1、与圆有关的证明及计算提优练习1. (2016 上海)已知：O 是ABC 的外接圆， ，点 D 在边 BC 上，AB AC AEBC，AEBD.(1)求证：ADCE；(2)如果点 G 在线段 DC 上(不与点 D 重合)，且 AGAD，求证：四边形 AGCE 是平行四边形第 1 题图2. (2016 沈阳)如图，在ABC 中，以 AB 为直径的O 分别与 BC，AC 相交于点D，E， BD CD，过点 D 作O 的切线交边 AC 于点 F.(1)求证：DFAC；(2)若O 的半径为 5，CDF30，求 的长(结果保留 )BD 第 2 题图3. (2016 盐城射阳县二模)如图，已知O 是ABC
2、的外接圆，ABAC ，D 是劣弧AC 上的点(不与点 A、C 重合)，延长 BD 至 E.(1)求证：AD 的延长线 DF 平分CDE；(2)若BAC30，ABC 中 BC 边上的高为 2 ，求O 的面积3第 3 题图4. (2016 南京一模)如图，AB 是O 的直径，AC 是弦，直线 EF 和O 相切于点C，ADEF，垂足为 D.(1)求证：CADBAC；(2)如图，若把直线 EF 向上移动，使得 EF 与O 相交于 G，C 两点(点 C 在点 G 的右侧)，连接 AC，AG，若题中其他条件不变，这时图中是否存在与 CAD 相等的角？若存在，找出一个这样的角，并证明；若不存在，说明理由第
3、4 题图5. (2016 南通启东市二模)如图，已知扇形 AOB 中，AOB120，弦 AB2 ，3点 M 是 上任意一点(与端点 A、B 不重合)，MEAB 于点 E，以点 M 为圆心、MEAB 长为半径作M，分别过点 A、B 作M 的切线，两切线相交于点 C.(1)求 的长；AB (2)试判断ACB 的大小是否随点 M 的运动而改变？若不变，请求出ACB 的大小；若改变，请说明理由第 5 题图6. (2016 曲靖)如图，在 RtABC 中，BAC90，O 是 AB 边上的一点，以 OA 为半径的O 与边 BC 相切于点 E.(1)若 AC5，BC13，求O 的半径(2)过点 E 作弦 E
4、FAB 于 M，连接 AF，若F2B ，求证：四边形 ACEF 是菱形第 6 题图7. (2016 呼和浩特)如图，已知 AD 是ABC 的外角EAC 的平分线，交 BC 的延长线于点 D，延长 DA 交ABC 的外接圆于点 F，连接 FB，FC .(1)求证：FBCFCB；(2)已知 FAFD12，若 AB 是ABC 外接圆的直径， FA2，求 CD 的长第 7 题图8. (2016 昆明)如图，AB 是O 的直径，BAC90，四边形 EBOC 是平行四边形，EB 交O 于点 D，连接 CD 并延长交 AB 的延长线于点 F.(1)求证：CF 是O 的切线；(2)若F30，EB 4 ，求图中
5、阴影部分的面积(结果保留根号和 )第 8 题图9. (2016 徐州模拟)如图，已知ABC 中，AB6，AC 8，点 D 是 BC 边上一动点，以 AD 为直径的O 分别交 AB、AC 于点 E、F.(1)如图，若AEF C，求证：BC 与O 相切；(2)如图，若BAC90，BD 长为多少时，AEF 与ABC 相似第 9 题图10. (2016 包头)如图，在 RtABC 中，ABC90，ABCB，以 AB 为直径的O交 AC 于点 D，点 E 是 AB 边上一点(点 E 不与点 A、B 重合)，DE 的延长线交O 于点 G，DF DG，且交 BC 于点 F.(1)求证：AEBF ；(2)连接
6、 GB，EF ，求证：GB EF；(3)若 AE1，EB 2，求 DG 的长第 10 题图答案1. 证明：(1)在O 中， ，AB AC ABAC，BACB，AEBC，EACACB，BEAC，在ABD 和 CAE 中，AB CA B EACBD AE )ABD CAE(SAS)，AD CE；(2)如解图，连接 AO 并延长，交 BC 于点 H，在 BC 上找一点 G，连接 AG，使AGAD，第 1 题解图 ，OA 为半径，AB AC AH BC，BH CH，AD AG，DHHG，BH DHCHGH，即 BDCG，BD AE，CGAE ，CGAE ，四边形 AGCE 是平行四边形2. (1)证明
7、：如解图，连接 OD，第 2 题解图DF 是 O 的切线，D 为切点，ODDF ，ODF 90，BD CD，OAOB ，OD 是ABC 的中位线，ODAC，CFDODF90，DF AC；(2)解：CDF30，由(1)得ODF90，ODB 180CDFODF60.OB OD，OBD 是等边三角形，BOD 60， 的长 .BD n r180 60 5180 533. (1)证明：A，B，C，D 四点共圆，ABCADC180，又ADCCDF180，CDFABC，ABAC，ABCACB，ADB ACB，ADB CDF，ADB EDF，EDF CDF，即 AD 的延长线 DF 平分CDE；(2)解：如解
8、图，连接 AO 并延长交 BC 于点 H，交O 于点 M，连接 OC，第 3 题解图ABAC， ，AB AC AH BC，OACOAB BAC 3015，12 12COH2OAC30，设O 的半径为 r，在 Rt OCH 中，则 OHOCcos30 r，32ABC 中 BC 边上的高为 2 ，3AH OA OHr r2 ，32 3解得 r2.Sr 24.ABC 的外接圆的面积为 4.4. (1)证明：如解图，连接 OC，则 OCEF，且 OCOA ，易得OCAOAC，AD EF，OCEF ，OCAD，OCACAD，CADOAC，即CADBAC；第 4 题解图(2)解：与CAD 相等的角是BAG
9、.证明如下：如解图，连接 BG.四边形 ACGB 是O 的内接四边形，ABG ACG180 ，D，C，G 三点共线，ACDACG180，ACDABG ，AB 是O 的直径，AGB90 ，BAG ABG90 ，AD EF，CADACD90，CADBAG .5. 解：(1)过点 O 作 OHAB 于点 H，如解图，则 AH AB ，12 3AOB120 ，OAH 30，AO 2，AHcos30l ；AB 120 2180 43第 5 题解图(2)如解图，连接 AM、BM，MEAB，AB 是M 的切线，AC、BC 是M 的切线，M 是ABC 的内切圆，AM、BM 是CAB、 ABC 的平分线，AMB
10、180(MABMBA)180 (CABABC)180 (18012 12ACB)，AMB90 ACB ，12AOB120 ，AMB120，ACB60，即ACB 的大小不变，为 60.6. (1)解：如解图，连接 OE，设O 的半径为 r，则 OAOEr .在 Rt ABC 中，由勾股定理得 AB 12，BC2 AC2 132 52第 6 题解图O 与 BC 边相切于点 E，OE BC，OEB CAB90 ，又BB，BOE BCA， ，BOBC OECA即 ，解得 r .12 r13 r5 103所以O 的半径为 .103(2)证明：分别连接 OE、OF，如解图，BCOE，BBEFOEF BEF，BOEF ，OE OF，OFE OEFB，
