1、11 概率论与数理统计课后习题及答案第 1 章 三、解答题1设 P(AB) = 0，则下列说法哪些是正确的？(1) A 和 B 不相容；(2) A 和 B 相容；(3) AB 是不可能事件；(4) AB 不一定是不可能事件；(5) P(A) = 0 或 P(B) = 0(6) P(A B) = P(A)解：(4) (6)正确.2设 A，B 是两事件，且 P(A) = 0.6，P( B) = 0.7，问：(1) 在什么条件下 P(AB)取到最大值，最大值是多少？(2) 在什么条件下 P(AB)取到最小值，最小值是多少？解：因为 ，)(又因为 即 所以)(.0(1) 当 时 P(AB)取到最大值，
2、最大值是 =0.6.BA )(APB(2) 时 P(AB)取到最小值，最小值是 P(AB)=0.6+0.7-1=0.3.13已知事件 A，B 满足 ，记 P(A) = p，试求 P(B)解：因为 ，即 ，)()(1)()()( B所以 .1pP4已知 P(A) = 0.7，P( A B) = 0.3，试求 AP解：因为 P(A B) = 0.3，所以 P(A ) P(AB) = 0.3, P(AB) = P(A ) 0.3,又因为 P(A) = 0.7，所以 P(AB) =0.7 0.3=0.4， .601(B5 从 5 双不同的鞋子种任取 4 只，问这 4 只鞋子中至少有两只配成一双的概率是
3、多少？解：显然总取法有 种，以下求至少有两只配成一双的取法 ：10Cnk法一：分两种情况考虑： +5k241)(25其中： 为恰有 1 双配对的方法数2415)(法二：分两种情况考虑： +!168525其中： 为恰有 1 双配对的方法数!26185C法三：分两种情况考虑： +)(4285k25C其中： 为恰有 1 双配对的方法数)(14815法四：先满足有 1 双配对再除去重复部分： -2815k法五：考虑对立事件： -10k5412)(22 其中： 为没有一双配对的方法数45C12)(法六：考虑对立事件： !41618041Ck其中： 为没有一双配对的方法数!6810所求概率为 .23410
4、Ckp6在房间里有 10 个人，分别佩戴从 1 号到 10 号的纪念章，任取 3 人记录其纪念章的号码求：(1) 求最小号码为 5 的概率；(2) 求最大号码为 5 的概率解：(1) 法一： ，法二：1230p12305ACp(2) 法二： ，法二：3104C31047将 3 个球随机地放入 4 个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为 1，2，3 的概率解：设 M1, M2, M3 表示杯子中球的最大个数分别为 1，2，3 的事件，则, , 8)(1AP694)(32AP64)(3CMP8设 5 个产品中有 3 个合格品，2 个不合格品，从中不返回地任取 2 个，求取出的 2 个中全是合格品，
5、仅有一个合格品和没有合格品的概率各为多少？解：设 M2, M1, M0 分别事件表示取出的 2 个球全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品，则, ,.)(253CP6.0)(25131CP1.0)(251CP9口袋中有 5 个白球，3 个黑球，从中任取两个，求取到的两个球颜色相同的概率解：设 M1=“取到两个球颜色相同”，M 1=“取到两个球均为白球”，M 2=“取到两个球均为黑球”，则.212 所以 .813C)()()() 28521PP10 若在区间(0，1)内任取两个数，求事件“两数之和小于 6/5”的概率解：这是一个几何概型问题以 x 和 y 表示任取两个数，在平面上建立 xOy 直
6、角坐标系，如图.任取两个数的所有结果构成样本空间 = (x，y)：0 x，y 1事件 A =“两数之和小于 6/5”= (x，y) ： x + y 6/5因此251741)( AP图？11随机地向半圆 （ 为常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，求20xay原点和该点的连线与 轴的夹角小于 的概率x433 解：这是一个几何概型问题以 x 和 y 表示随机地向半圆内掷一点的坐标，表示原点和该点的连线与 轴的夹角，在平x面上建立 xOy 直角坐标系，如图.随机地向半圆内掷一点的所有结果构成样本空间=(x，y)： 20,2xa事件 A =“原点和该点的连线与 轴的夹角小于 ”
7、4=(x， y)： ,02xya因此21214)(2aAP 12已知 ，求 )(,31)(,4)(BAP)(BP解： ,2B ,612)|(A.3164)()()( A13设 10 件产品中有 4 件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率是多少？解：题中要求的“已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率”应理解为求“已知所取两件产品中至少有一件是不合格品，则两件均为不合格品的概率”。设 A=“所取两件产品中至少有一件是不合格品”，B=“两件均为不合格品”；， ，321)()(06CAP152)(04CBP/)(|B14有两个箱
8、子，第 1 箱子有 3 个白球 2 个红球，第 2 个箱子有 4 个白球 4 个红球，现从第 1 个箱子中随机地取 1 个球放到第 2 个箱子里，再从第 2 个箱子中取出一个球，此球是白球的概率是多少？已知上述从第 2 个箱子中取出的球是白球，则从第 1 个箱子中取出的球是白球的概率是多少？解：设 A=“从第 1 个箱子中取出的 1 个球是白球”，B=“从第 2 个箱子中取出的 1 个球是白球”，则，由全概率公式得5)(,3)(152PC ,452353)|()|( 1919CABPAB由贝叶斯公式得 .234/)(|)|( 195P15将两信息分别编码为 A 和 B 传递出去，接收站收到时，
9、A 被误收作 B 的概率为 0.02，而 B 被误收作 A 的概率为 0.01，信息 A 与信息 B 传送的频繁程度为 2：1，若接收站收到的信息是 A，问原发信息是 A 的概率是多少？解：设 M=“原发信息是 A”，N= “接收到的信息是 A”，已知44 ,01.)|(,02.)|(MNPP.32)(P所以 ,9.)|(,98.)|( ,)(由贝叶斯公式得 .1976)0.398.2(.03)|()|()|( NPPMNP16三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为 ，问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是41,5多少？解：设 Ai=“第 i 个人能破译密码”，i=1,2,3.
10、已知 所以,41)(,3)(,51)(2APP ,3)(,2)(,)(1 AP至少有一人能将此密码译出的概率为 .5431)()()( 21321 17设事件 A 与 B 相互独立，已知 P(A) = 0.4，P( AB) = 0.7，求 .解：由于 A 与 B 相互独立，所以 P(AB)=P(A)P(B),且P(AB)= P(A)+ P(B) - P(AB)= P(A)+ P(B) - P(A)P(B)将 P(A) = 0.4，P (AB) = 0.7 代入上式解得 P(B) = 0.5，所以 .50.1)(11 或者,由于 A 与 B 相互独立,所以 A 与 相互独立，所以 .50.)(B
11、P18甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为 0.6 和 0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率是多少？解：设 A=“甲射击目标”，B= “乙射击目标”，M =“命中目标”，已知 P(A)=P(B)=1, 所以,5.0)(,6.0)BP).()()()ABPAA由于甲乙两人是独立射击目标，所以 .805.6.04.6()()()( M 7.1)(|MPP19某零件用两种工艺加工，第一种工艺有三道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为 0.3，0.2，0.1；第二种工艺有两道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为 0.3，0.2，试问：(1) 用哪种工艺加工得到合格品的概率较大些
12、？(2) 第二种工艺两道工序出现不合格品的概率都是 0.3 时，情况又如何？解：设 Ai=“第 1 种工艺的第 i 道工序出现合格品”，i=1,2,3； Bi=“第 2 种工艺的第 i 道工序出现合格品”，i=1,2.（1）根据题意，P(A 1)=0.7，P( A2)=0.8，P(A 3)=0.9，P(B 1)=0.7,P(B2)=0.8,第一种工艺加工得到合格品的概率为P(A1A2A3)= P(A1)P(A2)P(A3)= ,504.98.0755 第二种工艺加工得到合格品的概率为P(B1B2)= P(B1)P(B2)= ,56.087.可见第二种工艺加工得到合格品的概率大。（2）根据题意，
13、第一种工艺加工得到合格品的概率仍为 0.504，而 P(B1)=P(B2)=0.7,第二种工艺加工得到合格品的概率为P(B1B2)= P(B1)P(B2)= .49.可见第一种工艺加工得到合格品的概率大。1设两两相互独立的三事件 A，B 和 C 满足条件 ABC = ， 且已知,21)()(CPBA，求 P(A)69)(CBAP解：因为 ABC = ，所以 P(ABC) =0,因为 A，B ，C 两两相互独立， 所以),(P2)(3)()()( APCB由加法公式 得)( BCACA即 16932P 01(4)(考虑到 得,21)(A.4)(2设事件 A，B，C 的概率都是 ，且 ，证明：2)
14、()(CBAP21)(证明：因为 ，所以)()(P将)()()()()(11)( ABCPBPAPBABABP 代入上式得到2)(C )()()23)( C整理得 .21)()(APBAPBC3设 0 P(A) 1，0 P( B) 1，P( A|B) + ，试证 A 与 B 独立1|证明：因为 P(A|B) + ，所以|,1)()()()( P将 代入上式得)()( ,)(1)(BAPBA两边同乘非零的 P(B)1-P(B)并整理得到 ,)所以 A 与 B 独立.66 4设 A，B 是任意两事件，其中 A 的概率不等于 0 和 1，证明 是事件 A 与 B 独立的充分必要条)|()|(PAB件
15、证明：充分性，由于 ，所以 即)|()|(BP,)()(,1AP两边同乘非零的 P(A)1-P(A)并整理得到 所以 A 与 B 独立.),()(必要性：由于 A 与 B 独立，即 且 所以AP,0)(,一方面 ,)()(|( P另一方面 ),()()()(|( BABAPBABP所以 ).|)|(5一学生接连参加同一课程的两次考试第一次及格的概率为 p，若第一次及格则第二次及格的概率也为 p；若第一次不及格则第二次及格的概率为 .2p(1) 若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率(2) 若已知他第二次及格了，求他第第一次及格的概率解：设 Ai=“第 i 次及格”，i=1，2
16、.已知 ,2)|(,)|(,)( 12121 pAPpApP由全概率公式得 )()|()|()( 1211212A(1) 他取得该资格的概率为 .23)1( ),|2 121211ppp APAPPP(2) 若已知他第二次及格了，他第一次及格的概率为 .12)1()(|)()|( 22112121 ppAPA6每箱产品有 10 件，其中次品从 0 到 2 是等可能的，开箱检验时，从中任取一件，如果检验为次品，则认为该箱产品为不合格而拒收由于检验误差，一件正品被误判为次品的概率为 2%，一件次品被误判为正品的概率为 10%求检验一箱产品能通过验收的概率解：设 Ai=“一箱产品有 i 件次品”，i
17、=0，1，2.设 M=“一件产品为正品”，N=“一件产品被检验为正品”.已知 ,3)()(210PP ,10)|(,02.)|(MNP由全概率公式 ,109)8(3)|()|()|()( 221100 AAM77 又,109)(1)(MP ,98.02.1)|(1)|( MNP由全概率公式得一箱产品能通过验收的概率为 .098.)|()|()( PN7用一种检验法检验产品中是否含有某种杂质的效果如下若真含有杂质检验结果为含有的概率为 0.8；若真含不有杂质检验结果为不含有的概率为 0.9；据以往的资料知一产品真含有杂质或真不含有杂质的概率分别为 0.4 和 0.6今独立地对一产品进行三次检验，
18、结果是两次检验认为含有杂质，而有一次认为不含有杂质，求此产品真含有杂质的概率解：A=“一产品真含有杂质 ”，B i=“对一产品进行第 i 次检验认为含有杂质”，i=1,2,3.已知独立进行的三次检验中两次认为含有杂质，一次认为不含有杂质，不妨假设前两次检验认为含有杂质，第三次认为检验不含有杂质，即 B1，B 2 发生了，而 B3 未发生.又知 所以,90)|(,8.0)|(APii ,4.)(,1.0)|2| APii ,6.0)(,4.)(AP所求概率为 )|(|)()|( 321321321321321 BBB由于三次检验是独立进行的，所以 .905.10.62.08.40 )|()|()
19、|()|()|()|() |( 321321321 APAPAPAPBAP8火炮与坦克对战，假设坦克与火炮依次发射，且由火炮先射击，并允许火炮与坦克各发射 2 发，已知火炮与坦克每次发射的命中概率不变，它们分别等于 0.3 和 0.35.我们规定只要命中就被击毁试问(1) 火炮与坦克被击毁的概率各等于多少？(2) 都不被击毁的概率等于多少？解：设 Ai=“第 i 次射击目标被击毁”，i=1,2,3,4.已知 所以,3.0)(1P,35.0)(42AP71 ,65.0)(42AP(1) 火炮被击毁的概率为 3475.7.035.)()()( 432121 243 A坦克被击毁的概率为 46.6.
20、07.)()(3211 13PP(2) 都不被击毁的概率为 .2075.75.)( 4432 AA9甲、乙、丙三人进行比赛，规定每局两个人比赛，胜者与第三人比赛，依次循环，直至有一人连胜两次为止，此人即为冠军，而每次比赛双方取胜的概率都是 ，现假定甲乙两人先比，试求各人得冠军的概率21解：A i=“甲第 i 局获胜”， Bi=“乙第 i 局获胜”，B i=“丙第 i 局获胜”，i=1,2,.，已知 ，由于各局比赛具有独立性，所以,.,)()( CPPiii在甲乙先比赛，且甲先胜第一局时，丙获胜的概率为88 同样，在甲乙先,71.212.)( 963987654321654321321 CABC
21、ABCAP比赛，且乙先胜第一局时，丙获胜的概率也为 ,丙得冠军的概率为 甲、乙得冠军的概率均为,721.145)72(第二章2一、填空题：1. ，xXP)(12xF2. ，k = 0，1，nknknpC3. 为参数，k = 0，1，,!e4. 15. 其 它 ,0)(bxabxf6. efx,21)(2)(7. xx,28. )()(ab9. X -1 1 2pi 0.4 0.4 0.2分析：由题意，该随机变量为离散型随机变量，根据离散型随机变量的分布函数求法，可观察出随机变量的取值及概率。10. 649分析：每次观察下基本结果“X1/2”出现的概率为 ，而本题对随机变量 X 取值的观察可看作
22、412)(1021- xdxf是 3 重伯努利实验，所以 69)(42323CYP11. ,75.0)1.(21.2. XP,89.1)3.(4.()3.1()4.( )21.()21.(6.586 X同理，P| X | 3.5 =0.8822.99 12. .)31(13)( yFXPyYPyG13. ，利用全概率公式来求解：481.481331420 422 XPYXPY二、单项选择题：1. B，由概率密度是偶函数即关于纵轴对称，容易推导F(-a)= dxfdxfdxfxfdxf aa 00a-0a-0 )(2)(2)()()(2. B，只有 B 的结果满足 1limF3. C，根据分布函
23、数和概率密度的性质容易验证4. D， ，可以看出 不超过 2，所以2,XYY， 0,21,2,1 , ,1)( 0 yeydxeyPyFyY可以看出，分布函数只有一个间断点.5. C, 事件的概率可看作为事件 A（前三次独立重复射击命中一次）与事件 B（第四次命中）同时发生的概率，即.pCBp2313)()()(三、解答题（A）1(1)X 1 2 3 4 5 6pi 36369673653631分析：这里的概率均为古典概型下的概率，所有可能性结果共 36 种，如果 X=1，则表明两次中至少有一点数为 1，其余一个 1至 6 点均可，共有 （这里 指任选某次点数为 1，6 为另一次有 6 种结果均可取，减 1 即减去两次均为 1 的1-2C12情形，因为 多算了一次）或 种，故 ,其他结果类似可1536531-22CXP得.(2)1010 6 1 65432 12 0)(x xXPXPXP xxxxF 6 1534 23 6720xxx 2X -1 99pi 1265注意，这里 X 指的是赢钱数，X 取 0-1 或 100-1，显然 .126950CXP3 ，所以 .1!0aekea4(1) ，3x1241-x3x12-)( XPxf(2) 、 、412pXP 2153XP；43223XP
