1、0506一.填空题（每空题 2 分，共计 60 分）1、A、B 是两个随机事件，已知 ，则 0.3)B(p,5.0)(,4.)A(pAP)BA(p0.6 , 0.1 ， = 0.4 , 0.6。)-(pBP2、一个袋子中有大小相同的红球 6 只、黑球 4 只。 （1）从中不放回地任取 2只，则第一次、第二次取红色球的概率为： 1/3 。 （2）若有放回地任取 2只，则第一次、第二次取红色球的概率为： 9/25 。 （3）若第一次取一只球观查球颜色后，追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中后，再取第二只，则第一次、第二次取红色球的概率为： 21/55 。3、设随机变量 X 服从 B（2，0.5）的
2、二项分布，则 0.75, Y 服从二1Xp项分布 B(98, 0.5), X 与 Y 相互独立, 则 X+Y 服从 B(100,0.5)，E(X+Y)= 50 ，方差 D(X+Y)= 25 。4、甲、乙两个工厂生产同一种零件，设甲厂、乙厂的次品率分别为0.1、0.15现从由甲厂、乙厂的产品分别占 60%、40% 的一批产品中随机抽取一件。（1）抽到次品的概率为： 0.12 。（2）若发现该件是次品，则该次品为甲厂生产的概率为： 0.5 5、设二维随机向量 的分布律如右，则 0.1, ),(YXa0.4， 的协方差为: - 0.2 ，)(XE与的分布律为:2YZ6、若随机变量 且 ， ,则 0.
3、815 ， X)4 ,2(N8413.0(972.0)(4XPXY0 1 -1 1 0.2 0.30.4 az 1 2 概率 0.6 0.45 ， 16 ） 。(,12NYX则7、随机变量 X、Y 的数学期望 E(X)= -1，E(Y)=2, 方差 D(X)=1，D(Y)=2, 且 X、Y 相互独立，则： - 4 ， 6 。)2(YXE)2(YXD8、设 ，则 30 ,125CovD，）（，）（ ）（D9、设 是总体 的容量为 26 的样本， 为样本均值， 为样本方61, )6,8(N 2S差。则： N（8 ， 8/13 ） ， ， 。X1625S)(25/8sX)(t10、假设检验时，易犯两
4、类错误，第一类错误是：”弃真” ,即 H0 为真时拒绝H0, 第二类错误是：“取伪”错误。一般情况下，要减少一类错误的概率，必然增大另一类错误的概率。如果只对犯第一类错误的概率加以控制，使之a， 而不考虑犯第二类错误的概率，这种检验称为： 显著性 检验。二、 （6 分）已知随机变量 X 的密度函数 其 它 , 01)(2xaxf求：（1）常数 ， （ 2） （3 ）X 的分布函数 F（x ） 。a5.1.0(p解:(1)由 2,1)(adxf得(2) = 25.0Xp.015.0287.)(dxxf(3) 2xxF1 , )(3三、 （6 分）设随机变量（X，Y）的联合概率密度为：其 它 ,
5、00,2),( yxyxf求：（1）X，Y 的边缘密度， （2）讨论 X 与 Y 的独立性。解:(1) X，Y 的边缘密度分别为 :4 其 他， 其 他 0 102)()( 1012)(1010 yydxyxfyfdfYX(2)由 (1)可见 , 可知: X，Y 相互独立 2）（）（），（ yfxfyxfYX四、 （8 分）设总体 XN(0， ),。 是一个样本，求 的矩估计量，并2n.1 2证明它为 的无偏估计。2解: X 的二阶矩为: 12)(XEX 的二阶样本矩为 1nkiA12令： , 12)(解得: , 12ink的矩估计量 22 212inkX, 它为 的无偏估计量. 3)1()(
6、22inkE2五、 （10 分） 从总体 中抽取容量为 16 的一个样本，样本均值和样X) ,(2uN本方差分别是 ， 4,752S 5.27)1(,26.)15(,3.15597.020.97.0 xxt求 u 的置信度为 0.95 的置信区间和 的置信度为 0.95 的置信区间。2解: (1)n=16,置信水平 ,./,.1,3.)(597.0t由此 u 的置信水平为 0.95 的置信区间为:4,752SX, 即 5)13.6()0658.17(2) n=16,置信水平 ,2./,9.5.27)1(,26.)15(597.00. xx由此 的置信水平为 0.95 的置信区间为:42S25)
7、58.9,12()541,)(520.297.0六 、 （10 分）设某工厂生产工件的直径服从正态分布，要求它们的均值，现检验了一组由 16 只工件，计算得样本均值、样本方差分2.,8u别 ，试在显著水平 下，对该厂生产的工件的均值和490657sx 05.方差进行检验，看它们是否符合标准。此题中， ,5.27)1(,2)1(,3.2)15(,76.)1( 05.05.02.5.0 tt解:（1）首先对工件的均值进行检验: H0: 1 分8:u取统计量为 , 可得拒绝域为: ， 2 分16/8sXt 13.2)5(16/02.tsXt经计算, ,不在拒绝域内 ,因此接受 H0.认为这批工件的1
8、3.24/7.05/xt均值符合标准。 2 分其次首先对工件的方差进行检验: H0: 1 分2125.0:,5.取统计量为 , 可得拒绝域为: 2 分225.0)16(s )(.49205.22 经计算, ,在拒绝域内 ,因此拒绝 H0.认为这批工件的方差不4.9.)(22符合标准。 2 分XX 大学（本科）试卷（ B 卷）2005 -2006 学年第一学期一. 填空题（每小题 2 分，共计 60 分）1. 设随机试验 E 对应的样本空间为 S。 与其任何事件不相容的事件为 不可能事件， 而与其任何事件相互独立的事件为 必然事件；设 E 为等可能型试验，且 S 包含 10 个样本点，则按古典概
9、率的定义其任一基本事件发生的概率为 1/10。2 。若 与 独立，则 0。28 ；若已知 中至少有一3.0)(,4.)(BPAAB)(BAPBA,个事件发生的概率为 ，则 0.3， 1/3 。6)(3、一个袋子中有大小相同的红球 5 只黑球 3 只，从中不放回地任取 2 只，则取到球颜色不同的概率为： 15/28。若有放回地回地任取 2 只，则取到球颜色不同的概率为： 15/32 。4、 。若 服从泊松分布，则 ；若 服从均匀分布，则1)(XDE 0XP1eX0 。P5、设 ，且 ，则 2 ； ),(2N 3.42 ,2P 0XP0.8 。6、某体育彩票设有两个等级的奖励，一等奖为 4 元，二
10、等奖 2 元，假设中一、二等奖的概率分别为 0.3 和 0.5, 且每张彩票卖 2 元。是否买此彩票的明智选择为： 买 （买，不买或无所谓） 。7、若随机变量 ，则 0.75 ； _7_，X)5,1(U40 Xp)12(XE12 )13(D8、设 ，则 ，并简化计算.1)(,.2)(,DEpnb nP34.0。kk6602.42.7)4.06.409、随机变量 X、Y 的数学期望 E(X)= -1，E(Y)=2, 方差 D(X)=1，D(Y)=2, 且 X、Y 相互独立，则： -4 ， 6 。)2(E)2(YXD10、设 是总体 的容量为 16 的样本， 为样本均值， 为样本方差。16, 4,
11、0(NX2S则： N（20， 1/4 ） ， = 0.0556 ，X10p， t(15)。1652S)(51/2s此题中 。97.011、随机变量 的概率密度 ，则称 服从指数分布， 。X0 ,)(xexfX)(XE112、做假设检验时，容易犯两类错误，第一类错误是：”弃真” ,即 H0 为真时拒绝 H0, 第二类错误是： 取伪 错误。一般情况下，要减少一类错误的概率，必然 增加 另一类错误的概率。如果只对犯第一类错误的概率加以控制，使之a， 而不考虑犯第二类错误的概率，这种检验称为显著性检验，a 称为 显著水平。13、设二维随机向量 的分布律是： ),(YX则 的方差 0.21 ； X)(D
12、的相关系数为: 3/7 。Y与 XY二、 （7 分）甲、乙、丙三个工厂生产同一种零件，设甲厂、乙厂、丙厂的次品率分别为 0.2，0.1，0.3现从由甲厂、乙厂、丙厂的产品分别占 15%，80%，5%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，求该次品为甲厂生产的概率解：设 分别表示产品取自甲、乙、丙厂，321A,有： 2%5)P(A80,)(%,5)p( 32B 表示取到次品， ， 23.0)B(0.1,.B21 由贝叶斯公式： = 4)A(p1 24./)(311 kkkAp（三、 （7 分）已知随机变量 X 的密度函数 其 它 , 01)(xaxf求：（1）常数 ， （2） （3）X 的分布函数
13、 F（x ） 。a5.0(pXY0 1010.4 0.30.3 0解:(1)由 22,1)(adxf得(2) = 3)5.0Xp.05.02.)(xdxf(3) 2xxF1 , )(2四、 （7 分）设随机变量（X，Y）的联合概率密度为： 其 它 , 010,4),( yxyxf求：（1）X，Y 的边缘密度， （2）由（1）判断 X，Y 的独立性。解:(1) X，Y 的边缘密度分别为 :5 其 他， 其 他， 0 1024)()( )()(1010 yyxdyxfyf xffY(2)由(1)可见 , 可知: X，Y 相互独立 2）（）（），（ fffYX五、 （7 分） 从总体 中抽取容量为
14、16 的一个样本，样本均值和样本方差分别是) ,(2uN， 4,52SX 5.27)1(,26.)15(3.15597.002.97.0 xxt求 u 的置信度为 0.95 的置信区间和 的置信度为 0.95 的置信区间。解: (1)n=16, 置信水平 ,./,.,3.)(502.t由此 u 的置信水平为 0.95 的置信区间为:4,752SX, 即 4)13.6()0658.17(2) n=16,置信水平 ,2./,9.5.27)1(,26.)1(597.050. xx由此 的置信水平为 0.95 的置信区间为:42S23)58.9,12()51,)(5297.020. 六 、 （7 分）
15、设总体 XN(u，1), 未知。 是一个样本，求 的最大似然估计量，并证明它nX,.1 u为 的无偏估计。u解: 样本 的似然函数为 :nX,.12)(21exp)2(,.( 2/1 nkinn uxL而 1)()l(/),.(l 121 nkin xu令: , 10)(,.l11nkinuxdxL解得: 的最大似然估量 1inku1 knX1, 它为 的无偏估计量.uXnEk)()1七、 （5 分）某人寿保险公司每年有 10000 人投保，每人每年付 12 元的保费，如果该年内投保人死亡，保险公司应付 1000 元的赔偿费，已知一个人一年内死亡的概率为 0.0064。用中心极限定理近似计算该
16、保险公司一年内的利润不少于 48000 元的概率。已知 ，8413.0)(。972.0)(解:设 X 为该保险公司一年内的投保人死亡人数,则 XB(10000,0.0064)。该保险公司的利润函数为： 。 2L102所以 72481048 PPLP用中心极限定理96.43.06. 384130)(答：该保险公司一年内的利润不少于 48000 元的概率为 0。8413XX 大学（本科）试卷（ A 卷）答案2006-2007 学年第二学期二. 填空题（每小题 2 分，共计 60 分）1、A、B 是两个随机事件，已知 ，则0.3)B(p,5.)A(a) 若 互斥，则 0.5 ;, B-(pb) 若
17、独立,则 0.65 ;)c) 若 ,则 3/7 . 2.0)(Ap(2、袋子中有大小相同的红球 7 只，黑球 3 只， (1)从中不放回地任取 2 只，则第一、二次取到球颜色不同的概率为： 7/15 。(2)若有放回地任取 2 只，则第一、二次取到球颜色不同的概率为： 21/50 。(3)若第一次取一只球后再追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中再取第二只球,则第一、二次取到球颜色不同的概率为： 21/55 .3、设随机变量 X 服从泊松分布 ，则 8 .87),(XPpE4、设随机变量 X 服从 B（2，0. 8）的二项分布,则 0.64 , Y 服从 B（8，0. 8）的2p二项分布, 且
18、X 与 Y 相互独立，则 =1- 0.210， 8 。1Y)(5 设某学校外语统考学生成绩 X 服从正态分布 N（75，25） ，则该学校学生的及格率为 0.9987 ，成绩超过 85 分的学生占比 为 0.0228 。85P其中标准正态分布函数值 .9870)3(,972.0)(,413.0)( 6、设二维随机向量 的分布律是有 ,YX则 _0.1_， 的数学期望a_0.4_， 的相关系数)(XE与 _-xy0.25_。7、设 及 分别是总体 的容16,.8,.Y)16,8(N量为 16，8 的两个独立样本， 分别为样本均值， 分别为样本方差。X2SXY0 1 -1 1 0.3 0.30.3
19、 a则： N(8,1) ， N(0,1.5) ， = 0.0456 ，XYX5.12YXp， F(15,7) 。1652S)(21S此题中 987.0)3(,972.0)(,843.08、设 是总体 的样本，下列的统计量中，A，B，C 是 的无偏统计量，321,.X )(XE的无偏统计量中统计量 C 最有效。)(EA. B. C. D. 321312X)(132X219. 设某商店一天的客流量 X 是随机变量,服从泊松分布 , 为总体 的样本，(7.X的矩估计量为 ，160，168，152，153，159，167，161 为样本观测值，则 的矩)(XE )(E估计值为 160 10、在假设检验中，容易犯两类错误，第一类错误是指： H0 成立的条件下拒绝 H0 的错误 ,也称为弃真错误。二、 （6 分）已知随机变量 X 的密度函数 其 它 , 02)(xaxf求：（1）常数 ， （2） （3）X 的分布函数 F（X） 。a)45.0(p解:(1)由 2,1)(dxf得(2) = 245.0Xp5.0425.0)(dxxf(3) 2xF 2-1 )(三、 （6 分）设随机变量 X，Y 的概率密度分别为： )(xfX其 它 , 0xex，且随机变量 X，Y 相互独立。)(yfY其 它 , 01,y（1）求（X，Y）的联合概率密度为： ),(yxf（2）计算概率值 。Yp2
