）（i）解：随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2，3P（X=k）= （k =0，1，2，3）347Ck所以，随机变量 X 的分布列为X 0 1 2 3P 35854随机变量 X 的数学期望 12112()037EX（
12、ii）解：设事件 B 为“抽取的 3 人中，睡眠充足的员工有 1 人，睡眠不足的员工有 2 人”；事件 C为“抽取的 3 人中，睡眠充足的员工有 2 人，睡眠不足的员工有 1 人”，则 A=BC，且 B 与 C 互斥，由（i）知，P(B )=P(X=2)，P( C)=P(X=1)，故 P(A)=P(BC)=P(X=2)+P( X=1)= 67所以，事件 A 发生的概率为 67（17）本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识考查用空间向量解决立体几何问题的方法考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力满分 13 分依题意，可以建立以 D 为原点，分别以 ， ， 的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向的空间直DACG角坐标系（如图），可得 D（ 0，0，0），A（2，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），E（2，0，2），F（0，1，2），G （0，0，2），M （0， ，1），N （1，0，2）3（）证明：依题意 =（0，2，0）， =（2，0，2）设 n0=(x，y，z)为平面 CDE 的法向量，DCDE则 即 不妨令 z=1，可得 n0=（1，0，1）又 =（1， ，1），可得0E，nyxz， ， MN32，又因为直线 MN 平面 CDE，所以 MN平面 CDE0MN
