1、第 1 页 共 12 页初二年级几何证明例题精讲【例 1】 已知：如图 6， 、 分别是以 、 为斜边的直角三BCEADBEAD角形，且 ， 是等边三角形求证： 是等边三角形BEAD C证明：BCE=90ACD=90 在ECB 和ACD 中BCE=BCA+ACE BE=ADACD=ACE+ECD BCE=ACDACB=ECD EC=CDECD 为等边三角形 ECBDCA( HL )ECD=60 CD=EC BC=AC即 ACB=60 ACB=60 是等边三角形ABC【例 2】 、如图，已知 BC AB，AD=DC 。BD 平分ABC 。求证：A+C=180.证明：在 BC 上截取 BE=BA,
2、连接 DE, A= BED AD= DEBD 平分BAC AD=DCABD = EBD DE=DC在ABD 和EBD 中 得 DEC=CAB=EB BED+DEC=180ABD = EBD A+C=180BD=BDABD EBD（SAS）1、线段的数量关系: 通过添加辅助线构造全等三角形转移线段到一个三角形中证明线段相等。倍长中线【例. 3】 如图，已知在 中， ， ， 平分 ，交ABC903BADBC于点 .BCD第 3 题D CBA图 6DCBEADCBAE第 2 页 共 12 页求证： 2BDC证明：延长 DC 到 E，使得 CE=CD,联结 AE ADE=60 AD=AEC=90 AD
3、E 为等边三角形ACCD AD=DECD=CE DB=DAAD=AE BD=DEB=30 C=90 BD=2DCBAC=60AD 平分BACBAD=30 DB=DA ADE=60【例 4.】 如图， 是 的边 上的点，且 ， ， 是DABCCDABBADE的中线。求证： 。AB2E证明：延长 AE 到点 F,使得 EF=AE 联结 DF在ABE 和FDE 中 ADC=ABD+BDABE =DE ABE=FDEAEB= FED ADC=ADB+FDEAE=FE 即 ADC = ADFABE FDE（SAS ） 在 ADF 和ADC 中AB=FD ABE=FDE AD=ADAB=DC ADF =
4、ADC FD = DC DF =DCADC= ABD+BAD ADF ADC(SAS) AF=ACADBAC=2AE【变式练习】 、 如图，ABC 中，BD=DC=AC，E 是 DC 的中点，求证：AD 平分BAE.证明：延长 AE 到点 F,使得 EF=AE 联结 DF在ACE 和FDE 中 ADB=ACD+CDACE =DE ACE=FDEAEC= FED ADB=ADC+FDEAE=FE 即 ADB = ADFED CBAEFF第 3 页 共 12 页ACE FDE（SAS ） 在 ADF 和ADB 中AC=FD ACE=FDE AD=ADDB=AC ADF = ADBDB = DF D
5、 F =DBADB= ACD+CAD ADF ADB(SAS) AC=DC FAD=BAD CAD= CDA AD 平分DAE【小结】熟悉法一、法三“倍长中线”的辅助线包含的基本图形“八字型”和“倍长中线”两种基本操作方法，倍长中线，或者倍长过中点的一条线段以后的对于解决含有过中点线段有很好的效果。【变式练习】：如图所示，AD 是ABC 的中线， BE 交 AC 于 E，交 AD 于 F，且 AC=BF。 求证：AE=EF。证明：延长 AD 至点 G，使得 DG=AD，联结 BD在ADC 和GDB 中 BG= BFAD=GD BFG=BGFADC= GDB CAD =BGDBD=DC BFG=
6、 CADADC GDB（SAS） BFG=AFE得 AC= BG CAD =BGD AFE=FAEAC=BF AE =AF、借助角平分线造全等【例 5】如图，已知在ABC 中，B=60，ABC 的角平分线 AD,CE 相交于点O，求证：OE=OD证明：在 AC 上截取 AF=AE ,联结 OF 在AOE 和AOF 中在ABC 中，B+BAD+ACB=180 AE=AFG第 4 页 共 12 页OED CBAB =60 EAO=FAOBAD+ACB=120 AO = AOAD 平分BAC AOE AOF（ASA） 在COD 和 COF 中BAC= 2OAC AOE=AOE OE=OF DCO =
7、FCO CE 平分ACB AOE=60 CO=COACB= 2ACO AOE+AOE+FOC=180 DOC=FOC2OAC+2ACO=120 FOC=6O COD COF（ASA） OAC+ACO=60 AOE=COD OD =OFAOE=OAC+ACO COD=60 OE=OFAOE=60 OE=OD【例 6】 如图，ABC 中， BAC=90 度，AB=AC ，BD 是ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过 C 点的直线于 E，直线 CE 交 BA 的延长线于 F求证：BD=2CE证明：延长 BA，CE 交于点 F，在 BEF 和 BEC 中，1= 2， BE=BE， BEF=BEC=
8、90，BEFBEC，EF=EC，从而 CF=2CE。又1+ F=3+F=90，故1=3。在 ABD 和 ACF 中，1=3，AB=AC，BAD=CAF=90，DECABFF第 5 页 共 12 页FEDCBAABDACF，BD=CF，BD=2CE。【小结】解题后的思考：_x0001_ 于角平行线的问题，常用两种辅助线；见中点即联想到中位线。 旋转【例 7】正方形 ABCD 中，E 为 BC 上的一点，F 为 CD 上的一点，BE+DF=EF，求EAF 的度数.GAE=FAE延长 EB 到点 G，使得 BG =BE DAF+BAF=90先证明ADF ABE GAB =FAD可得到 AF =AG
9、DAF = GAB GAF = 90EF =BE +DF EAF = 45 EF = BE+BG =GEGAE FAE 【例 8】. 将一张正方形纸片按如图的方式折叠， 为折痕，则 的,BCDCD大小为_90；【例 9】 如图，已知ABC=DBE=90，DB=BE，AB=BC (1)求证：AD=CE，ADCE (2)若DBE 绕点 B 旋转到ABC 外部，其他条件不变，则(1)中结论是否仍成立 ?请证明提示：ABC=DBE =90 ECB+AHB=90G第 6 页 共 12 页FED CBAABC-DBC=DBE -DBC ECB+CHF=90即ABD=CBE HFC=90ABD CBE AD
10、 CE H AD=CEBAD=ECBBAD+AHB=90【例 10】.如图在 RtABC 中,AB=AC, BAC=90,O 为 BC 中点. (1)写出 O 点到ABC 三个顶点 A、B、C 的距离关系( 不要求证明) (2)如果 M、N 分别在线段 AB、AC 上移动,在移动过程中保持 AN=BM,请判 断O M N 的形状,并证明你的结论.联结 OA则OAC 和OABD 都为等腰直角三角形OA=0B=0CANO BMO（NOA=OBM）可得 ON=OM NOA=MOB可得到NOM= AOB=90【例 11】如图，已知 为等边三角形， 、 、 分别在边 、 、ABCDEFBCA上，且 也是
11、等边三角形 （1）除已知相等的边以外，请你猜想还有ABDEF哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的；（2）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？写出变化过程AE=BF =CD AF=BD =CE等边三角形 也是等边三角形ABCEF得到EFD=60 ABC=60AFD=FBD+FDBAFD=AFE+EFDAFE=BDFAEF BFD同理：AEF CDE、截长补短第 7 页 共 12 页EDCBA【例 12】 、如图， 中，AB=2AC，AD 平分 ，且 AD=BD，求证：CDACABCBAC【例 13】如图，ACBD，EA,EB 分别平分CAB,DBA，CD 过点 E，求证;ABAC+B
12、D【例 14】如图，已知在 内， ， ，P，Q 分别在ABC0604CBC，CA 上，并且 AP，BQ 分别是 ， 的角平分线。求证：ABBQ+AQ=AB+BP证明：如图（1），过 O 作 ODBC 交 AB 于 D，ADO=ABC=1806040=80，又AQO=C+QBC=80，ADO=AQO，又DAO=QAO，OA=AO，ADOAQO，OD=OQ，AD=AQ，又ODBP，PBO=DOB，又PBO=DBO，DBO=DOB，BD=OD，又BPA=C+PAC=70，BOP=OBA+BAO=70，CDBAPQCBA第 8 页 共 12 页BOP=BPO，BP=OB，AB+BP=AD+DB+BP=
13、AQ+OQ+BO=AQ+BQ。 【例 15】 如图，在ABC 中，ABC=60 ，AD 、CE 分别平分BAC、ACB，求证： AC=AE+CD方法同【例 5】【例 16】已知：1=2，CD=DE，EF/AB ，求证：EF=AC延长 FD 至点 G，联结 CG先证明 FDE GDC 得 EFD = CGD FE = CG，EF/AB EFD =1CGD=11= 2，2= CGD AC= CG FE = CGEF=AC【例 17】 如图， 为等边三角形，点 分别在 上，且ABC,MN,BCAG第 9 页 共 12 页， 与 交于 点。BMCNABQ求 的度数。先证明 ABM BCN (SAS)可
14、得CBN = BAMAQN=ABQ+ BAQBAM= CBN AQN=ABQ+ CBN即 AQN=ABC = 60（4）过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”【例 18】：如图，ABC 中，AB=AC，E 是 AB 上一点，F 是 AC 延长线上一点，连 EF 交 BC 于 D，若 EB=CF。求证：DE=DF。证明：过 E 作 EG/AC 交 BC 于 G，则EGB=ACB，又 AB=AC，B=ACB，B=EGB，EGD=DCF，EB=EG=CF，EDB=CDF，DGEDCF，DE=DF。. 【例 19】已知：如图，在四边形 ABCD
15、 中，ADBC，BC = DC，CF 平分BCD，DF AB，BF 的延长线交 DC 于点 E. 求证：（1）BFCDFC；（2）AD = DE.联结 BD证明：CF 平分BCD ADB=CDBBCF=DCF DFAB在BCF 和DCF 中 ABD=BDF BC=CD BF=DFBCF= DCF FDB=FBDEFDAB CG第 10 页 共 12 页CF=CF ABD=FBDBCF DCF（SAS ） 在 ABD 和EBD 中BF=DF ABD=EBD(2) ADBC BD=BDADB = CBD ADB= EDBBC = DC ABD EBD （ASA）CBD=CDB AD = DE【课堂练习】1如图，已知 AE 平分BAC，BE 上 AE 于 E，EDAC，BAE=36，那么BED= 126 延 长 AE 交 AC 于 F2如图：BEAC，CFAB，BM=AC ，CN=AB。求证：（1）AM=AN；（ 2）AM AN。【试卷上面的已讲】 FB CAMNE1 234
