1、第 1 页 共 25 页二次函数知识点总结及相关典型题目第一部分 二次函数基础知识 相关概念及定义 二次函数的概念：一般地，形如 （ 是常数， ）的函数，叫做二次函2yaxbca，0a数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 ，而 可以为零二次函数的bc，定义域是全体实数 二次函数 的结构特征：2yaxbc 等号左边是函数，右边是关于自变量 的二次式， 的最高次数是 2xx 是常数， 是二次项系数， 是一次项系数， 是常数项c， bc 二次函数各种形式之间的变换 二次函数 用配方法可化成： 的形式，其中cbxay2 khay2.kh4， 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ；
2、；2xkaxy2； ； .2xaykhxay2 cbay2 二次函数解析式的表示方法 一般式： （ ， ， 为常数， ） ；bcbc0 顶点式： （ ， ， 为常数， ） ；2()hk 两根式： （ ， ， 是抛物线与 轴两交点的横坐标）.1yax0a1x2x 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 轴有交点，即 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次4bc函数解析式的这三种形式可以互化. 二次函数 的性质2xy 二次函数 的性质2yaxc 二次函数 的性质：2yaxh的符号a开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0向上 0，轴y时，
3、 随 的增大而增大； 时，0xyx0x随 的增大而减小； 时， 有最小y值 0向下 ，轴 时， 随 的增大增大而减小；时， 随 的增大而增大； 时，0xyx0x有最大值 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质性质0a向上 0c，轴y时， 随 的增大而增大； 时，0xyx0x随 的增大而减小； 时， 有最小值yc向下 ，轴 时， 随 的增大而减小； 时，随 的增大而增大； 时， 有最大值x0x的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质第 2 页 共 25 页 二次函数 的性质2yaxhk 抛物线 的三要素：开口方向、对称轴、顶点.2yaxbc 的符号决定抛物线的开口方向：当 时，开口向上；当 时
4、，开口向下；0a0a相等，抛物线的开口大小、形状相同. 对称轴：平行于 轴（或重合）的直线记作 .特别地， 轴记作直线 .y2bxy0x 顶点坐标坐标： ），（ abc422 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数 相同，那么抛物线的开口方a向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 抛物线 中， 与函数图像的关系cbxay2, 二次项系数二次函数 中， 作为二次项系数，显然 a0a 当 时，抛物线开口向上， 越大，开口越小，反之 的值越小，开口越大；0 当 时，抛物线开口向下， 越小，开口越小，反之 的值越大，开口越大a总结起来， 决定了抛物线开口的大小和方向， 的正负决定
5、开口方向， 的大小决定开口的大a小 一次项系数 b在二次项系数 确定的前提下， 决定了抛物线的对称轴ab 在 的前提下，0当 时， ，即抛物线的对称轴在 轴左侧；02y当 时， ，即抛物线的对称轴就是 轴；ba当 时， ，即抛物线对称轴在 轴的右侧0y 在 的前提下，结论刚好与上述相反，即a当 时， ，即抛物线的对称轴在 轴右侧；b02a当 时， ，即抛物线的对称轴就是 轴；0 y当 时， ，即抛物线对称轴在 轴的左侧总结起来，在 确定的前提下， 决定了抛物线对称轴的位置ab0a向上 0h，X=h 时， 随 的增大而增大； 时， 随xhyxxhy的增大而减小； 时， 有最小值 hy0向下 ，X
6、=h 时， 随 的增大而减小； 时， 随的增大而增大； 时， 有最大值 xx的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0向上 hk，X=h时， 随 的增大而增大； 时，xhyxxh随 的增大而减小； 时， 有最小y值 k向下 ，X=h时， 随 的增大而减小； 时，随 的增大而增大； 时， 有最大yxxh值 第 3 页 共 25 页总结： 常数项 c 当 时，抛物线与 轴的交点在 轴上方，即抛物线与 轴交点的纵坐标为正；0yxy 当 时，抛物线与 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 轴交点的纵坐标为 ； 0 当 时，抛物线与 轴的交点在 轴下方，即抛物线与 轴交点的纵坐标为负总结起来， 决定了抛物线与
7、 轴交点的位置c总之，只要 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的ab， 求抛物线的顶点、对称轴的方法 公式法： ，顶点是 ，对称轴abcxacbxy4222 ），（ abc422是直线 .a 配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 的形式，得到顶点为( ,khxy2 h)，对称轴是直线 .khx 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 用待定系数法求二次函数的解析式 一般式： .已知图像上三点或三对 、 的值，通常选择一般式.cb
8、xay2 xy 顶点式： .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.kh 交点式：已知图像与 轴的交点坐标 、 ，通常选用交点式： .1x2 21xa 直线与抛物线的交点 轴与抛物线 得交点为(0, ).ycbaxy2c 与 轴平行的直线 与抛物线 有且只有一个交点( , ).hbay2 hcb2 抛物线与 轴的交点:二次函数 的图像与 轴的两个交点的横坐标 、 ，是xx1x2对应一元二次方程 的两个实数根.抛物线与 轴的交点情况可以由对应的一元02二次方程的根的判别式判定：有两个交点 抛物线与 轴相交；有一个交点（顶点在 轴上） 抛物线与 轴相切；xx没有交点 抛物线与 轴相离.0 平行于
9、轴的直线与抛物线的交点x可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 ，k则横坐标是 的两个实数根.kcba 一次函数 的图像 与二次函数 的图像 的交点，由nyl 02acbxyG方程组 的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时 与 有两个交2x l点; 方程组只有一组解时 与 只有一个交点；方程组无解时 与 没有交点.lG 抛物线与 轴两交点之间的距离：若抛物线 与 轴两交点为 ，cbxay2 021， xBA由于 、 是方程 的两个根，故1x202cbxa1, acbacbxxxxAB 442221212121 二次函数图象的对称:二次函
10、数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 关于 轴对称第 4 页 共 25 页关于 轴对称后，得到的解析式是 ； 2yaxbcx 2yaxbc关于 轴对称后，得到的解析式是 ；hk hk 关于 轴对称关于 轴对称后，得到的解析式是 ； 2yxcy 2yxc关于 轴对称后，得到的解析式是 ；ak ak 关于原点对称关于原点对称后，得到的解析式是 ；2yxbc 2yxbc关于原点对称后，得到的解析式是 ；hk hk 关于顶点对称关于顶点对称后，得到的解析式是 ；2yaxc 22yaxca关于顶点对称后，得到的解析式是 hk hk 关于点 对称 mn，关于点 对称后，得到的解析式是2ya
11、x， 2yxmnk 总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式 二次函数图象的平移 平移步骤： 将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ；2yaxhkhk， 保持抛物线 的形状不变，将其顶点平移到 处，具体平移方法如下：2yax，【(h0)【(h0)【(k0)【(h0)【(h0)【(k0)【(k0 a时，y 随 x 的增大而增大，
12、简记左减ab2右增；（4）抛物线有最低点，当 x= 时，y 有最ab2小值， cy4最 小 值（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是 x= ，顶点坐标是ab2（ ， ） ；c4（3）在对称轴的左侧，即当 x 时，y 随 x 的增大而减小，简ab2记左增右减；（4）抛物线有最高点，当 x= 时，y 有最ab2大值， cy4最 大 值第 8 页 共 25 页2、二次函数 中， 的含义：)0,(2 acbaxy是 常 数 ， cb、表示开口方向： 0 时，抛物线开口向上a0 时，图像与 x 轴有两个交点；当 =0 时，图像与 x 轴有一个交点；当 0 时，图像与 x 轴没有交点。知识点
13、五 中考二次函数压轴题常考公式（必记必会，理解记忆）1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）y如图：点 A 坐标为（x 1，y 1）点 B 坐标为（x 2，y 2）则 AB 间的距离，即线段 AB 的长度为 A211y0 xB知识点五 二次函数 图象的画法2yaxbc 五点绘图法：利用配方法将二次函数 化为顶点式 ，确定其开口方2yaxbc2()yaxhk向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与 轴的交点 、以及 关于对称轴对称的点 、与 轴的交点 ，y0c，0c， 2c， 10x（若与 轴没有交点，则取两
14、组关于对称轴对称的点）.20x，x 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 轴的交点，与 轴的交点.xy、已知二次函数 )(2ab的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）A、 0ca， B、 0b0c，C、 ， D、 ，、函数 )(2xyxy与 在同一坐标系中的图象可能是（ ）特别记忆-同左上加 异右下减 (必须理解记忆)xyOxyOxyOxyOA B C D第 9 页 共 25 页说明 函数中 ab 值同号，图像顶点在 y 轴左侧同左，a b 值异号，图像顶点必在 Y 轴右侧异右向左向上移动为加左上加，向右向下移动为减右下减3、直线斜率： b为直线在y轴上的截距4、直线方程：1
15、2tanxyk4、两点 由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两式: )()(tan1121 xxybbkxy此公式有多种变形 牢记点斜 )(1ky斜截 直线的斜截式方程，简称斜截式: ykxb (k0)截距 由直线在 轴和 轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式：xy1byax牢记 口诀 -两点斜截距-两点 点斜 斜截 截距5、设两条直线分别为， ： ： 若 ，则有1l1ykxb2l2ykxb12/l且 。 若1212/lk12b1l6、点P（x 0， y0）到直线y=kx+b(即：kx-y+b=0) 的距离: 1)1(20220kbyxkbyxd7、抛物线 中， a b c,的作用
16、cxa2（1） 决定开口方向及开口大小，这与 中的 完全一样.a2y（2） 和 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 的对称轴是直线b cbxay2，故： 时，对称轴为 轴； （即 、 同号）时，对称轴在 轴左侧；ax0b0y （即 、 异号）时，对称轴在 轴右侧. 口诀 - 同左 异右0y（3） 的大小决定抛物线 与 轴交点的位置.ccxay2当 时， ，抛物线 与 轴有且只有一个交点（0， ）：xcb2yc ，抛物线经过原点;0c ,与 轴交于正半轴；y第 10 页 共 25 页 ,与 轴交于负半轴.0cy以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 轴右侧，则 .y0ab
17、 二次函数 、 、 、 的性质2axyk22hxaykhxa2函数解析式 2 khx2开口方向 当 时,开口向上;当 时,开口向下.00顶 点 （0,0） （0,k） （h,0） （h,k）对称轴 （ 轴）0xy（ 轴）xyhxhx最 值 当 x=0 时,最小值为 0. 当 x=0 时,最小值为 k 当 x=h 时,最小值为 k. 当 x=h 时,最小值为 k0a0a0a0a在对称轴的左侧,y 随着 x 的增大而减小 . 在对称轴的右侧, y随着 x的增大而增大在对称轴的左侧,y 随着 x 的增大而减小. 在对称轴的右侧,y 随着 x 的增大而增大.在对称轴的左侧,y 随着 x 的增大而减小.
18、 在对称轴的右侧,y 随着 x 的增大而增大.在对称轴的左侧,y 随着 x 的增大而减小. 在对称轴的右侧,y 随着 x 的增大而增大.在对称轴的左侧,y 随着 x 的增大而减小 . 在对称轴的右侧, y 随着 x 的增大而增大 .在对称轴的左侧,y 随着 x 的增大而减小. 在对称轴的右侧 , y 随着 x 的增大而增大.在对称轴的左侧,y 随着 x 的增大而减小. 在对称轴的右侧, y 随着 x 的增大而增大.在对称轴的左侧,y 随着 x 的增大而减小. 在对称轴的右侧, y 随着 x 的增大而增大.增减性 对称轴左右 侧注：图形呈上升状态拍马屁y 随着 x 的增大而增大图形呈下降状态拍马屁y 随着 x 的增大而减小第 26 章二次函数 同步学习检测（一）一、选择题（每小题 2 分，共 102 分）1、抛物线 y= x2 向左平移 8 个单位，再向下平移 9 个单位后，所得抛物线的表达式是（ ）A. y= (x+8)2-9 B. y= 1(x-8)2+9 C. y= 1(x-8)2-9 D. y= 1(x+8)2+92、 （2009 年泸州）在平面直角坐标系中，将二次函数 xy的图象向上平移 2 个单位，所得图象的解析式为（ ）
