1、2018 年浙江专升本高数考试真题答案1、 选择题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分。1、 设 ，则 在 内（ C ）0,sin)(xxf )(xf1,A、有可去间断点 B、连续点 C、有跳跃间断点 D、有第二间断点解析： sinlm)(li,lim)(li 0000 xffxxx，但是又存在， 是跳跃间断点2、 当 时， 是 的（ D ）无穷小cossin2A、低阶 B、等阶 C、同阶 D、高阶解析： 高阶无穷小02sinlmsiclimil 0020 xxx xxx 3、 设 二阶可导，在 处 ， ，则 在 处（ )(f )(0f)(li00fx)(f0xB ）A、取得极小
2、值 B、取得极大值 C、不是极值 D、 是拐点)(0,f解析： ，则其 ，000 )(lim)(,)(lim00 xfxfxf xx ,00xff为驻点，又 是极大值点。0)(f4、 已知 在 上连续，则下列说法不正确的是（ B ）)xfba,A、已知 ，则在 上，bad0(2ba,0)(xfB、 ，其中xxfftf)() ba,2,C、 ，则 内有 使得(b,)(fD、 在 上有最大值 和最小值 ，则)xfya,MmbaabMdxf)()()(解析：A. 由定积分几何意义可知， ， 为 在 上与 轴围成0)(2xfdxfba22,的面积，该面积为 0 ，事实上若 满足)(2f )()(0)(
3、 bxafdxfba 非 负连 续B. )(22ffxC. 有零点定理知结论正确D. 由积分估值定理可知， ， ，bax,Mxfm)(则 )()( abdMdfmdx bababaa 5、下列级数绝对收敛的是（ C ）A、 B、 C、 D、1)(n11)ln(139cosn 1n解析：A. ，由 发散 发散limn1nB. ，由 发散 发散01lim)l(i)1ln(i nn 1n1)ln(C. ，而 =1，由 收敛 收敛9cos2223219lin123n92n收敛9cos2nD. 发散1n2、 填空题6、 axxe10)si(lim解析： axaxaxaxxx eeexx 1cosinli
4、m)sin1l(im)sin1l(010 00i)in(li7、 ，则3si2)3li0fx 23)(f解析： 3)(2)3(lim2sin)3()lim00 fxffxfxx8、 若常数 使得 ，则ba, 5)cosl0bae9解析： (li)(csil 2020 aeexxx所以根据洛必达法则可知： 1,2oslim2)(cosli00 bxbxx 9,519、 设 ，则ttyarcn)1l(1tdxy解析： ，22)(1ttdx1tdxy10、 是 所确定的隐函数，则)(fy02y 322yx解析：方程两边同时求导，得： ， ，0yx方程 同时求导，得： ，将 带入，02yx)(12 y
5、x则得， ，)(12y 3222yxydx11、 求 的单增区间是2x)1,(解析： 22)()1(xy令 ，则 ，0x112、 求已知 ，则 Cedfx2)( )(lim10nkfnk1e解析： )()()(1lim1010100 2Cdxffnkfnk13、 dxe2)(ln1解析： 1lnl)(ln1)(l22 eee xdx14、 由 ： 围成的图形面积为 2xy, 34解析： )31()(2112xdA15、 常系数齐次线性微分方程 的通解为 （ 为任意常0yxeCy)(2121数）解析：特征方程： ，特征根：12r21r通解为 （ 为任意常数）xeCy)(1三、计算题 （本大题共
6、8 小题，其中 16-19 小题每小题 7 分，20-23 小题每小题 8 分，共60 分）16、 求 )sin1l(im0xex解析： 2limsn2li)si1ln(i)il(i 00200 xxexx17、 设 ，求 在 处的微分xys1)y解析： x)i(snllnyxxsi1co)il(1 dx)in(isinldy将 代入上式，得微分xdy18、 求 502cos1x解析： 50|sin|x 43542320 sin)sinsin)sisin xdxxdxxd（ 10|co|co|co 54 19、 求 xart解析： ，2t， 则令 tdtanrcdtanrcanrc2t221d
7、ttt22anrcttt）（ 221ctanrarcxxxtt则20、 d1- 4cos5）（解析： 为奇函数，4x该 式 不 代 入 计 算4552txt， 则令 tdx21dtt)(4513该 式 128（6|)351t（21、 已知 在 处可导，求0),ln(2xabxf ba,解析：0)(lim,)(li 00)(00bbxfxffxx处 连 续在 处 可 导在 )(li)(li0ffxx axx 01n02lim)(li0f2a22、 求过点 且平行于 又与直线 相交的直线方程。)1,(A073zyxtzytx231直线过点 ，因为直线平行于平面，所以 ， ，),2(nS)1,(设两
8、条直线的交点 ，所以 ，)2,31ttP,(tPA所以 ， ， ，所以 ，023t4)8,7()754所以直线方程为 。54zyx23、讨论 极值和拐点131)(23xf解析： x（1 ） 的极值)(f342x令 ，则0)(f,12列表如下： x），（ 1 ），（ 33 ），（ 所以极大值为 ，极小值37123)1(f 1)3(f（2 ） 的拐点)(xf令 则4 0)(xf列表如下：拐点为 。35,24、 综合题（本大题共 3 大题，每小题 10 分，共 30 分）24、 利用 ，nnxx0)1(（1 ） 将函数 展开成 的幂级数l（2 ） 将函数 展开成 的幂级数)3(x2解析：（1）令 ，
9、 ，当 时，)1ln(fxf1()1,(nnxx0)1()()()0()( 1000 dtdtfdtfxf nnx当 时，级数发散；当 时，级数收敛，故收敛域为 。11,（2 ） )521l()52(l)2(5ln)3l( xxx0115lnn01)(lnn)(xf+ 0 - 0 +极大值 极小值 x），（ 22 ），（ 2)(f- 0 +x凸 拐点 凹其中， 。73152xx25、 在 上导函数连续， ，已知曲线 与直线 及)(f， 0)(f )(xf )1(,tx=1（ ）及 轴所围成的去边梯形绕 轴所围成的旋转体体积是该曲边梯形的 倍，xtx 求 )(f解析： ，tdfS1)(dxfVt
10、)(12由题意知， ，求导得，得ttx2 )()()(12tfdxftft再求导，得 )()()( tftftf 即 ，则 ， ， ，2)(2tftfyt2yt)2(dyt， ， ， ,1tydyP)(1)(Q)32(1)(1212 Cdetydy 由 ，带入得 ，故曲线方程为 。)()(2ff 3Cyx326、 在 连续且 和 的直线与曲线交于 ，xfba,）（ )(,af）（ )(,bf )(,bxacf（证明：（1 ） 存在 )(21ff（2 ） 在 存在),(ba0解析：解法一：（1 ）过 的直线方程可设为：)(,)(,ff )(cxabfcy所以可构造函数： xfF)(所以 )(cba又因为 在 连续可导的，则 在 连续可导，xf, )(xFbca,所以根据罗尔定理可得存在 ,),(21ca0)(21使 。)()21ff（2 ）由（1 ）知 ，又 二阶可导，存在且连续，故由罗尔定理可知，)(21ff )(xf，使得 。),(,(2ba0解法二：（1 ） 考虑 在 及 上的格拉朗日中值定理有：)(xfc,， ，有 ， ，a,)2b)()(1facf)()2fcbf由于 共线，,(,)(fCfBfA则有 的斜率 与 的斜率 相等，CckA)BcfkBC)(于是有 )(21ff（2 ）与解法一（2）做法一致。
