1、3-1物 理 习 题 三3-1 以速度 前进的炮车，向后发射一炮弹，已知炮车的仰角为 ，炮弹和炮车的质0v 量分别为 m 和 M，炮弹相对炮车的出口速率为 v，如图所示。求炮车的反冲速率是多大?解 以大地为参照系，取炮弹与炮弹组成的系统为研究对象，系统水平方向的动量守恒。由图可知炮弹相对于地面的速度的水平分量为 ，根据动量守恒定律vcosMvmvcs0所以 此即为炮车的反冲速率。3-2 质量为 M 的平板车，在水平地面上无摩擦地运动。若有 N 个人，质量均为 m，站在车上。开始时车以速度 向右运动，后来人相对于车以速度 u 向左快跑。试证明：(1)0vN 个人一同跳离车以后，车速为 Nmu0(
2、2)车上 N 个人均以相对于车的速度 u 向左相继跳离，N 个人均跳离后，车速为MMmuv 10证明 (1) 取车和人组成的系统为研究对象，以地面为参照系，系统的水平方向的动量守恒。人相对于地面的速度为 ，则vvuNm0所以 v(2) 设第 个人跳离车后，车的速度为 ，第 x 个人跳离车后，车的速度为 ，1x 1xv xv根据动量守恒定律得 xx1x vmNMumNM所以 v1x3-2此即车速的递推关系式，取 得Nx,21MmuvN21Nuv12Mm0将上面所有的式子相加得 Mmuuuv 210N此即为第 N 个人跳离车后的速度，即 umN 03-3 质量为 m=0.002kg 的弹丸，其出口
3、速率为 300 ，设弹丸在枪筒中前进所受到s的合力 。开抢时，子弹在 x=0 处，试求枪筒的长度。9804xF解 设枪筒长度为 L，由动能定理知2021vA其中 LdxFdx0)984(42而 ， 所以有：0v2230.5094L化简可得： m4.8162L即枪筒长度为 0.45m。3-4 在光滑的水平桌面上平放有如图所示的固定的半圆形屏障。质量为 m 的滑块以初速度 沿切线方向进入屏障内，滑块与屏障间的摩擦系数为 ，试证明：当滑块从屏障的另0v rCOy x3-3一端滑出时，摩擦力所作的功为 12120emvW证明 物体受力：屏障对它的压力 N，方向指向圆心，摩擦力 f 方向与运动方向相反，
4、大小为 (1)f另外，在竖直方向上受重力和水平桌面的支撑力，二者互相平衡与运动无关。由牛顿运动定律 切向 (2) tmaf法向 (3) RvN2联立上述三式解得 at又 svttvaddt 所以 Rv2即 sd两边积分，且利用初始条件 s=0 时， 得0v即 0lnlnRvsRev0由动能定理 ，当滑块从另一端滑出即 时，摩擦力所做的功2021mWs为 12212000 evevR3-5 某弹道火箭初始总质量 t，内装 m9.0t 的燃料，由静止开始发射。发9.0M射时喷气速率 ，喷气流量为 q125 ，二者都是常量。不计重力及空310.2usmskg气阻力，求火箭受到的反推力和它在燃料烧尽后
5、的速度。解 取 dt 时间内喷出的气体为研究对象，根据动量定理 muptFd所以 qt火箭受到的反推力 (1)u N105.210.23F3-4设燃料燃烧尽后火箭的速度为 v，根据动量定理(2)vqtMtFdd0燃料燃烧时间 (3)mT联立(1)、(2)两式得 (4)qtuv0d将上式积分得 (5)TvtM0联立(3)、(5)两式得 sm104.29.1ln.2ln 330 muv3-6 初始质量为 的火箭，在地面附近空间以相对于火箭的速率 u 垂直向下喷射高0温气体，每秒钟消耗的燃料量 为常量 C。设初速为零，试求火箭上升速度与时间的td函数关系。解 经过时间 t 后，火箭的速度为 v，由第
6、 27 题知，火箭受的反推力 ncF根据动量定理 vctMtgcFdd00联立两式得 tuvd0对上式积分得 tv tc0d因此 gtMuv0ln此式即火箭的速度与时间 t 的函数关系式。3-7 有一个二级火箭，每一级的喷气速率相对于火箭体都是 u。发射前第一级火箭质量为，包括内装燃料质量 ，第二级火箭质量为 ，包括内装燃料 ；火箭由静止开始1M1m22m发射，当第一级火箭燃料用完时，其外壳即脱离开火箭体，设不计空气阻力和重力，求证当两级燃料全部燃烧完后，火箭达到的速度大小为 2121lnMuv3-5证明 由第 27 题知，第一级火箭燃料烧尽时火箭的速率(1)1211lnmMuv第二级火箭燃料
7、燃尽时，火箭的速度为 ，火箭受的反推力v(q 为喷气量) (2)uF根据动量定理 (3)ttdd2联立(2)、(3)式 mMuqtv22将上式两边积分得 2210dv所以 212lnmuv(4)212lM联立(1)、(4)式得 21212lnmuv这就是火箭的最终速度。3-8 6 月 22 日，地球处于远日点，到太阳的距离为 m，轨道速度为1052.。6 个月后，地球处于近日点，到太阳的距离为 m。求：(1)在近日sm1093.24 47点地球的轨道速度； (2)两种情况下地球的角速度。解 设在近日点附近地球的轨道速度为 ，轨道半径为 ，角速度为 ；在远日点地1v1r1球的轨道速度为 ，轨道半
8、径为 ，角速度为 。2v2r2(1) 取地球为研究对象，其对太阳中心的角动量守恒。 21vrm地地所以 sm103.047.9.541412 rv(2) sad06.047.1371rv3-6srad1093.5.127142 rv3-9 哈雷彗星绕太阳运行的轨道是一个椭圆。它离大阳最近的距离是，其时它的速率为 ；它离太阳最远时的速率是m1075.81r sm1046.51v，这时它离太阳的距离 是多少。s.922v 2r解 彗星运行受的引力指向太阳，所以它对太阳的角动量守恒，它在走过离太阳最近或最远的地点时，速度的方向均与对太阳的矢径方向垂直，所以根据角动量守恒 21vmr由此得到 m102
9、6.5108.947522 3-10 我国第一颗人造地球卫星沿椭圆形轨道运行，地球的中心是椭圆的一个焦点。已知地球半径 R=6378km，卫星与地面的最近距离为 439km，与地面的最远距离为 2384km若卫星在近地点的速率为 8.1 ，求它在远地点的速率是多大?skm解 地球的中心点 O 位于椭圆轨道的一个焦点上，设卫星运动时仅受地球引力的作用，由于该力总是指向 O 点，故卫星在运动的全过程中对 O 点角动量守恒。即21L由于两者的方向一致，上式可直接用大小来表示， 有21lRmvlv得到 skm30.613840679.83212 lRv3-11 如图所示的刚性摆，由两根带有小球的轻棒构
10、成，小球的质量为 m，棒长为 l。此摆可绕无摩擦的铰链 O 在竖直面内摆动。试写出：(1)此摆所受的对铰链的力矩；(2)此摆对铰链的角动量。解 (1) 此摆所受的对铰链 O 的力矩 09sinisinllglMco2m(2) 此摆对铰链的角动量为 L，转动惯量为 I，则2223mlllI3-7所以 tmlILd323-12 有两个质量都等于 50kg 的滑冰运动员，沿着相距 1.5m 的两条平行线相向运动，速率皆为 10 。当两人相距为 1.5m 时，恰好伸直手臂相互握住手。求：(1)两人握住手sm以后绕中心旋转的角速度； (2)若两人通过弯曲手臂而靠近到相距为 1.0m 时，角速度变为多大?
11、解 取两人组成的系统为研究对象，系统对两人距离中点的角动量守恒(1) 设两人质量均为 m，到转轴的距离为 ，握住手以后绕中心角速度为 ，系统对转轴1r 1的转动惯量为 ，则有：1J(1)11Jvr又 (2)22mrJ联立（1） ，(2)式得rad/s3.175.0/1rv(2) 设两人相距 1.0 米时，角速度为 ，此时系统对转轴的转动惯量为 ，两人到转轴的2 2J距离为 ，则2r(3)21J(4)22mrr又联立(2)-(4)式得 rad/s9.5.0/317.0/ 22212 r本题要注意，对于质点系问题应先选择系统，然后通过分析受力及力矩情况，指出系统对哪个转轴或哪个点的角动量守恒。3-
12、13 如图所示，一根轴沿 x 轴安装在轴承 A 和 B 上，并以匀角速 旋转动着。轴上装有长为 2d 的轻棒，其两端各有质量为 m 的小球，棒与轴的夹角为 。若以棒处在 xOy平面内的时间开始计时，则图中所示时刻为 t 的情况。 (1)根据 ，试证明此21iimvrL两小球组成的系统对原点 O 的角动量kjiL tdtdmd sinco2cosins2sn2 (2)求 的表达式，并解释其含义，(3)若 ，则结论如何? t 093-8解 (1) 由图可知 kjir tdtdsincosncos1 vi121vrvrrLmcosinsin0cocos2dtdtmkjikji tdmtmsinco2
13、2s2 (2) jL ttdt sinsinco由 的表达式可看出， 只有 y，z 分量，说明轴承只提供对 y，z 轴的力矩，以保dtL证系统旋转。(3) 当 时， ， ，即角动量不随时间变化。09i2dmi0t说明轴承无需提供力矩。3-14 如图所示，将质量为 m 的球，以速率 射入最初静止于光滑平面上的质量为1vM 的弹簧枪内，使弹簧达到最大压缩点，这时球体和弹簧枪以相同的速度运动。假设在所有的接触中无能量损耗，试问球的初动能有多大部分贮存于弹簧中?解 设地球和弹簧枪的共同速度为 ，将球2v体和弹簧枪看作一个系统，因为水平方向所受合外力为零，所以该系统在水平方向上动量守恒，且碰撞前后速度方
14、向相同，故有(1)21vMmv3-9把球体、弹簧枪、地球看作一个系统，不考虑接触时的能量损失，则该系统的机械能守恒，所以贮存于弹簧中的能量(2)221vMmvW联立以上两式得 2121m2121vvMmmv123-15 已知某人造卫星的近地点高度为 ，远地点高度为 ，地球的半径为 。试1h2heR求卫星在近地点和远地点处的速率。解 地球卫星在其轨道上运行，角动量守恒，即 。在近地点和远地点速度方地L向与轨道半径方向垂直。故 (1)2e1emvhRvh设在无穷远处为引力势能的零点，则在近地点和远地点系统势能分别为 和1ehRGMm地，由机械能守恒定律得2ehRGMm地(2)2e21e21 hRG
15、MmvhRmv地地在地球表面附近有 (3)g2e联立以上三式解得 21e1e1 hRhv21e2e2gR3-16 如图所示，有一门质量为 M(含炮弹) 的火炮，在一斜面上无摩擦地由静止开始下滑。当滑到距顶端为 l 时从炮口沿水平方向射出一发质量为 m 的炮弹。欲使炮车发射炮弹后的瞬时停止滑行，炮弹的初速度 v 应是多大?3-10解 大炮从静止滑动距离 L 的过程中，取大炮(含炮弹）和地球组成的系统为研究对象，系统机械能守恒。设末态大炮的速度为 V，取末态重力势能为零，则由机械能守恒定律，得(1) 2/sinvmMgL大炮发射炮弹的过程中，取大炮和炮弹组成的系统为研究对象，由于重力的冲量可以忽略（与斜面的作用力冲量相比） ，而斜面的作用力垂直于斜面（斜面光滑） ，故斜面方向动量守恒，设炮弹初速为 v， 沿斜面方向的分量为 ，又因炮车末态静止，则cosv(2) cos由(1)、(2)两式得cosin2cosimgLMv3-17 求半圆形的均匀薄板的质心。解 设圆半径为 R，质量为 m，建立如图所示的坐标系，设质心坐标为 ，取图示面积元 ， c,yx rsd则 ，由对称性知：smd2d0cx 34d2sind0c RmrryR所以质心的坐标为 34,03-18 水分子的结构如图所示。两个氢原子与氧原子的中心距离都是 0.958，它们与氧原子中心的连线的夹角为 ，求水分子的质心。015
