1、编号编号编号编号本科毕业论文（设计）题目不对称电极的石英晶体板振动效应专业工程力学学号姓名指导教师完成日期I诚诚诚诚信信信信承承承承诺诺诺诺我谨在此承诺本人所写的毕业论文不对称电极的石英晶体板振动效应均系本人独立完成，没有抄袭行为，凡涉及其他作者的观点和材料，均作了注释，若有不实，后果由本人承担。承诺人（签名承诺人（签名承诺人（签名承诺人（签名）年年年年月月月月日日日日不对称电极的石英晶体板振动效应II摘要近年来，为了获得更精确的频率以及满足市场对更高品质和高性能石英晶体谐振器的需求，石英晶体谐振器的尺寸变得越来越小。石英晶体谐振器的电极材料、电极尺寸和电极位置都对谐振器性能有着重要的影响。为
2、提高设计分析的精确性，我们有必要对电极的对称性对石英晶体板振动的影响进行研究。然而，早期很少有人对不对称电极石英晶体进行研究。本文应用一阶MINDLIN板理论对考虑不对称电极的石英晶体板振动进行了研究。我们推导了电容比的计算公式，并借助MATLAB分析了不同电极偏移量对电容比的影响。经过比较分析，我们发现厚度剪切振动模态的振动频率随着质量比的增加而减少，而弯曲模态和宽度拉伸模态的频率则与电极的位置有关。在石英晶体制造过程中，经常会出现电极镀层不对称的现象，因此本文的研究结果将对石英晶体谐振器的生产和设计有着一定的参考意义。关键词电极；谐振器；不对称；MINDLIN板；电容比。IIITHETHE
3、FFECTEFFOFASYMMETRICELECTRODESELONVIBRATIONSOFQUARTZQUARTZQQCRYSTALRESONATORSABSTRACTRECENTLY,INORDERTOOBTAINMOREPRECISEFREQUENCYANDSATISFYTHEDEMANDOFHIGHERQUALITYANDPERFORMANCE,THESIZEOFQUARTZCRYSTALRESONATORSNEEDTOBECOMESMALLERANDSMALLERASWEKNOW,THEMATERIAL,SIZE,ANDPOSITIONOFELECTRODESOFQUARTZCRYS
4、TALRESONATORSHAVESIGNIFICANTEFFECTONTHEPERFORMANCEOFRESONATORSTOIMPROVETHEACCURACYOFANALYSISFORDESIGN,ITISNECESSARYTOSTUDYTHEEFFECTOFELECTRODESFORTHEVIBRATIONSOFTHEQUARTZCRYSTALPLATEHOWEVER,INTHEEARLYRESEARCH,THEREHAVEBEENFEWINVESTIGATIONSFOCUSEDONTHEINFLUENCEOFASYMMETRICELECTRODESINTHISRESEARCH,WES
5、TUDIEDTHEVIBRATIONSOFQUARTZCRYSTALPLATESWITHTHECONSIDERATIONOFTHEASYMMETRICELECTRODESWITHTHEFIRSTORDERMINDLINPLATETHEORYWEDERIVEDTHEEQUATIONSFORTHECAPACITANCERATIO,ANDANALYZEDTHEINFLUENCEOFDIFFERENTELECTRODEOFFSETTHROUGHCOMPARISONANDANALYSIS,WEFOUNDTHATTHEFREQUENCYOFTHICKNESSSHEARMODEDECREASEDWITHTH
6、EINCREASEDMASSRATIOR,BUTTHEFREQUENCYOFFLEXUREANDWIDTHSTRETCHVIBRATIONSWEREMOREAFFECTERBYTHEPOSITIONOFELECTRODESTHEREOFTENAPPEARASYMMETRICELECTRODEQUARTZCRYSTALRESONATORSINTHEPRODUCTPROCESSTHUS,WEBELIEVETHISSTUDYCANPROVIDEIMPORTANTINFORMATIONINTHEDESIGNANDPRODUCTIONOFQUARTZCRYSTALRESONATORSKEYKEYKKWO
7、RDSELECTRODE；RESONATORS；ASYMMETRY；MINDLINPLATE；CAPACITANCERATIO不对称电极的石英晶体板振动效应IV目录摘要II目录IV1绪论111石英晶体谐振器与应用112石英晶体谐振器的发展史及研究现状12MINDLIN的一阶板理论421三维运动方程422MINDLIN的二维方程组523对应于AT切石英晶体的一阶板方程724本章小结103石英晶体板的自由振动1131考虑压电效应的MINDLIN一阶板方程组1132本章小结144完全覆盖电极的石英晶体板的振动分析1541受迫振动下的MINDLIN一阶板方程组1542本章小结205不对称电极的石英晶体
8、板振动效应2151部分覆盖电极的AT切石英晶体板的振动分析21511算例研究不同质量比R和多种偏移量E时的电容比与振动频率的关系2852本章小结396总结与展望40参考文献41致谢42附录4311绪论11石英晶体谐振器与应用石英晶体谐振器是一个用作频率标准的电子元件，它也可以使频率稳定并实现频率的选择和检测。石英晶体谐振器广泛地应用在各类电子系统、设备和仪器中如无线电话、微波通信、广播、电视、卫星和远距离通信、电子表和各类数字化仪器等等。它也能用来作为温度、压力和重力等类型的传感器的核心部件1。自从20世纪20年代初国际上第一个石英晶体谐振器问世以来，它作为稳定的频率源，被广泛应用电子、通讯、
9、军事等方面。随着社会进步,数字技术的高速发展，石英晶体谐振器的生产技术在朝着小型化、片式化、高精度和高稳定化、低噪声、高频化、低功耗、启动快等方向发展，并且石英晶体谐振器应用领域将更加广泛，需求量也将越来越大。作为一个电子元件，石英晶体谐振器常被用作频率稳定和选择的参考标准。作为最广泛的频率控制产品之一，石英晶体谐振器是利用压电效应来提供稳定的参考频率的。总之，在现代电子系统和设备以及精密时频计量等必需频率控制和管理的领域中，种类繁多的各种晶振已获得广泛应用，并占有素称“心脏”的显要地位2。然而，石英晶体谐振器上的电极设计对它的性能有着关键的影响，尤其是电极的位置、厚度、尺寸、形状、材质等，这
10、些因素都对石英晶体谐振器的电路参数有着直接影响。除此之外也有一些研究人员从外界因素如温度、重力、加速度、电场、磁场等方面来分析其对谐振器的影响，所有这些因素都会影响到谐振器的品质。虽然如此，但之前的研究都没有考虑电极位置对谐振器品质造成的影响，我们知道，近年来，为了获取更高更精确的谐振频率，石英晶体谐振器的尺寸越来越小，市场对石英晶体谐振器的品质要求也越来越高，这就要求我们更加全面的分析每个因素对谐振器品质的影响，故而我们有必要把电极位置带来的影响也考虑进去，而当今对于这方面的研究还是相对较少的。所以，在这个背景下，我们有必要对不对称电极石英晶体板振动效应进行研究。12石英晶体谐振器的发展史及
11、研究现状石英谐振器问世之前，电子产品主要用LC制作振荡器，其频率稳定度只能达到410量级，远不能满足人们的需要。自1880年CURIE兄弟发现压电效应起，揭开了人类利用“石英稳频”的序幕。41年后（1921年）英国人CADY用X切50KHZ晶体制成了世界上第一台晶体振荡器，频率稳定度为510量级，比LC振荡器提不对称电极的石英晶体板振动效应2高了一个数量级，将其应用于无线电广播，播出了当时稳定度最高的无线电信号，引起了强烈反响。1927年石英钟问世，当时把它作为“一级频率标准”，科学家依此发现了地球自转的不均匀性，结束了以地球自转为基础的“地球时钟”之历史使命。石英晶体谐振器的技术水平决定了石
12、英晶体振荡器的水平。科技工作者为提高石英谐振器的技术性能作了大量的工作。1934年德国的BECHMAN、美国的WILLARD和日本的KOGA几乎同时发现了具有优良温度频率特性的AT、BT切石英晶体谐振器。1937年后又相继研制出了CT、DT、ET、FT切石英谐振器。1940年MASON发现了GT切小温度系数谐振器，这就为研制高稳定度的晶体振荡器打下了基础，用它制作的晶体振荡器其频率稳定度达810量级而成为第二代“一级时间频率标准”。1952年美国贝尔实验室WARNER研制成功AT切五次泛音的5MHZ和25MHZ高精度石英谐振器，其Q值大，用它制作的高稳晶体振荡器频率稳定度达1010以上,是晶体
13、振荡器发展史上的又一个里程碑。1961年至1974年，LAGOSEC和HOLLAND等研制出了双转角IT、PT、FC、SC切谐振器。SC切谐振器具有应力、温度双重补偿的优良性能，为研制高稳定度的晶体振荡器提供了可靠的物质保障。近年来法国BESANCON利用严密的工艺制作了无电极式谐振器BVA石英谐振器，它不存在电极膜应力老化影响，降低了表面损耗，故使Q值更高，用AT切BVA制作的高稳晶体振荡器其频率稳定度达141045/秒、老化率为12105/天。用SC切BVA制作的高稳晶体振荡器其频率稳定度会更高。这类晶振的频率秒级稳定度可达1410/秒、老化率达12105/天，这个指标已非常接近原子钟的水
14、平。可以说SC切BVA石英谐振器是当今世界上最优良的石英谐振器，它标志着晶体振荡器发展史上的第三个里程碑3。对石英晶体板上金属电极的研究经历了由浅入深，由简单到复杂的过程。在最初的理论研究中，我们分析石英晶体板的自由振动模型，接着到后来的完全覆盖电极石英晶体板模型和部分覆盖电极（对称）石英晶体板模型，直至本文研究的不对称电极的石英晶体板模型的振动效应。由此可以看出人们越来越重视电极对石英晶体板振动效应的影响。通过分析我们可以发现之前所得出的结论是存在缺陷的，因为在实际的生产操作中，电极并不是完全对称的覆盖在石英晶体板上。显然若按照之前的理论研究，这样的结果是不精准的，因为它没有考虑到实际生产过
15、程中电极有可能会产生偏移的情况。为了描述谐振器中不对称电极石英晶体板的振动效应，本文从不3覆盖电极石英晶体板的振动效应着手来得到精确解，接下来分析完全覆盖电极石英晶体板的振动效应，然后研究不对称电极的石英晶体板的振动效应，本文运用MINDLIN的一阶板理论推导计算得到理论计算公式，然后通过MATLAB计算机辅助软件编程计算所推导出的公式、方程，并把所得数据绘制成图，画出相对应的电容比与振动频率的关系曲线，最后我们依据使得电路参数符合石英晶体谐振器高品质的标准分析得出结论，由此研究分析所得的结论更接近实际，从而指导更高品质石英晶体谐振器的设计。不对称电极的石英晶体板振动效应42MINDLIN的一
16、阶板理论石英晶体谐振器的分析方法建立在各向异性压电板的高频振动分析的基础上，常用的理论是我们所熟知的MINDLIN板理论。MINDLIN通过将位移和电势展开为厚度坐标的幂级数，并保留此级数展开式前几项的方法，将传统的三维压电方程简化为二维3。本文的研究工作是利用MINDLIN一阶板理论分析不对称电极石英晶体板振动效应，并由此计算谐振器的电路参数。所以对MINDLIN一阶板方程进行推导，并给出针对AT切石英晶体的MINDLIN一阶板方程组是很有必要的。21三维运动方程下面是参考文献推导MINDLIN一阶板方程的方法3，三维运动方程可以归纳为以下三组场量方程0,IIJIIJDUT（21）上式中的,
17、IJJITUD分别为应力，石英板的密度,机械位移和电位移分量。本构方程,KIKKLIKLIKKIJKLIJKLIJESEDEESCT（22）上式中的KLS和KE分别为应变与电场分量，IJKIJKLEC,和IJ分别为弹性常数，压电常数和介电常数。应变位移关系与电场电势关系,21,IIIJJIIJEUUS（23）上式中的为电势。为了在接下来计算和表示的方便，我们把应力和应变分量可以表示成缩略下标的形式,6,5,4,2,3,2,1,6,1,PJISPJISSPTTIJIJPIJP当当（24）缩略下标与完全下标的关系如表21所示。表21缩略下标与完全下标的转换关系5IJ或KL11223323或3231
18、或1312或21P或Q123456将缩略下标同时应用到弹性与介电常数的表达式，我们有,IKLIPIJKLPQEECC（25）这样，本构方程（22）就变成,KIKQIQIKKPQPQPESEDEESCT（26）22MINDLIN的二维方程组方程（21）（23）包括22个变量与22个方程，构成了一套封闭的偏微分运动方程组，所以从理论上来讲，压电体中的三维运动方程组加上边界条件可以精确地描述晶体谐振器的运动规律，但是由于运动方程及边界条件的复杂性，对三维运动方程的求解是非常困难的。因此不管是利用解析法还是有限元数值法，以近似的二维晶片方程为基础来研究石英晶体谐振器，都是一个实用而有效的方法。本文将对
19、考虑压电效应的MINDLIN板理论进行回顾。我们研究石英晶体板振动时采用如图21所示的坐标系。这个晶体板的四边为自由的，厚度为2B，长度为2A，宽度为2C，我们只考虑晶体板在二维状态下振动时沿X1方向传播的情况，即我们假定位移与宽度X3坐标没有关系，这个假定对于一些器件来说是正确的，因为宽度比波长大很多，所以它对位移影响不大4。图21石英晶体板示意图在如图21所示的石英晶体板中，将位移3,2,1JUJ与电势展开为厚度坐标2X的幂级数X1X2X32B2C2A不对称电极的石英晶体板振动效应6,02313210231321NNNNNNIIXTXXTXXXXTXXUTXXXU（27）上式中的1,2,3
20、0,1,2,3NJUJNKN和只是31,XX和时间T的函数，而与2X无关。由三维运动方程变分形式可推导出MINDLIN高阶板的二维方程组。场量方程0,12,12,NNNIIMMJMNNJNJNIIJDNDDUBFNTT（28）上式中,1,2,31,2,3NNIJITIJDI和分别为N阶应力，电位移分量，为石英晶体密度。其中012,12222222222为奇数时当为偶数时当，NMNMNMBDXXBDXDTXFDXDXDDXTXTNMBBNMMNBBNNBBJNNJBBINNIBBIJNNIJ（29）高阶本构关系,00MMJIJMJKIJKMNNIMMKKIJMKLIJKLMNNIJESEBDEE
21、SCBT（210）上式中MKLS和MKE分别是M阶应变和电场分量。应变位移关系与电场电势关系1,12112,1212,NINININIJNJINJINIJNIJNEUUNUUS（211）上式中IJ为KRONECKER符号。723对应于AT切石英晶体的一阶板方程由于本文是利用MINDLIN的一阶板方程来分析AT切石英晶体谐振器的问题，所以还需要对22节中得出的MINDLIN二维方程组中的高阶位移与电势项进行截断，截断的结果将得出修正的材料常数。本节将给出MINDLIN的一阶板方程组以及各个修正的材料常数2。在（28）式中，我们取1,0N，可以得到0,0,32,2220213,311,1203,3
22、01,113220213,311,10203,301,1BDBDBDDDDDDUBTXTTTUBTTTBBJBBJJJJJBBJJJ（212）如果对应于自由面的边界条件022BTBTJJ以及短路的边界条件022BDBD，（212）式又可具体表示成00,32,32,2,2,20213,311,103,301,11330413,311,51130613,511,10303,301,50203,401,60103,501,1DDDDDUBTTTUBTTTUBTTUBTTUBTT（213）略去应变与电场分量中高于1阶的项，留下1010,IIIJIJEESS，我们有2,2000000JIJQIQIKKP
23、QPQPESEBDEESCBT（214）32,3211311131JIJQIQIKKPQPQPESEBDEESCBT（215）考虑到AT切石英晶体的材料常数，04645363526251615CCCCCCCC，034333231242322211615EEEEEEEEEE，01312，并且加入修正系数2,2000000JJIJQIQIIKPKPQQPPQPESEBDEESCBT（216）其中不对称电极的石英晶体板振动效应85,3,1,16,4,2,32QPQPP（217）我们就有对高阶位移和电势项进行截断以后的应力位移表达式32,32,3232,32,322,2,22,2,2,2,213,33
24、11,313,13531313,2311,313,12531211,1113,31311,11131113,3511,313,15531511,1313,33311,13131311,1113,31311,11131103,3313221101,23601,303,1350303,2312221101,22601,303,12520201,111303,21403,31301,1110103,361261101,266601,303,16560603,351251101,256601,303,1550501,141303,244403,34301,14140401,131303,234403,
25、33301,1310301,111303,214403,31301,11101UUEBDUUEBDUEUEBDEUUCBTEUCUCBTEUCUCBTUUEUUEBDUUEUUEBDUUEUEUEBDEEUUCUUCBTEEUUCUUCBTEUUCUCUCBTEUUCUCUCBTEUUCUCUCBT（218）如果不考虑3X方向，即位移与电势对3X的偏导数为零，则（218）式可以简化为932,32,3232,32,322,2,22,2,2,2,211,33531311,32531211,1111,11131111,35531511,1311,13131311,1111,1113111322110
26、1,23601,3350312221101,22601,32520201,11131401,111011261101,266601,3656061251101,256601,3550501,141344401,14140401,131334401,1310301,111314401,11101UEBDUEBDUEBDUCBTEUCBTEUCBTUUEUEBDUUEUEBDUEUEBDEUUCUCBTEUUCUCBTEUCUCBTEUCUCBTEUCUCBT（219）其中的修正常数为,3,2,3,1,4,2,1,5,3,1,4,3,1,442141111222121111666655544144
27、112212211666644442222CECEICECEEICECEEICECEEQPCCCCCQPCCCCCQPCCCCCIIIIIIIIIQPPQPQQPPQPQQPPQPQ（220）不对称电极的石英晶体板振动效应1024本章小结本文的研究工作是利用MINDLIN一阶板理论分析不对称电极石英晶体板振动效应，并由此计算谐振器的一个重要电路参数电容比。所以对MINDLIN一阶板方程进行推导，并给出针对AT切石英晶体的MINDLIN一阶板方程组是很有必要的。本章给出了考虑压电效应的MINDLIN一阶板方程组，同时也给出了方程组中的各个修正的材料常数及修正系数。这些方程组（212）（213），
28、（219）（220）是本文研究工作的基础，在之后的各章中亦将一直被引用。113石英晶体板的自由振动本章将对考虑压电效应的AT切石英晶体板的自由振动进行分析，从而得出考虑压电效应的电容比表达式。由于AT切石英晶体板以厚度剪切作为它的工作模态，所以从本章起将只分析厚度剪切模态11U和与之相耦合的弯曲模态02U，宽度拉伸模态03U以及一阶电势1。31考虑压电效应的MINDLIN一阶板方程组首先我们进行直行波假设，将位移和电势的具体形式表示成0211032113111664122SIN,SIN,COS,COSITITITITUAXEUAXEAUXEBCAXEB（31）考虑压电效应的MINDLIN一阶板
29、的本构关系可以表示如下000115553,16562,11250001166653,16662,11260001122253,1262,1122213111111,1,11312B,2B,2B,2,323TCUCUUETCUCUUEDEUEUUTBCUEDBE11111,1,1U（32）上式中的修正材料常数与修正因数为6,2,12,2244214111144141411114441141111PCECECEECCCCCP（33）考虑压电效应的MINDLIN一阶板的运动方程可以表示如下不对称电极的石英晶体板振动效应120,32,2,20211,11130611,10301,50201,6DDUB
30、TTUBTUBT（34）为了方便计算我们将频率和波数进行如下归一化6600,22CBB35观察方程组（34），要求解它我们必须得到05,1T，06,1T，11,1T，11,1D,由一阶本构关系（32）可得000115,1553,116562,111,125,1000116,16653,116662,111,126,113111,1111,11,1113111,1111,11,112B,2B,2,32,3TCUCUUETCUCUUETBCUEDBEU（36）联立（34）、（36）我们可以得到以位移和电势表示的运动方程03,3,111,1112221101,22601,32522111,11111
31、111,111261101,266601,35662111,1110311,2511,1011,2566011,3550211,26611,1011,26626011,36UUEUEBUEUEEUUCUCBUCUEUUCUCUEUUCUC56（37）将（31）代入（36）并进行如（35）式所示的归一化，最终我们有22226656662612346666666622222565556251234666666662222665666261112366666666662212232430,43232320,12332CCCEZAZAZAZACCCCCCCEZAZAZAZACCCCCCCECZAZAZ
32、ACCCCC2114662222266261252261136622114220,23330EZACCEZAEZAEEZACZA3813由于振幅1234,AAAA有非零解，这就要求（38）式的系数矩阵的行列式必须等于零0323332321342323234232122226611226621126252622266112266262666626611665666662266256656226655266562266266666266562226666ZCCZEEZEZEZCECECCZCCZCCZCCZCEZCCZCCZCCZCEZCCZCCZCC39通过上面的计算求解，在1X方向上的位移及电
33、势解的展开形式402411140342114114311416641122SIN,2SIN,21COS,21COS2ITIIIIITIIIIITIIIIITIIIZUAXEBZUAXEBZUAXEBBCZAXEBB（310）其中的4,3,2,1,321IIII满足下式4,3,2,1,323434321232322321243342241122266112266262266252266264342412666626611665666666656226655266566666266562226666IAAAAAAZCECEZCEZCEAAAAAACCZCCZCCZCCZCCZCCZCCZCCZCC
34、ZCCIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII（311）将方程（310）代入本构方程（32），化简后我们有不对称电极的石英晶体板振动效应14406666562666166632614122461414066555265616563251412222COS2COS,222COS2ITIIIIIIIITIIIIITIIIIIIIITCZTEZCCCEXABZEHXABCZTEZCCCEXABEI41414166111311141224141416611131114122COS,2SIN32SIN,32SIN323IIIIITIIIIIITIIIIITIIIIIZXABCZBTECEZ
35、XABZBEJXABCZBDEEZXABBE4141SIN2ITIIIIZKXAB（312）我们知道石英晶体板自由振动的边界条件为,0111110506AXDTTT当（313）将（312）式代入边界条件（313），考虑到41,2,3,4IAI有非零解，则如下行列式的值等于零02SIN2SIN2SIN2SIN2SIN2SIN2SIN2SIN2COS2COS2COS2COS2COS2COS2COS2COS44332211443322114433221144332211BAZKBAZKBAZKBAZKBAZJBAZJBAZJBAZJBAZIBAZIBAZIBAZIBAZHBAZHBAZHBAZH（3
36、14）通过（314）的判断，我们可以得出石英晶体板振动的频率解。32本章小结透过本章石英晶体板的自由振动，可以判断石英晶体板的确是以厚度剪切作为工作模态，我们了解到AT切石英晶体板以厚度剪切作为它的工作模态下的振动状况，为接下来分析覆盖电极层的石英晶体板受迫振动提供了参考。154完全覆盖电极的石英晶体板的振动分析在石英晶体板的两端覆盖电极并加上交变电压，则晶体板将在基频附近以厚度剪切模态产生振动。振动的位移分量以及电势分量的求解与第3章分析自由振动的方法类似。在受迫振动的情况下，可以计算石英晶体谐振器的动态电容，并得到电容比，这是石英晶体谐振器的一个重要电学参数。41受迫振动下的MINDLIN
37、一阶板方程组完全覆盖电极的AT切石英晶体板的尺寸与坐标如图41所示，石英晶体板的长度为2A，厚度为2B，宽度为2C，其中黑色部分为石英晶体板表面覆盖的电极层，电极厚度B。图41完全覆盖电极层的AT切石英晶体板示意图假设板的两端加上了交变电压，我们有0220211,1BDBDBDD（41）对应于开路的边界条件,2BXTB当（42）在AT切石英晶体板表面覆盖电极的部分3232226265252EESESED（43）在电极上假设电势是均匀分布的，位移与电势对于31,XX的偏导数为零，所以（43）式可以简化为2,222,1262UED（44）现在的电场方程为02,222,1262,2,UEDDII（4
38、5）X1X2X32B2C2A不对称电极的石英晶体板振动效应16由（45）式可以得到,1222212622TADTBXTAUE（46）对应于边界条件（42），我们有1126221126221212121UEBUUEBBTA（47）根据（46）和（47）式，我们有222211262222BUETABDBD（48）如果两端电极加的是振幅恒定的交流电，即0TIET（49）则（48）式可以进一步表示为22022112622TIEBUEBDBD（410）根据（410）式，（41）式可以写为02202211260211,1TIEUBEDD（411）MINDLIN一阶板的应力运动方程为022,3132,12,
39、1202211260211,11130611,10301,50201,6TIEUBEDDURBTTURBTURBT（412）上式中的2BRB为电极与石英晶体的质量比,将本构关系式（36）代入（412）式，我们就有以位移和电势表示的运动方程0333,313,1,1022311262111,1112221101,22601,32522111,11111111,111261101,266601,35662111,1110311,2511,1011,2566011,3550211,26611,1011,26626011,36TI56EBUEBUUEUEBUEUREEUUCUCBUCUREUUCUCUR
40、EUUCUC（413）17假设位移与电势的形式为0211032113111664122SIN,SIN,COS,COSITITITITUAXEUAXEAUXEBCAXEB（414）它的分析方法与过程和前一章分析石英晶体板的自由振动完全一致，最后可以得出位移与应力的通解形式402411140342114114311416641122SIN,2SIN,21COS,21COS2ITIIIIITIIIIITIIIIITIIIZUAXEBZUAXEBZUAXEBBCZAXEBB（415）406666562666166632614122461414066555265616563251412222COS2CO
41、S,222COS2ITIIIIIIIITIIIIITIIIIIIIITCZTEZCCCEXABZEHXABCZTEZCCCEXABEI41414166111311141224141COS,2SIN32SIN,32IIIIITIIIIIITIIIIZXABCZBTECEZXABZBEJXAB（416）4166111311141224141SIN32SIN32ITIIIIIITIIIICZBDEEZXABZBEKXAB现在来考虑方程组（413）的特解，对于完全覆盖电极的情况，我们假设激励形不对称电极的石英晶体板振动效应18式为0TIE（417）则相应的位移与电势的形式表示为,02226610111
42、TITIEBCEBU（418）其中上式中的21,BB为振幅。将（418）式代入（413）并进行如（35）归一化处理，我们可以得到如下表达式6222226126622222266261626666221,1213120EBCBBCERBBCC（419）通过（419）式就可以求出振幅21,BB的值。将（418）式代入MINDLIN一阶板的本构方程，得到应力与电位移分量的特解0,0,2,2111102226626166660602226625156605DTEBCEBCBTEBCEBCBTTITI（420）综合以上得出的通解与特解形式，最终我们有应力与电位移分量的解40666614666612621
43、2240665146561252122111COS2,2COS2,2SIN32ITIIIIITIIIIITIIZCTEHXABCBEBBZCTEIXABCBEBBZBTEJXB441411141,SIN32IIITIIIIAZBDEKXAB（421）满足边界条件,0111110506AXDTTT当（422）我们有19312412343124123431241234COSCOSCOSCOS2222COSCOSCOSCOS2222SINSINSINSIN2222ZZZZHAHAHAHABBBBZZZZIAIAIAIABBBBZZZZJAJAJAJABBBB414243443124123466666
44、61262022666561252022SINSINSINSIN22222200AAAAZZZZKAKAKAKABBBBCBCBEBCBCBEB（423）通过上式可以求出4,1,2,3,4IAI的值。于是我们得出位移与电势的解402041114030421141014311141066412122SIN,2SIN,2COS,2COS2ITIIIIITIIIIITIIIIITIIIZUEAXBZUEAXBZUEAXBBBBCZEAXBBBB（424）根据（424）式位移与电势的解，最后我们可以得到电位移分量的表达式4020252261263266222411226126622222COS22ITIIIIIIIZDEEEZECAXBBEBCB（425）由此得到电量表达式为020024,ITASBBDDAQCQEDX不对称电极的石英晶体板振动效应20402522612632662224112261266222122SIN2IIIIIIIIZQEEZECAXZBAEBCB426所以我
