1、1毕业论文文献综述机械设计制造及其自动化计算机辅助设计变异性BEZIER曲线的几何特性比较1BEZIER曲线BEZIER曲线是由一组折线集或称之为BEZIER特征多边形来定义的曲线的起点和终点分别与该多边形的起点终点重合，且多边形的第一条边和最后一条边表示了曲线在起点和终点处的切矢量方向。2BEZIER曲线国内外研究现状1962年，法同雷诺汽车公司的工程师PEBEZIER构造了一种以逼近为基础的参数曲线和曲面的没计方法。以这种方法为主完成了一个称为UNISURFI的曲线和曲面设计系统。并1972年在公司投入使用。BEZIER方法将函数逼近同几何表示结合起来，使得设计师在工程设计中能比较直观的意
2、识到所给条件与设计出的曲线之间的关系，能方便的通过输入参数来改变曲线的形状。BEZIER是依据四个位置任意的点坐标绘制出的一条光滑曲线。在历史上，研究贝塞尔曲线的人最初是按照已知曲线参数方程来确定四个点的思路设计出这种矢量曲线绘制法。贝塞尔曲线的有趣之处更在于它的“皮筋效应”也就是说，随着点有规律地移动，曲线将产生皮筋伸引一样的变换，带来视觉上的冲击。PIERREBZIER研究了这种矢量绘制曲线的方法，并给出了详细的计算公式，因此按照这样的公式绘制出来的曲线就用他的姓氏来命名是为BEZIER曲线。由于用计算机画图大部分时间是操作鼠标来掌握线条的路径，与手绘的感觉和效果有很大的差别。即使是一位精
3、明的画师能轻松绘出各种图形，拿到鼠标想随心所欲的画图也不是一件容易的事。这一点是计算机万万不能代替手工的工作，所以到目前为止人们只能颇感无奈。使用BEZIER工具画图很大程度上弥补了这一缺憾。目前在计算机辅助设计中广泛采用三次参数曲线和双三次参数曲面，埃尔米特曲线和贝塞尔曲线就是这一类曲线。大多数设计应用所需要的曲线或曲面的形状很复杂，不能用简单函数定义，而参数曲线可用分段定义，然后连接起来。埃尔米特曲线法是给定一条曲线上两个端点的位置和切向量，求参数型三次多项式中的系数，两段埃尔米特曲线连接的条件是在连接点两曲线段的函数值相同，切向量方向相同、大小成正比。由于切向量的方向和大小是很不容易确定
4、的，因此埃尔米特曲线不便于用交互方式设计和修改，因此其未得到推广。而贝塞尔曲线法是用建立曲线特征多边形，只要移动多边形2顶点的位置，就能够方便的改变曲线的形状，使曲线很快收敛于要求的形状，这给设计者以很强的直观性和极大的方便。贝塞尔曲线的特点是1曲线一定通过始点和终点，并与特征多边形首末两边相切于始点和终点。其余中间点都相当于“拉”曲线靠近自己。因为曲线形状依附于多边形形状，因此，改变多边形顶点，使输入、输出关系有直观感觉，从而控制形状。2多值，参数式允许描述多值曲线，包括封闭曲线。3几何不变性。即贝塞尔曲线依赖于参数，而不依赖于坐标的选择。4凸包性，贝塞尔曲线必定落在特征多边形的凸包之中，不
5、可能出现多余的摆动；5表达曲线的参数多项式的次数可灵活控制。6具有整体控制性，改动一个控制点，就会影响整段曲线形状。利用贝塞尔曲线进行几何构型，是直接控制顶点来构造三维形体，在实际应用中，其构造的曲面较易满足设计所需的数学特性，能保证曲面连接处的一阶或二阶以上高阶导数连续性。3BEZIER曲线曲线的CASTELJAU算法设P0、P02、P2是一条抛物线上顺序三个不同的点。过P0和P2点的两切线交于P1点，在P02点的切线交P0P1和P2P1于P01和P11，则如下比例成立这是所谓抛物线的三切线定理当P0，P2固定，引入参数T，令上述比值为T1T，即有T从0变到1，第一、二式就分别表示控制二边形
6、的第一、二条边，它们是两条一次BEZIER曲线。将一、二式代入第三式得当T从0变到1时，它表示了由三顶点P0、P1、P2三点定义的一条二次BEZIER曲线。并且表明这二次BEZIER曲线P02可以定义为分别由前两个顶点P0,P1和后两个顶点P1,P2决定的一次BEZIER曲线的线性组合。依次类推，由四个控制点定义的三次BEZIER曲线P03可被定义为分别由P0,P1,P2和P1,P2,P3确定的二条二次BEZIER曲线的线性组合，由N1个控制点PII0,1,N定义的N次BEZIER曲线P0N可被定义为分别由前、后N个控制点定义的两条N1次BEZIER曲线P0N1与P1N1的线性组合3由此得到B
7、EZIER曲线的递推计算公式4BEZIER曲线的实现一是上面的贝塞尔曲线方程实现计算BEZIER曲线上的点，可用BEZIER曲线方程已知控制点的坐标，只要T取01之间不同的值，就可以求出BEZIER曲线上的很多点，然后将这些点用小直线段、折线相连，BEZIER曲线也就绘制出来了为了得到好的显示效果，要把间距控制在视觉能接受的范围内二是使用递推算法实现通过设计程序实现递推算法的难点是进行定比分割到什么程度可以用直线段代替曲线如果曲线上的点到其两端点的连线的距离小于指定的很小正数E时，则在显示和绘制时可用直线段代替曲线段，否则对其控制多边形再进行定比分割在适当次数的分割后，分得的每一段曲线都能由其
8、两端点的连线所代替计算BEZIER曲线PT到其两端点连线P0P3的距离DPT，P0P3很麻烦，但是由凸包性可知DPT，P0P3MAXDPL，P0，P3，DP2，PO,0，P3其中，DPI，P0P3表示点PI到线段P0P3的距离计算点到直线的距离要相对容易，故在一定的误差范围内，可用右端代替左端如图中，只要让D1和D2中最大值小于一个指定的很小正数时，就可以用两端点的直线代替曲线段。5BEZIER曲线的应用“BEZIER”工具在PHOTOSHOP中叫“钢笔工具”；在CORELDRAW中翻译成“贝赛尔工具”；而在FIREWORKS中叫“画笔”。它是用来“画线”造型的一种专业工具。当然还有很多工具也
9、可以完成画线的工作，例如大家常用的PHOTOSHOP里的直线、喷枪、画笔工具，FIREWORKS里的直线、铅笔和笔刷工具，CORELDRAW里的自由笔，手绘工具等等。用“BEZIER”工具无论是画直线或是曲线，都非常简单，随手可得。其操作特点是通过用鼠标在面板上放置各个锚点，根据锚点的路径和描绘的先后顺序，产生直线或者是曲线的效果。我们都知道路径由一个或多个直线段或曲线段组成。锚点标记路径段的端点。在曲线段上，每个选中的锚点显示一条或两条方向线，方向线以方向点结束。方向线和方向点的位置确定曲线段的大小和形状。移动这4些元素将改变路径中曲线的形状，可以看右图。路径可以是闭合的，没有起点或终点（如
10、圆圈），也可以是开放的，有明显的端点（如波浪线）。6带形状参数的BEZIER曲线的扩展用BERNSTEIN基函数定义的BEZIER曲线是一种独特的参数多项式曲线，它不仅具有良好的控制性质，而且几何直观和简单。因此，特别适合于人们交互地设计形状。但BEZIER方法也存在缺点，给定了控制顶点，BEZIER曲线就惟一确定了，若要修改曲线的形状，就必须调整控制多边形，但这样做又可能偏离设计者的意图。为弥补这一缺憾，人们开始想办法推广BEZIER曲线，如带形状参数的BEZIER曲线，通过引入2个形状参数，将曲线次数提升2次，使得曲线具有更多的自由度和对控制多边形更好的逼近性，而且这里的形状参数均具有明确
11、的几何意义。这种曲线以一般BEZIER曲线为特例，具有插值于控制多边形端和与控制多边形端边相切等良好的性质。用这种方法可以设计出丰富的曲线形状，满足实际中不同的需求。7二次BEZIER曲线的扩展分段二次BEZIER曲线具有形状简单，使用灵活的优点，应用广泛然而，对给定的控制点，分段二次优点，BEZIER曲线的位置是确定的若要调整曲线的形状则需要调整控制多边形所以使用能生成相对控需要调整控制多边形不同位置的多项式曲线的方法同时具有与分段二次BEZIER曲线相同的结构和一些实用的几何性质；利用乘积型曲面，生成形状可调的曲面。1所给出的曲线生成方法，以二次BEZIER曲线为特殊情形，可以生成位于二次
12、BEZIER曲线附近的不同曲线改变形状参数的取值，可以调整曲线接近其控制多边形的程度。2形状参数，可以成为全局或局部参数修改其值，只影响当前曲线段，因而所构造曲线具有良好的局部性质。3可以在形状参数的取值范围一2，1内，选择不同的参数值，进行曲线设计。4由于所构造的曲线段与二次BEZIER曲线有相同的结构，每段曲线由3个相继的控制点生成，保持了二次BEZIER曲线的一些实用几何性质，因而使用方便可以像双二次BEZIER曲面一样，构造乘积型曲面，并且可以通过改变形状参数的值，调整曲面接近其控制多面体的程度。参考文献1宁汝新等，CAD/CAM技术，机械工业出版社，199952任敏，绘制BEZIER
13、曲线的算法研究J现代机械，2007,13徐甜，刘凌霞BEZIER曲线的算法描述及其程序实现J安阳师范学院学报，2006，54韩旭里，刘圣军二次BEZIER曲线的扩展J中南工业大学学报自然科学版，2003，3422142175吴晓勤，韩旭里三次BEZIER曲线的扩展J工程图学学报，2005，6981026刘值BEZIER曲线的扩展J合肥工业大学学报自然科学版，2004，2789769797FARINGCURVESANDSURFACESFORCOMPUTERAIDEDGEOMETRICDESIGNAPRACTICALGUIDEMACADEMICPRESS，1993，371048BOEHMRATIONALGEOMETRICSPLINEJCAGD，1987，4167779BOEHMWFARINGKAHMANNJASERVEYOFCURVEANDSURFACEMETHODSINCAGDJCAGD，1984，1116010PEBEZIERNUMERICA1CONTROLIMATHEMATICSANDAPPLICATIONSTRANSLATEDBYFORRESTARJOHNWILEYANDSONS，LONDON，1972
