1、 概率论与数理统计及其应用习题解答1第 1 章 随机变量及其概率1，写出下列试验的样本空间：（1） 连续投掷一颗骰子直至 6 个结果中有一个结果出现两次，记录投掷的次数。（2） 连续投掷一颗骰子直至 6 个结果中有一个结果接连出现两次，记录投掷的次数。（3） 连续投掷一枚硬币直至正面出现，观察正反面出现的情况。（4） 抛一枚硬币，若出现 H 则再抛一次；若出现 T，则再抛一颗骰子，观察出现的各种结果。解：（1） ；（2） ；（3）7,6543,S,42S；（4） 。,TH6,54,1TTH2，设 是两个事件，已知 ，求BA, ,12.0)(,.0)(,25.)( ABPAP。(),(),( _
2、BPP解： ，6.0)，375()()( APASB，875.01_P 5.0)(625.0)()()()(_ ABPABPBSB3，在 100，101，999 这 900 个 3 位数中，任取一个 3 位数，求不包含数字 1 个概率。概率论与数理统计及其应用习题解答2解：在 100，101，999 这 900 个 3 位数中不包含数字 1 的 3 位数的个数为 ，所以所求得概率为648972.094，在仅由数字 0，1，2，3，4，5 组成且每个数字之多出现一次的全体三位数中，任取一个三位数。 （1）求该数是奇数的概率；（2）求该数大于 330 的概率。解：仅由数字 0，1，2，3，4，5
3、组成且每个数字之多出现一次的全体三位数的个数有 个。 （1）该数是奇数的可能个数为0个，所以出现奇数的概率为83448.10（2）该数大于 330 的可能个数为 ，所以该数大4852于 330 的概率为 48.015，袋中有 5 只白球，4 只红球，3 只黑球，在其中任取 4 只，求下列事件的概率。（1）4 只中恰有 2 只白球，1 只红球，1 只黑球。（2）4 只中至少有 2 只红球。（3）4 只中没有白球。解: （1）所求概率为 ；384125C概率论与数理统计及其应用习题解答3（2） 所求概率为 ；1657492041283824 C（3）所求概率为 。657941276，一公司向 个销
4、售点分发 张提货单，设每张提货单分发M)(Mn给每一销售点是等可能的，每一销售点得到的提货单不限，求其中某一特定的销售点得到 张提货单的概率。)(k解：根据题意， 张提货单分发给 个销售点的总的可能分法n有 种，某一特定的销售点得到 张提货单的可能分法有nM)(nk种，所以某一特定的销售点得到 张提货单的概率kknC)1( )(为 。nkkMC)1(7，将 3 只球（13 号）随机地放入 3 只盒子（13 号）中，一只盒子装一只球。若一只球装入与球同号的盒子，称为一个配对。（1）求 3 只球至少有 1 只配对的概率。（2）求没有配对的概率。解：根据题意，将 3 只球随机地放入 3 只盒子的总的
5、放法有 3！=6种：123，132，213，231，312，321；没有 1 只配对的放法有 2 种：312，231。至少有 1 只配对的放法当然就有 6-2=4 种。所以（2）没有配对的概率为 ；362（1）至少有 1 只配对的概率为 。21概率论与数理统计及其应用习题解答48， （1）设 ，求,1.0)(,3.)(,5.0)( ABPAP,|),|(B.)|(|（2）袋中有 6 只白球，5 只红球，每次在袋中任取 1 只球，若取到白球，放回，并放入 1 只白球；若取到红球不放回也不放入另外的球。连续取球 4 次，求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率。解：（1）由题意可得 ，所以7
6、.0)()()( ABPBAP， ，31.0)(|(BAP 51.)(|，75)()(|( BAP，1)()()|( BABP。)()()|( AP（2）设 表示“第 次取到白球”这一事件，而取到红球4,321iAi可以用它的补来表示。那么第一、二次取到白球且第三、四次取到红球可以表示为 ，它的概率为（根据乘法公式）4321A)|()|()|()( 321421314321 APPAP。08.5982769，一只盒子装有 2 只白球，2 只红球，在盒中取球两次，每次任取一只，做不放回抽样，已知得到的两只球中至少有一只是红球，求概率论与数理统计及其应用习题解答5另一只也是红球的概率。解：设“得到
7、的两只球中至少有一只是红球”记为事件 ， “另一只A也是红球”记为事件 。则事件 的概率为BA（先红后白，先白后红，先红后红）653142)(AP所求概率为 516)(|(APB10，一医生根据以往的资料得到下面的讯息，他的病人中有 5%的人以为自己患癌症，且确实患癌症；有 45%的人以为自己患癌症，但实际上未患癌症；有 10%的人以为自己未患癌症，但确实患了癌症；最后 40%的人以为自己未患癌症，且确实未患癌症。以 表示事件A“一病人以为自己患癌症” ，以 表示事件“病人确实患了癌症” ，B求下列概率。（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；)(,BPA)|(A)|(AP)|(BP（5） 。
8、|解：（1）根据题意可得；%504)()() BAPAP；15B（2）根据条件概率公式： ；1.05)(|(AP（3） ；2.0%51)()|( APB概率论与数理统计及其应用习题解答6（4） ；179%54)()|( BPA（5） 。3)(|(11，在 11 张卡片上分别写上 engineering 这 11 个字母，从中任意连抽 6 张，求依次排列结果为 ginger 的概率。解：根据题意，这 11 个字母中共有 2 个 g，2 个 i，3 个 n，3 个e，1 个 r。从中任意连抽 6 张，由独立性，第一次必须从这 11 张中抽出 2 个 g 中的任意一张来，概率为 2/11；第二次必须
9、从剩余的 10张中抽出 2 个 i 中的任意一张来，概率为 2/10；类似地，可以得到6 次抽取的概率。最后要求的概率为；或者 。92401361789310 924016132AC12，据统计，对于某一种疾病的两种症状：症状 A、症状 B，有 20%的人只有症状 A，有 30%的人只有症状 B，有 10%的人两种症状都有，其他的人两种症状都没有。在患这种病的人群中随机地选一人，求（1）该人两种症状都没有的概率；（2）该人至少有一种症状的概率；（3）已知该人有症状 B，求该人有两种症状的概率。解：（1）根据题意，有 40%的人两种症状都没有，所以该人两种症状都没有的概率为 ；%4013021（
10、2）至少有一种症状的概率为 ；6（3）已知该人有症状 B，表明该人属于由只有症状 B 的 30%人群概率论与数理统计及其应用习题解答7或者两种症状都有的 10%的人群，总的概率为 30%+10%=40%，所以在已知该人有症状 B 的条件下该人有两种症状的概率为。41%0313，一在线计算机系统，有 4 条输入通讯线，其性质如下表，求一随机选择的进入讯号无误差地被接受的概率。通讯线 通讯量的份额 无误差的讯息的份额1 0.4 0.99982 0.3 0.99993 0.1 0.99974 0.2 0.9996解：设“讯号通过通讯线 进入计算机系统”记为事件 ，i )4,321(iA“进入讯号被无
11、误差地接受”记为事件 。则根据全概率公式有B96.0297.019.0398.04)|()(41 i iiABPBP=0.9997814，一种用来检验 50 岁以上的人是否患有关节炎的检验法，对于确实患关节炎的病人有 85%的给出了正确的结果；而对于已知未患关节炎的人有 4%会认为他患关节炎。已知人群中有 10%的人患有关节炎，问一名被检验者经检验，认为他没有关节炎，而他却有关节炎的概率。解：设“一名被检验者经检验认为患有关节炎”记为事件 ， “一名A被检验者确实患有关节炎”记为事件 。根据全概率公式有B，%1.249085%10)|()|()( APBPA概率论与数理统计及其应用习题解答8所
12、以，根据条件概率得到所要求的概率为%06.17.21)85(0)(1|)()|( APBBAP即一名被检验者经检验认为没有关节炎而实际却有关节炎的概率为17.06%.15，计算机中心有三台打字机 A,B,C，程序交与各打字机打字的概率依次为 0.6, 0.3, 0.1，打字机发生故障的概率依次为 0.01, 0.05, 0.04。已知一程序因打字机发生故障而被破坏了，求该程序是在 A,B,C上打字的概率分别为多少？解：设“程序因打字机发生故障而被破坏”记为事件 ， “程序在MA,B,C 三台打字机上打字”分别记为事件 。则根据全概率公321,N式有，025.4.105.301.6)|()(31
13、 i iiNMPP根据 Bayes 公式，该程序是在 A,B,C 上打字的概率分别为，24.05.16)(|)|(111 PN，.3)(|)|( 222MNP。16.05.4)(|)|(333 PN16，在通讯网络中装有密码钥匙，设全部收到的讯息中有 95%是可信的。又设全部不可信的讯息中只有 0.1%是使用密码钥匙传送的，而全部可信讯息是使用密码钥匙传送的。求由密码钥匙传送的一讯概率论与数理统计及其应用习题解答9息是可信讯息的概率。解：设“一讯息是由密码钥匙传送的”记为事件 ， “一讯息是可信A的”记为事件 。根据 Bayes 公式，所要求的概率为B %947.1.05%9)|()|(|)(
14、|( BAPPAP17，将一枚硬币抛两次，以 A,B,C 分别记事件“第一次得 H”， “第二次得 H”， “两次得同一面” 。试验证 A 和 B，B 和 C，C 和 A 分别相互独立（两两独立） ，但 A,B,C 不是相互独立。解：根据题意，求出以下概率为， ；21)(BPA2121)(CP， 4， 。)()(C4)(AB所以有， ， 。)()(PAB)()CP)()(CPB即表明 A 和 B，B 和 C，C 和 A 两两独立。但是 )()(B所以 A,B,C 不是相互独立。18，设 A,B,C 三个运动员自离球门 25 码处踢进球的概率依次为 0.5, 0.7, 0.6，设 A,B,C 各
15、在离球门 25 码处踢一球，设各人进球与否相互独立，求（1）恰有一人进球的概率；（2）恰有二人进球的概率；（3）至少有一人进球的概率。概率论与数理统计及其应用习题解答10解：设“A,B,C 进球” 分别记为事件 。)3,21(iN（1）设恰有一人进球的概率为 ，则1p32321321 PNNPp（由独立性）)()()()()( 321NP6.035.407.54.035. 29（2）设恰有二人进球的概率为 ，则2p31321321 NPNPp（由独立性）)()()()()( 3212 NP6.035.607.54.075. （3）设至少有一人进球的概率为 ，则3p。1321NPp)()(21NP4.035.1919，有一危重病人，仅当在 10 分钟之内能有一供血者供给足量的A-RH+血才能得救。设化验一位供血者的血型需要 2 分钟，将所需的血全部输入病人体内需要 2 分钟，医院只有一套验血型的设备，且供血者仅有 40%的人具有该型血，各人具有什么血型相互独立。求病人能得救的概率。
