1、1概率论与数理统计复习题（一）一填空1. 。若 与 独立，则 ；若已知 中至少有3.0)(,4.)(BPAAB)(BAPBA,一个事件发生的概率为 ，则 。6)(2 且 ，则 。)()(p2.3设 ，且 ，则 ；,2NX 3.042,XPXP。0P4 。若 服从泊松分布，则 ；若 服从均匀分布，1)(DE则 。X5设 ，则 4.1)(,.2)(,Xpnb nXP6 则 。,)(,0)(YEDYE )12(YD7 ，且 与 独立，则 （用 表)16,(,9NX 示） ， 。Y8已知 的期望为 5，而均方差为 2，估计 。8XP9设 和 均是未知参数 的无偏估计量，且 ，则其中的统计量 12)(2
2、21E更有效。10在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信水平愈 愈好，而置信区间的长度愈 愈好。但当增大置信水平时，则相应的置信区间长度总是 。二假设某地区位于甲、乙两河流的汇合处，当任一河流泛滥时，该地区即遭受水灾。设某时期内甲河流泛滥的概率为 0.1；乙河流泛滥的概率为 0.2；当甲河流泛滥时，乙河流泛滥的概率为 0.3，试求： （1）该时期内这个地区遭受水灾的概率；（2）当乙河流泛滥时,甲河流泛滥的概率。三高射炮向敌机发射三发炮弹（每弹击中与否相互独立） ，每发炮弹击中敌机的概率均为0.3，又知若敌机中一弹，其坠毁的概率是 0.2，若敌机中两弹，其坠毁的概率是 0.6，若敌机中三
3、弹则必坠毁。 （1）求敌机被击落的概率；（2）若敌机被击落，求它中两弹的概率。四X 的概率密度为 且 E(X)= 。 （1）求常数 k和 c；(2) 求 X其 它 ,0,)(cxkxf 322的分布函数 F(x)； 五（X,Y）的概率密度 。求 （1）常数otherwis ,020,42),(),( yxykxyfk；（2）X 与 Y是否独立；（3） ；XY六.设 X，Y 独立，下表列出了二维随机向量（X，Y）的分布，边缘分布的部分概率，试将其余概率值填入表中空白处. 1y2y3yXip1x8128Yjp61七. 某人寿保险公司每年有 10000人投保，每人每年付 12元的保费，如果该年内投保
4、人死亡，保险公司应付 1000元的赔偿费，已知一个人一年内死亡的概率为 0.006。用中心极限定理近似计算该保险公司一年内的利润不少于 60000元的概率.概 率 与 数 理 统 计 复 习 题 （ 一 ）一 、 填 空1.P(A-B)=0.28 P(A-B)=0.34分 析 : ().3 P(AB)=0.28,独 立 ()*=0.12+().().34(+)=()-PAB0.6 .4 P(B)0.3 2.()8)1()1()()1()0(0.8.2APBAPABP分 析 : =()+3. . 3: 22021x01()142224.3(4)2.30.302xxx1.5.5.50PFPxPP分
5、 析 0 0.8.8Px.010Pxe =k 1xke=e!, !0x0x11x0e PEDP 分 析 : a. 服 从 泊 松 分 布 则xx0x1x01P .服 从 均 匀 分 布 ,属 连 续 分 布 ,则 =65n0.4Pn-n:xb(,p)xnn6p(1-p)xb(,)Px=qpE=2.4 D. C分 析 .46n0.P6.(x2y1)D:()(x2y)(2y)cov(x,2y)42cov(x,y)4-E16x)=y0 D= 1DD分 析 17.2().5xy0PP 2x(0,9) xyN(-1,5)xy1:y6()9625()2,NEDF 分 析 相 互 独 立4xycov(x,y
6、)=0x(,)=D-1-2(1)1P-2=(0-)(-0.55,相 互 独 立 x78.P2 92 2xx1 753x53192DPPP-E分 析 :由 切 比 雪 夫 不 等 式 =5 829. 1 22222 1111112 2 221()()()(): ()()()EEDEDD 与 均 是 未 知 参 数 的 无 偏 估 计分 析 更 有 效 10.,高 小 变 大12: ()0.12.30.7()0.30.3PBPA1221112121二 .解 A甲 河 流 泛 滥 :乙 河 流 泛 滥 :某 地 区 受 灾P(B)=+)()-()0.()A()=.312.() .1502PA()5i
7、1233ii3iii i1i i222.:()0.,().6,()*0.(7)*()0.286()(.496ABBPPACPABAPB三 解 设 敌 机 中 了 弹 敌 机 被 击 落四、解：由密度函数的性质及数学期望的定义，有 即 ccxfxfx001)(32)( cckxddxk0021312ck由知 x的密度函数为 102)( xxxf 其 他当 x ；时0F当 时 120xtdtfxxx 当 时 x1d1102xF五、由（x、y）联合密度的性质有： 即,dyx3612420 kdxyk 由可求出（x，y）的联合密度：其 他,02361, xyxfxdyxdyffX 61361,2020
8、yxfyfY ,42 4x6061xfX其 他 2y0261yyfY 其 他 4x故 x, y 相互独立。fyfYX, 由知 相互独立。x, 0xy六、略七、解：令 x为一年内死亡人数，题中 10000人投标，每人每年死亡率 0.006且每人每年死亡相互独立，故 x N（10000*0.006，10000*0.006*0.994）即 x N（60，59.64）设 A：保险公司一年内的利润不少于 60000元。即 A：10000*12-1000x 6000060x5.064.59060 xP.元 的 概 率 为不 少 于该 保 险 公 司 一 年 的 利 润概率论与数理统计复习题（二）本复习题中
9、可能用到的分位数：， ， ， 。859.1)(95.0t 831.)(5.0t 306.2)8(975.0t 26.)9(75.t一、填空题（本题满分 15分，每小题 3分）1、设事件 互不相容，且 则 。BA, ,qBPpAA2、设随机变量 的分布函数为： X216.03)(xxF则随机变量 的分布列为 。X3、设两个相互独立的随机变量 和 分别服从正态分布 和 ，则XY)2,1(N),0(= 。(1)PY4、若随机变量 服从 上的均匀分布，且有切比雪夫不等式1,b则 , 。2(),3X7二、单项选择题（本题满分 15分，每小题 3分）1、设 则有（ ） 。()0,PAB(A) 互不相容；
10、(B) 相互独立；他 AB他(C) 或 ； (D) 。 ()()()(PA2、设离散型随机变量 的分布律为： 且 ，则 为X1,2)kXb 0b（ ） 。(A) ；(B) ；(C) ；(D) 大于零的任意实数。1b1b3、设随机变量 和 相互独立，方差分别为 6和 3，则 =（ ） 。XY )2(YXD(A) 9；(B) 15；(C) 21；(D) 27。 4、对于给定的正数 ， ，设 ， ， ， 分别是 ，10u)(2nt),(21nF)1,0(N， ， 分布的下 分位数，则下面结论中不正确的是（ ）)(2nt),(21nF（A） ； （B） ；u )()(221（C） ； （D）)()(1
11、ntt ),(1,221nFn5、设 ( )为来自总体 的一简单随机样本，则下列估计量中不是,21nX 3X总体期望 的无偏估计量有（ ） 。(A) ； (B) ；n21(C) ； (D) 。)46(1.023三、 （本题满分 12分）人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的基本因素，比如利率的变化。现在假设人们经分析估计利率下调的概率为 60%，利率不变的概率为 40%，根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为 80%，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为 40%，求该支股票将上涨的概率。四、 （本题满分 12分）设随机变量 的分布密
12、度函数为X2,1()1Axfx 0 试求：（1）常数 ； A8（2） 落在 内的概率；X1(,)2（3） 的分布函数 xF五、 （本题满分 10分）为估计一分钟一次广告的平均费用，随机抽取了 100个电台作为样本，计算得样本的平均值 元，样本标准差为 元，在广告费用 X的分布未知时，试求平均广告5.90x5.4费 的置信区间。%4.解答：由于 X的样本容量较大，故认为 X近似服从正态分布，临界值 ，2，6.810.2.ns 4.9105.9nsx于是一分钟一次平均广告费 的置信区间为 ， %4596814六、 （本题满分 12分）设 为来自总体 的一个样本， 服从指数分布，其密度函数为),(2
13、1nX X，其中 为未知参数，试求 的矩估计量和极大似然估计量。0,);xexf七、 （本题满分 12分）设某市青少年犯罪的年龄构成服从正态分布，今随机抽取 9名罪犯，其年龄如下：22，17，19，25，25，18，16，23，24，试以 95%的概率估计犯罪青少年年龄的置信区间。概率论与数理统计复习题(二)参考解答一、 填空题:1、 P( )=1-p-qAB分析:P( )=1-p-qP( )= )1-P(+B)=-(A)P-(B) , =0 p, q互 不 相 容 AB2、 x -1 1 2P 0.3 0.3 0.49分析:依离散型随机变量的分布函数可得.3、P =0.51xy分析: x+y
14、N(1,3) Px+y 1=F(1)= ( )= (0)=0.5(,2)0,Nxy相 互 独 立 134、b=3, =2分析: 222b-1()x-1,bEx= ,1,133DxE服 从 上 的 均 匀 分 布由 切 比 雪 夫 不 等 式 P 题 中 已 知 :x-12(1)3b2b二.单项选择题1. D分析: (A)中,A 和 B互不相容 P(AB)=0,但不能反推;(B)中,P(AB)=P(A)P(B) A、B 相互独立;(C)中,P(A)=0 或 P(B)=0与 P(AB)=0无关;(D)中, P(A-B)=P(A)()()(0PAP2. A分析:由分布律的性质可知:0 1且 =1即
15、=1;1kx1kb由等比数列求和可知: =1 =bb3. D分析:D(2x-y)=27 (2x-y)=(+-2cov(x,y)4D(+-cov(x,y) =0 6 3相 互 独 立4. B10分析:由各对应分布的分位数性质可得.5. B分析: (A) 显然为总体期望 的无偏估计x(B)E( + + )=E +E +E =n 显然不是总体期望 的无偏估计;12nx12nx(C)E0.1 (6 +4 )=E(0.6 +0.4 )=0.6E +0.4E12x=0.6 +0.4 =(D)E( + - )=E +E +E = + - =1x231x23三.解答:设 A为事件利率下调,那么 即为利率不变,A记 B为事件股票价格上涨,由题设 P(A)=60%P( )=40% P( A)=80% P(B )=40%于是 P(B)=P(AB)+P( B)=P(A)P( A)+ P( )P(B )=BA60% 80%+40% 40%=64%四.解:由密度函数的性质.1) =1 + + =1 =1 A()fxd1()fxd1()fx1()fxd12dx= 12) = = ( + )=122dx1arcsinx12613x落在 ( , )内的概率为 .33)x-1时 F(x)=0-1 x1时 F(x)=21 1()arcsinarcsin2xx xdtft txx 1时 F(x)= 21()xftx
