1、从数学教师知识结构现状探专业发展的校本路径310004 杭州市闸弄口中学 易 良 斌摘要：教师的知识结构不仅影响着教学的实施，而且影响着学生的学习。教师的知识结构可以分成本体性知识、条件性知识、实践性知识和文化类知识四个层面。当前初中数学教师知识结构的现状是：教师四个方面知识的掌握与新课程之间有一定的差距，且各教龄段教师对这四个方面知识掌握不平衡；教师对新教育教学理论知识缺乏且滞后；教师的继续教育不能满足教师发展的需求；教师的教育研究能力相对较差，且缺乏必要的教学反思。因此，教师应及时“充电” ；应加强和改进教师的继续教育；通过校本培训来优化教师的知识结构。关键词：数学教师；教师知识；知识结构
2、教师的知识是指教师所具备的各种知识及其掌握程度。从内容上说，一般包括文化科学的基础知识、专业学科知识、教育科学和心理学知识。从知识形成的类型上说，有间接知识，也有直接经验。前者是指从书本学习来的知识，后者是教师在长期的教学工作中不断探索并总结出一套的课堂情境知识和问题解决知识。一、关于教师知识结构的相关研究与评述教师知识研究是在对行为主义“过程一结果”教学研究范式批判之后迅速兴起与发展起来的 20 世纪 50 至 80 年代，西方国家有关教师和教师教育的研究，大多是在以“科学”而著称的行为主义的“过程一结果”研究范式下展开的，这种研究范式注重从数量上分析独立变量与从属变量的相关关系，从而揭示其
3、因果关系。比如寻求与学生成绩或成绩提高之间有统计意义相关的教师知识，而不关心教师知识的结构或维度。美国卡内基促进教学基金会主席舒尔曼 1986在教学研究手册 （第 3 版）对行为科学的教学研究进行了根本性批判，认为“过程一结果”的研究缺乏内容、认知、语境三方面的要义。他指出，倘若要推进教师专业化，就必须证明存在着保障专业属性的“知识基础” ，阐明教师职域里发挥作用的专业知识领域与结构。具体来说，教师知识研究是基于两种需求而问世的。其一是同医生、律师之类的专业教育一样，教师教育中也要求探索构成专业教育之内容的“知识基础” 。其二是要求探索教师在课堂教学中运用的“实践性知识”的内容与性质，这两种不
4、同的需求导致教师知识研究的两种路径，一是“概念性的和分析性的”教师知识结构研究，二是“情境性和实践性的”教师知识结构研究。1 “概念性的和分析性的”教师知识结构1987 舒尔曼提出了教师知识理论框架，以识别 7 种类别的知识，他把教师知识基础分为下列 7 类：学科内容知识、一般教学法知识、课程的知识、与具体内容有关的教学法知识、学生及其发展特点的知识、教育背景的知识、关于教育目标、目的、价值以及教育哲学与历史基础的知识。2 “情境性和实践性的”教师知识结构一些研究者认为，教师所拥有的知识是一种独特的知识，把教师的知识看成是直觉的和缄默的，强调知识的“实践性” 、 “个人性” 、 “情境性” 。
5、康纳利和科兰蒂宁强调教师知识的个人特点，即“个人的实践知识。他们认为，这种知识源于对个人的记叙，旨在满足某一特定情境的需要，是实践性的，具有个体性、情境性、反思佳、经验性、整体性与建构性等特征。莱因哈特发现，教师知识是在学校的具体环境和课堂情境中形成的，这种知识蕴含在环境的组织结构中，能够更准确、更灵活地被使用，并能更有效地帮助学习者学习和解决问题。目前，从整体上看，我国关于数学教师知识的研究还相当薄弱，专门详细地研究中学数学教师知识的论著还没有，对数学教师知识研究的路径也基本上是“概念性的和分析性的” ，主要有以下 4 种研究取向。 （1） “学科知识教育学知识”取向。南京师范大学教育学编写
6、组把教师的知识分为两大类：各门基础知识和专业知识、教育科学知识和心理科学知识同，李秉德、李定仁把教师知识划分为 3 部分：专业知识、文化知识与教育科学知识。 （2）功能取向。北京师范大学心理发展研究所的林崇德、申继亮、辛涛等从知识的功用出发，将教师的知识分为 3 方面的结构内容：本体性知识，是指教师所具有的特定的学科专业知识；条件性知识，即在教学中涉及教师“如何教”的问题和如何使用教育学和心理学规律来思考学科知识问题，即对具体的学科知识做出教育学和心理学的解释；实践性知识，指课堂情境知识，是教学经验的积累。傅道春把教师知识结构分为 3 部分：学科知识、条件性知识和教育情境知识。这种教师知识的研
7、究取向注重研究教师知识的性质、范式、组织和内容。 （3）学科教学取向，这种取向是借鉴西方教师知识研究的成果，从侧重学科教学的角度提出教师知识结构的观点。白益民认为教师的知识结构有 5 个部分：普通文化知识、专业学科知识、一般教学法知识、学科教学法知识与个人实践知识网。 （4）实践取向。陈向明根据教师知识实际存在方式的不同，把教师知识分成两类：理论性知识与实践性知识。二、我们对教师知识结构的基本认识鉴于林崇德、申继亮等学者对教师知识结构作了较为细致与深入的研究，他们的研究成果在目前国内教师知识领域具有一定的影响，且具有一定的可操作性，因此，本研究主要借鉴了他们对教师知识结构的划分方法，从四个维度
8、，即本体性知识、条件性知识、实践性知识和文化类知识来评价教师的知识结构，同时结合新课程改革的发展与数学学科的特点，在具体操作上有了一定的改变。从教师知识结构的功能出发，可以将教师的知识结构分为四个方面：本体性知识、条件性知识、实践性知识和文化知识，这四个方面共同构成教师的知识结构。（1） 本体性知识教师的本体性知识是指教师所具有的特定的学科知识，如语文知识、数学知识等，这是人们所普遍熟知的一种教师知识。从教师是知识的传授者这个角度来看，教师传授的内容必须是教师所掌握和了解的知识。教师的本体性知识是教学活动的基础，在教学活动中，一切是以本体性知识的传授为基础的，教学的最终绩效是用学生掌握的本体性
9、知识的质量来衡量的，因此，教师的本体性知识必须达到一定的水准。但是已有研究表明，教师的本体性知识水平与其教学效果之间并非是线性相关。本体性知识超出了一定水平之后，它与学生成绩之间将不在呈现统计上的相关。即具有丰富的学科知识仅仅是个体成为一个好教师的必要条件。由于学科不同，本体性知识的具体内容是不同的。仅仅从一般意义上说，教师的本体性知识应包括四个方面：教师应对学科的基础知识有广泛而准确的理解，熟练掌握相关的技能、技巧；教师要基本了解与所教学科相关的知识点、相关性质以及逻辑关系；教师需要了解该学科的发展历史和趋势，对于社会、人类发展的价值以及在人类生活实践中的多种表现形态；教师需要掌握每一门学科
10、所提供的独特的认识世界的视角、域界、层次及思维的工具与方法等。（2）条件性知识条件性知识是指个体在什么时候、为什么以及在何种条件下才能更好地运用陈述性知识和程序性知识的一种知识类型。在教学中，条件性知识是指教师知道在什么时候、为什么以及在何种条件下才能更好地运用原有知识、经验开展教学的一种知识类型。即在教学中，如何将本体性知识（学科知识）以学生易理解的方式表达、传授给学生。条件性知识，也就是具体的教育科学知识。教育学和心理学知识被称为教师成功地进行教育教学的条件性知识。条件性知识是广大教师顺利进行教学的重要保障。（3）实践性知识实践性知识是教师积累的教学经验，是指教师在实现教学目的的行为中所具
11、有的课堂情景知识以及与之相关的知识。教师的教学不同于研究人员的科研活动，教师的教学具有明显的情境性。实践性知识受个体经历的影响，这种知识的表达包含丰富的细节，并以个体化的语言而存在。如果把教师的教学看作程式化的过程，忽略教师的实践知识，不利于取得富有成效的教学效果。在教育工作中，很多情况需要教师机智地对待，这种教育教学的机智不是一成不变的，在一种情况下适宜和必要的方法，在另一种情况下可能不恰当。只有针对学生的特点和具体情况恰当的工作，才能表现出教师的教育机智。在处理特殊教学情景时教师所采用的知识来自于个人的教学实践，具有明显的经验性。（4）文化类知识教师丰富的文化知识不仅能扩展学生的精神世界，
12、而且能激发学生的求知欲，事实上，学生的全面发展在很大程度上取决于教师具有广泛而深刻的文化背景知识。具体说，教师的文化类知识包括：基本哲学理论知识，包括辩证唯物主义和历史唯物主义的知识；现代科学和技术的一般常识，包括现代学科的一般原理和现代技术的本质内含；社会科学的理论与观点，例如法律的知识、民主的思想、人类学的观点和社会学的方法等。教师知识结构的上述四方面是紧密联系的：本体性知识是教学活动的实体部分，条件性知识对本体性知识的传授起到理论支撑作用，而实践性知识对本体性知识的传递起到实践性指导作用，文化类知识则是前三类知识融会贯通、内化为教师知识品质的人文知识的提炼与凝结。三、中学数学教师知识结构
13、的基本分析教师的专业知识是其素质的另一重要方面。对此我们对教师在数学课程中的新增内容，如微积分、数据处理、概率统计等 6 个方面的掌握情况进行了调查。问题如：我从未学过的数学内容有哪些?我看过但不熟的数学内容有哪些?我比较熟悉的数学内容有哪些?我最擅长的数学内容有哪些 ?数据表明，对微积分、概率统计和矩阵的掌握情况较好，熟练掌握和基本掌握的教师比率均达到 85%以上，而对于数据处理、数学建模和数学文化等方面约有一半教师了解不多。总体表现为，年轻教师对这些新增内容的掌握情况比老教师略好一些。数学教师在教书育人过程中不断进行自我学习是很重要的。通过对教师们在现代信息技术，如计算机、多媒体、网络等的
14、操作与应用方面掌握程度的调查，有 13.82%的教师能够熟练掌握，34.15%的教师基本掌握，36.59%的教师不够熟练，还有 15.44%的教师未掌握。一半以上的教师对现代信息技术知之甚少，还需要以各种方式进行学习。在调查过程中我们也看到，目前学校积极为教师创造条件，学习现代信息技术，有的学校还举行了课件制作大赛等。但是，除了应重视利用信息技术来呈现课程内容外，更应重视信息技术与课程内容的有机整合，而对于后者，教师们需要更多的学习。对于标准提出的“发展学生的数学应用意识” ，教师认识到其重要性，认为在数学教学中应通过数学活动实践课，数学建模课，数学应用题教学，数学与社会课等途径来发展学生的数
15、学应用意识的教师比率分别为30.52%，25.98%，21.75%，21.75%。而对于在教学中体现数学的人文价值问题，教师们认为其必要性是不可否认的，但在实际教学中能否做到才是难点，只有19.84%的教师认为自己能很好体现，61.91%的教师觉得有必要，却不知道如何实施，18.25%的教师对此抱消极态度，认为只是纸上谈兵，根本不可行，或没想过去体现。以上只是对数学教学中提出的新问题的 2 个典型例子，我们从调查中可以看出，绝大多数教师力图适应时代变化，跟上数学课程改革的步伐，只是在此过程中具体该怎么操作还不明确。对于教师的科研活动，调查显示，有 12.8%的教师经常进行教学研究，如发表教学论
16、文，开展教学实验等，有 61.6%的教师有时进行，还有 25.6%的教师未进行过。分析其原因，一是教师没有科研意识；二是缺乏对教师的科研指导；三是领导不够重视，没有形成科研氛围。标准对数学教师素质的要求远不止以上这些，我们仅选取了一些典型问题进行调查分析。在调查过程中，我们也了解到有些教师对标准知之甚少。通过这次调查，增加了他们的紧迫感。从问卷分析中，我们发现了不少问题，数学教师的整体素质与标准提出的要求有较大差距。1本体性知识这部分是对教师数学信念的考查，即教师对数学本身的认识；教师对自身数学基础知识的评价；从代数、数系、向量的运算法则、中学几何课程的公理体系、统计 5 个方面对教师数学基础
17、知识的考查。结果表明教师的本体性知识总体得分偏低，不同教龄段之间有一定的差异，其中教龄不到 5 年的教师本体性知识平均得分最高，说明年轻教师在本体性知识的掌握方面占有一定的优势，而教龄在 20 年以上的教师总体水平较差。从教师的问卷的具体回答来看，教师的数学信念这一部分的得分较高，及格率为 766，说明大部分教师对数学本身有较好的认识，教师基本上都能认识到，数学应与实际生活紧密结合，学生学习到的数学应是不断变化发展的。而教师的数学基础知识的平均得分较低，平均分为不到 15 分，及格率仅为533，其中 589的教师对“新课程增加了许多新内容，此时我觉得自身的数学专业基础知识己显得陈旧落后”表示同
18、意或有点同意。我们在调查中了解到，目前不少数学教师教龄都在 lO 年以上，他们普遍感到所学知识己经老化，需要更新知识，提高专业知识水平，尤其是面对新课程新增加的内容知识，很多教师感到上课比较吃力。587趵教师对“我觉得自己很难在较高观点下理解教材”表示同意或有点同意，这反映在课堂教学中，对学科知识的深入理解存在很大的局限性，因而在知识的讲解过程中无法讲的较为深入也不敢放得太开、对学生提出的某些棘手问题也往往采用回避的态度由于对某些课程知识的定位缺乏正确的理解，往往会导致只知道教，而不知道为什么教的局面。这些都在一定程度上反映了教师的数学专业基础知识需要进一步加强。但是，从与教师的交流过程中，我
19、们也发现，还有相当一部分教师对于数学教师专业基础知识还缺乏正确的理解，他们认为教师的数学专业基础知识只要足以教学生，能够解题并解决学生提出的问题就足够了。我们认为数学教师的本体性知识包括其数学基础（师范类数学教育专业的课程）还要熟练掌握初等数学知识，如阅读杨浩清主编， 数学题误解分析 ，东南大学出版社；王永建编著， 中学数学易混淆概念辨析手册 ，江苏教育出版社。中学数学教师还要熟悉并逐步掌握新增的数学基础知识，选修系列 3 中的信息安全与密码；球面上的几何；对称与群；欧拉公式与闭曲面分类；三等分角与数域扩充。选修系列 4 中的初等数论初步；优选法与试验设计初步；统筹法与图论初步；风险与决策；开
20、关电路与布尔代数。为考察初中数学教师本体性知识的现状，我们以用三个数学问题为载体进行研究。问题 1.计算问题的分析：有理数的运算，关键是要弄清楚问题的数据特征和问题的结构特征。本题涉及到一百个数据。对于分子，是前一百个分数单位，当分母为奇数时取“+” 、分母为偶数时取“-”的代数和，而分母，是后五十个分数单位的和。问题的解决：解法一:根据算式的结构特点和规律：回归到最基本的几个算式：计算（1） （2） （3）探索计算规律，容易发现：由于 所以 所以 所以 所以109531261 41261543212214312413 1654615461542 109321 解法二:根据分子、分母的结构特征
21、，可以将原式改写为此时，分子变为前 100 个分数单位的和与这 100 个分数单位中分母为偶数的 50 个分数单位的和的 2 倍的差.于是可以继续化简此时，分子变为前 100 个分数单位的和与前 50 个分数单位的和的差.于是可以继续化简，分子的结果为后 50 个分数单位的和，与分母相同，所以原式=1.解法三：对于分子： 依次化简得=如此下去，最后得 = 所以，原式=1.问题 2.十一国庆大阅兵举世瞩目,气势恢宏,扬我国威,振奋人心!九（一）班的全体同学在观看阅兵式后，全班每两个同学都通了一次电话，畅谈感想，共同分享。如果该班有 n 名同学，那么全班同学之间共通了多少次电话？问题的解决：模型一
22、：图形法109532164 109)018642()( 109531)5432()431( 10965431209654132 109876514 0981765 165432 10954312、1、n=2n=3n=4n=5n=6s1s2+1 =3s3+21=6s4+321=0s5+43+21=5、,、,、,、!、模型的意义：（1）直观表现通话次数与人数之间的关系；（2）对于 N 边形，有 n 条边，有 条对角线，共有 条线段。模型二:列表法人数2 3 4 5 6 N次数1 3 6 10 15 模型的意义：感悟特殊到一般的数学思想方法，经历特殊发现猜想验证一般化的过程。模型三:组合法设有 n
23、名同学,每个同学都要和另外的(n-1)名同学打 1 次电话,这样一共打了 n(n-1)次电话,由于甲、乙两个同学是互通电话,所以记数中的两次只能算着1 次,因此总次数为 。模型的意义：注重初高中知识的衔接，领略代数思维的魅力。模型四：函数法、1、1 2 3 4 5 6016 4 12 0 8 6 4 2 、,、,、,、!、观察发现：人数与次数的关系满足二次函数关系。用 x 表示人数，y 表示通话次数，设 2yaxbc 将点（1，0） 、 （2，1） 、 （3、4）代入，求得2)(n2)3(n2)(n。xycba 21,0,21, 所 以模型的意义：函数思想是中学数学的核心思想，教师一定要借助良
24、好的课例，让学生经理建模解模释模的全过程。问题 3.半径为 2 的圆的圆心在坐标原点，两条互相垂直的弦 AC 和 BD 相交于点 M（1， ） ，试求四边形 ABCD 的面积的最大值和最小值。问题的解决：方法一：函数法：（联想拓展）联想：1、已知半径的圆内，弦的长度与弦心距相关，弦长=2 ；2dr2、对角线互相垂直的四边形的面积为对角线长度乘积的一半；所以：若设弦 AC、BD 的弦心距分别为 、 ，1d2则四边形 ABCD 的面积 = 2 24联想：求最大值、最小值可能与二次函数有关系；考虑顶点值和 端点值问题可能得到解决。记 = 这里 ，21d ， 则 xBDxACx 130x则有 S =
25、2 = 2 ，记 ，此414342y函数的图像开口向下，端点坐标为（0，4）和（3，4） ，顶点坐标为（ ， ） 。5所以：当 x = 0 或 3 时，S 有最小值 = 4 ；当 x = 时，S 有最大值 = 5 。2方法二：几何法：（几何直观）联想：四边形面积的最大、最小值一定是两条弦处于特殊的位置的时候，也就是弦的长度具有特殊性。情形 1：如图 1：其中一条弦为直径（过点 M 的最长的弦） ，另一条为过点M 的最短的弦，且与这条直径垂直。不妨设 BD 最长 ，AC 最短。此时 = 0 、 = 。1d23所以 BD = 2r = 4，AC = 2 = 2 。此时 S = 4 。)(2（ 图
26、1） （ 图 2） （ 图 3）情形 2：如图 2：两条弦分别平行于坐标轴。若 AC 平行于 x 轴，则 AC = 2= 2 ，若 BD 平行于 y 轴，则 BD = 2 = 2 ，此时 S 1= 2 。6情形 3：如图 3：两条弦的长度相等。当 MO 为 的平分线，即AMB= = 时，即 = = 。所以 AC = BD = 2 = AMOB451d26 2)6(，此时 S = 5 。10方法三：代数法：由 S = 2 = 2 = 2 214d)4(21d2121)(46dd将 = 3 代入得 S = 2 ，由于 ，所以 S ，2 2121d0即 S 的最小值为 4。由 S = 2 ，联想到
27、2ab 与 a 、b 的关系。根据 21d2 2,0)(2 abba有所以 S ，即 S 的最大5)(8)4()( 21221 dd值为 5。数学思想方法是数学的灵魂。M.克莱因的古今数学思想波利亚的三本世界名著：怎样解题 ， 数学与猜想 （第一、二卷） ， 数学的发现 （第一、二卷） ，赵小平现代数学大观 ， 中学数学思维方法丛书 可以帮助中学数学对数学思想宏观把握。而对数学史和应用数学的了如指掌将会使数学学习引领学生智慧地穿越知识原野。2 条件性知识条件性知识这部分的调查问题，是关于教师对学生的理解，教师对教与学的理解，关于教师如何评价学生的理解。我们以何小亚老师在与新课程同行数学学与教的
28、心理学中提出的十个问题设计问卷和访谈要点，探讨数学教师条件性知识的现状。问题一：什么是数学形象思维？它有哪几种形式？它在数学问题解决中起什么作用？如何培养学生的创造性思维？问题二：数学符号语言学习的心理过程是什么？要学生掌握数学符号语言就是要学生掌握什么？为什么学生总是把“-a”当成负数？ 问题三：儿童的良好行为习惯是如何塑造出来的？决定性的手段是什么？问题四：什么是接受学习？什么是发现学习？发现学习的过程是什么？它有什么特点？现代学习方式的基本形式有哪些?问题五：什么是机械学习？什么是有意义学习？有意义学习的类型是什么？有意义学习的条件是什么？问题六：什么是数学认知结构？良好的数学认知结构的
29、特征是什么？如何帮助学生建构良好的数学认知结构？ 问题七：数学教学的本质是什么？学生和教师在数学教学中应处于什么样的地位？学生喜欢什么样的教师？学生不喜欢什么样的教师？要做一名深受学生爱戴的教师，我们应从哪些方面努力呢？问题八：数学概念学习的心理过程是什么？其教学模式有哪些？如何教好数学概念？ 问题九：数学原理学习的心理意义是什么？其学与教的形式有哪些？如何教好数学原理？比如让学生理解公式就要学生理解什么？问题十：什么是问题和问题解决？数学问题解决的心理过程是什么？学生解决数学问题的心理障碍和教学对策是什么？ 从教师的问卷回答来看，问题主要表现在对学生的理解和对学生成绩评价两个方面。对学生的理
30、解方面，544的教师对“我觉得现在的学生越来越难理解，与他们沟通、交流是一件比较困难的事”表示同意或有点同意，522的教师对“现在很多学生对学习没有兴趣，我也没有办法”表示同意或有点同意，这说明目前很多教师在与学生的沟通上还存在着很大的障碍，对现在的学生还缺乏足够的了解。关于学生成绩的评价方面，有 48，9教师对“评价的根本目的是为了甄别学生和检查教学”表示同意或有点同意，512的教师对“教师对学生数学学习的评价最主要的是要关注学生学习的结果”表示同意或有点同意，这说明大部分教师对关于学生成绩的评价的理解还是停留于结果性评价。从访谈中我们了解到，一方面客观条件限制了教师的发展，教师们很少有机会
31、走出去接触到数学教育理论发展中出现的新思想、新观点、新方法，既使有机会，教师所受的职业培训中理论知识教学也是低效的，还有“习题操练”“题海战术”占去师生大量时间，教师们疲于奔命，穷于应付，无暇顾及教育理论。另一方面，教师的主观认识也影响到教育理论学习的效果，教师过分相信自己的经验，对理论本能拒绝，这可能源于两个原因，一是理论本身的局限性，当前理论研究停留在抽象的思辩、演绎层次上，理论缺乏实践基础；二是教师先前的学习体验，教师曾经在参加职业培训时，培训者没有充分利用教师的经验来启发认知，没有把教育理论和认知经验整合起来，从而造成教师把教育理论和教学经验对立起来，实际上二者是互为作用的。我们在研究中对于教师的教育科研也给与了一定的关注，从与教师的交流中我们发现，教师的教育教研能力整体水平偏低，其教育教研水平基本上处于自发成长的状态，大部分教师的科研工作还只是停留在工作经验的总结阶段，缺乏在一定理论指导下的高层次的科研活动，教师们普遍反映缺乏必要的科研知识，即理论的指导。中学数学教师条件性知识结构的改进主要有两方面的内容，一是数学教学
