1、 概率论与数理统计期末试卷一、填空（每小题 2 分，共 10 分）设 是三个随机事件，则 至少发生两个可表示为_。. 掷一颗骰子， 表示“出现奇数点”， 表示“ 点数不大于 3”，则 表示_。已知互斥的两个事件 满足 ，则 _。设 为两个随机事件， ， ，则 _。设 是三个随机事件， ， 、 ，则 至少发生一个的概率为_。二、单项选择（每小题的四个选项 中只有一个是正确答案， 请 将正确答案的番号填在括号内。每小 题 2 分，共 20分）1. 从装有 2 只红球，2 只白球的袋中任取两球，记 “取到 2 只白球”，则 （ ）。(A) 取到 2 只红 球 (B) 取到 1 只白球 (C) 没有取
2、到白球 (D) 至少取到 1 只红球2对掷 一枚硬币的试验, “出现 正面”称为（ ）。(A) 随机事件 (B) 必然事件(C) 不可能事件 (D) 样本空间3. 设 A、B 为随机事件，则 （ ）。(A) A (B) B (C) AB (D) 4. 设 和 是任意两个概率不为零的互斥事件，则下列结论中肯定正确的是（ ）。(A) 与 互斥 (B) 与 不互斥(C) (D) 5. 设 为两随机事件，且 ，则下列式子正确的是（ ）。(A) (B) (C) (D) 6. 设 相互独立 ，则 （ ）。(A) (B) (C) (D) 7.设 是三个随机事件，且有 ，则（ ）。 (A) 0.1 (B) 0
3、.6(C) 0.8 (D) 0.78. 进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为 p，则在成功 2 次之前已经失败 3 次的概率为（ ）。(A) p2(1 p)3 (B) 4 p (1 p)3 (C) 5 p 2(1 p)3 (D) 4 p 2(1 p)3 9. 设 A、B 为两随机事件，且 ，则下列式子正确的是（ ）。(A) (B) (C) (D) 10. 设事件 A 与 B 同时发生时，事件 C 一定发生，则（ ）。(A) P(A B) = P (C) (B) P (A) + P (B) P (C) 1(C) P (A) + P (B) P (C) 1 (D) P (A) + P (B)
4、 P (C)三、计算与应用题（每小题 8 分，共 64 分）1. 袋中装有 5 个白球，3 个黑球。从中一次任取两个。求取到的两个球颜色不同的概率。2. 10 把钥匙有 3 把能把门锁打开。今任取两把。求能打开门的概率。3. 一间宿舍住有 6 位同学，求他们中有 4 个人的生日在同一个月份概率。4. 50 个产品中有 46 个合格品与 4 个次品，从中一次抽取 3 个，求至少取到一个次品的概率。5. 加工某种零件，需经过三道工序，假定第一、二、三道工序的次品率分别为 0.2，0.1，0.1，并且任何一道工序是否出次品与其它各道工序无关。求该种零件的次品率。6. 已知某品的合格率为 0.95，而
5、合格品中的一 级品率为 0.65。求该产品的一级品率。7. 一箱产品共 100 件,其中次品个数从 0 到 2 是等可能的。开箱检验时，从中随机抽取 10 件，如果发现有次品，则认为该箱产品不合要求而拒收。若已知 该箱产品已通过验收，求其中确实没有次品的概率。8. 某厂的产 品， 按甲工艺加工， 按乙工艺加工，两种工艺加工出来的产品的合格率分别为 0.8 与0.9。现从该厂的产品中有放回地取 5 件来检验，求其中最多有一件次品的概率。四、证明题（共 6 分）设 ， 。证明 试卷一 参考答案一、填空1. 或 2. 出现的点数恰为 53. 与 互斥则 4. 0.6故 5. 至少发生一个，即 为又由
6、 得 故 二、单项选择12. A3. A利用集合的运算性质可得.4与 互斥故 5故 6相互独立7.且 则 8. 9. B10. B 故 P (A) + P (B) P (C) 1 三、计算与应用题1. 解：设 表示“取到的两球 颜色不同” ，则而样本点总数故 2. 解：设 表示“能把 门锁打开”，则 ，而故 3. 解：设 表示“有 4 个人的生日在同一月份” ，则而样本点总数为故 4. 解：设 表示“至少取到一个次品” ，因其较复杂，考虑逆事件 =“没有取到次品”则 包含的样本点数为 。而 样本点总数为故 5. 解：设 “任取一个零件为次品”由题意要求 ，但 较复杂，考虑逆事件 “任取一个零件
7、 为正品”， 表示通过三道工序都合格，则 于是 6. 解：设 表示“产品是一极品 ”， 表示“产品是合格品”显然 ，则于是 即 该产品的一级品率为7. 解：设 “箱中有 件次品”，由 题设，有 ，又设 “该箱产品通过验收”，由全概率公式，有于是 8. 解：依题意，该厂产品的合格率为，于是，次品率为 设 表示“有放回取 5 件，最多取到一件次品”则 四、证明题证明， ，由概率的性质知 则又 且 故 试卷二一、填空（每小题 2 分，共 10 分）1. 若随机变量 的概率分布为 ， ，则 _。2. 设随机变量 ，且 ，则 _。3. 设随机变量 ,则 _。4. 设随机变量 ，则 _。5. 若随机变量
8、的概率分布为则 _。二、单项选择(每题的四个选项 中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题 2 分，共 20 分)1. 设 与 分别是两个随机变量的分布函数，为使 是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（ ）。(A) (B) (C) (D) 2. 设随机变量 的概率密度为 ，则 （ ）。(A) (B) (C) (D) 3.下列函数为随机变量分布密度的是( )。(A) (B) (C) (D) 4.下列函数为随机变量分布密度的是( )。(A) (B) (C) (D) 5. 设随机变量 的概率密度为 ， ，则 的概率密度为（ ）。(A) (B) (C) (D) 6.
9、设 服从二项分布 ，则（ ）。(A) (B) (C) (D) 7. 设 ，则 （ ）。(A) (B) (C) (D) 8设 随机变量 的分布密度为 , 则 （ ）。(A) 2 (B) 1(C) 1/2 (D) 49对 随机变量 来说，如果 ，则可断定 不服从（ ）。(A) 二项 分布 (B) 指数分布(C) 正态分布 (D) 泊松分布10设 为服从正 态分布 的随机变量，则 ( )。(A) 9 (B) 6 (C) 4 (D) -3 三、计算与应用题（每小题 8 分，共 64 分）1. 盒内有 12 个乒乓球，其中 9 个是新球， 3 个是旧球。采取不放回抽取，每次取一个，直到取到新球 为止。求
10、抽取次数 的概率分布。2. 车间中有 6 名工人在各自独立的工作，已知每个人在 1 小时内有 12 分钟需用小吊车。求（1）在同一时刻需用小吊车人数的最可能值是多少？（2）若车间中仅有 2 台小吊车，则因小吊车不够而耽误工作的概率是多少？3. 某种电子元件的寿命 是随机变量，其概率密度 为求（1）常数 ；（2）若将 3 个这种元件串联在一条线路上，试计算该线路使用 150 小时后仍能正常工作的概率。4. 某种电池的寿命（单位：小时）是一个随机变量 ，且 。求（1）这样的电池寿命在 250 小时以上的概率；（2） ，使电池寿命在 内的概率不小于 0.9。5. 设随机变量 。求 概率密度 。6.
11、若随机变量 服从泊松分布，即 ，且知 。求 。7. 设随机变量 的概率密度为 。求 和 。8. 一汽 车沿一街道行使，需要通过三个均没有红绿灯信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，求红或绿两种信号灯 显示的时间相等。以 表示该汽车未遇红灯而连续通过的路口数。求（1） 的概率分布；（2） 。四、证明题（共 6 分）设随机变量 服从参数为 2 的指数分布。证明： 在区间 上，服从均匀分布。试卷二参考答案一、填空1. 6由概率分布的性质有 即 ，得 。2. ，则3. 0.54. 5. 0.25由题设，可设即0 10.5 0.5则 二、单项选择1. ( )由分布函数的性质，知
12、则 ，经验证只有 满足， 选2. ( )由概率密度的性质，有 3. ( )由概率密度的性质，有4. ( )由密度函数的性质，有 5. ( )是单减函数，其反函数 为 ，求 导 数得 由公式， 的密度为 6. ( )由已知 服从二项分布 ，则又由方差的性质知,7. ( )于是 8. (A) 由正态分布密度的定 义,有 9. (D) 如果 时,只能选择泊松分布.10. (D) X 为服从正态分布 N (-1, 2), EX = -1 E(2X - 1) = -3三、计算与应用题1. 解：设 为抽取的次数只有 个旧球,所以 的可能取值为：由古典概型，有则1 2 3 42. 解：设 表示同一时刻需用小吊车的人数， 则 是一随机变量，由题意有 ，于是（1） 的最可能值为 ，即概率 达到最大的（2）
