1、1初中学生数学习题错误原因及对策 海盐博才实验学校 郭瑞华 王生飞 摘要：作业错误在教学中是种普遍现象。错误的出现与学生的学业水平之间没有明显的关系，无论是学困生还 是优等生，作 业都或多或少存在这样那样的错误。所以我 们对待学生的作业错误，首先要理解、宽容学生的错误 ，同 时要重视错误，剖析产生错误的过程，教学中作出调控和修正。本文试图从合理利用学生习题错误资源；开发典型错题，减少盲目解题出现的错误；引导学生反思、归纳、提炼，提升学生的数学思 维品质及解题能力等方面作为切入点，让 学生在纠错、改 错中感悟道理，领悟方法；同时从课堂教学出发，改进 教学方法，从错误作业中领略成功， 实现轻负 高
2、质的目标。关键词： 错误习题 成因与对策美国著名数学教育家波利亚说过，“掌握数学就意味着要善于解题”。解数学问题是学习、研究、应用数学的重要环节与基本途径。在数学心理学中，思维被看成是解题活动，虽然思维并非总等同于解题过程，但数学思维形成的最有效的方法是通过解题来实现的。作业是课堂教学的延伸，是对教学结果的检验、巩固，也是数学知识转化为技能，培养学生思维品质的重要途径，错误作业是反映学生掌握数学知识的程度，衡量教师课堂教学的方式方法是否恰当的尺度，它是教师可贵的教学资源。作业错误在数学教学中是普遍的现象。错误的出现与学生的学业水平之间没有明显的关系，无论是学困生还是优等生，作业都或多或少存在这
3、样那样的错误。所以我们对待学生的作业错误，首先要理解、宽容学生的错误，同时要重视错误，剖析产生错误的过程，作出调控和修正，进行拓展运用。学生作业中存在错误，原因可能是多方面的，有教师教学方法欠佳而没有引起学生高度重视，有引导学生挖掘知识内涵不够深刻，或题目确实难度较高，学生难以理解或理解错误。在数学教学中，如何利用错误作业这可贵的教学资源，本文从以下几个方面加以阐述。一、知识性错误及对策1、知识性错误的概念知识性错误是指对概念及性质的认识模糊不清导致的错误；忽视公式，定理，法则的使用条件而导致的错误；忽视隐含条件导致错误；遗漏或随意添加条件导致的错2误。2、对策：正确看待学生的习题错误，合理利
4、用学生习题错误资源错题和知识点是现象和本质的关系。纠错是学习中不可缺少的一个环节，通过纠错可以帮助学生不断完善认识和理解概念，提高其解题的“免疫” 力。一个正确的认识、念头和做法，无不经历多次与错误的周旋，所以在学习中要为学生开辟好纠错的各种途径。在教学中要宽容学生的错误，重视错解中合理成分的提取和激活，使学生在心理上认同和接受“ 纠错” ，并自觉对自己的想法和做法作出修正和调整。案例 1：计算 2x学生小 A 的解法：原式=2 84)()2( xx显然有误，有学生在下面轰笑。小 A 很尴尬。我问：“错在哪？”生答：“张冠李戴了，把分式运算当成了解方程。”小 A 是一个对数学不太敏感的女生，为
5、了树立小 A 学习数学的信心，我决定帮她挽回一点面子。我说：“小 A 把分式运算当成了解方程，显然是错的，但给我们一个启示，能否考虑利用解方程的方法来解它呢？”学生经过思考、讨论，最后终于形成了以下解法：设 x2去分母得： )2()2()( xAx解得： )(8)(A错误是极佳的学习契机， 教师既要引导学生发现解题过程中的错误，让学生提出不同解法并进行比较，又要指出这种错误解题过程中的合理成分，使产生这种错误的学生在实事求是的激励性下接受帮助。让学生主动参与找错、议错、评错、赏错，对学生来讲是一种可贵的成功体验。有时课堂上的一些错误反而会给课堂注入新的生命力。学生产生的错误是宝贵的教学资源，只
6、有善待学生的错误，给学生说理的机会，3才能充分挖掘错误的根源，引领学生走向成功。这种教育的效果远远胜于直接告诉学生一个正确的结论。在课堂上教师可主动暴露错误过程，通过模拟错误的思维和心理过程，再现学生各种可能的解题错误，并找出错误的原因，及时解决学生的解题困惑，从而从根本上清楚学生头脑中错误概念的信息。案例 2：文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时，画出图形，写出“已知” ， “求证” （如图） ，她们对各自所作的辅助线描述如下：文文：“过点 A 作 BC 的中垂线 AD，垂足为 D”；彬彬：“作ABC 的角平分线 AD”数学老师看了两位同学的辅助线作法后，说：“彬彬
7、的作法是正确的，而文文的作法需要订正 ”（1）请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里（2）根据彬彬的辅助线作法，完成证明过程学生常会有以下三种典型的错误，一是对问题（1） ，由于学生平时只重视如何用尺规作中垂线，而忽略了做法本身的可行性。二是由于审题不仔细，误将已知条件当作结论，结果导致全盘错误。三是由于此题是学生平时非常熟悉的，从而受思维定势的影响， “想当然”地给出答案，结果导致用定理本身来证明定理的错误。因此平时教学必须加强梳理知识点的脉络结构，理解各个知识点的内在联系，形成知识系统，而不是死记硬背去记忆定理。当代科学家波普尔说：“错误中往往孕育着比正确更丰富的发现和创造因素” 。因此，纠
8、正错误，弄清楚错误之处，回忆解决问题的结果和过程，找出错误的根源，分析出错的原因，明确正确的解题思路和方法，这是培养学生思维的批判性和深刻性的重要途径。寻找类同题，在可能的范围内，找出某错题所有相关的同类题，并针对同类习题进行重点练习、解决。深入分析某错题误解原因，如果是该错题所属的知识点没有掌握，则找出该知识点的所有习题；如果因为该题型的解题方法没掌握，则找出所有同类题型。错误重复现象的主要原因是在纠正错误后，没有及时地补救性强化训练。通过同类题的练习，（第 19 题图）已知：如图，在中，ABC求证： AB D C4以巩固新的“认知平衡”和“认知框架” ，达到彻底纠正错误，减少错误重复的现象
9、。对于屡次出错的问题可尝试让学生按以下要求整理。项目 分析 复习时间页码：错题出处题号：所属知识点 章 节 知识点：表面原因：错误原因深层原因：正确解法规律总结 12寻找同类题目页 题： 页 题： 下次温习此题的时间1：第 2 天2：第 10 天3：第 30 天课后建立个人错题档案，定期开展纠错交流，引导学生经常性反思错误的成因，以提高自我诊断能力，优化思维品质。在每单元学习结束后，学生会积累了一些错题，同学之间可以交流一下解题经验与技巧。可以找三五个要好的同学开一次错题分享会，每个人准备两道自己做错的典型题目，与大家分享自己的错误原因，同时与大家交流题目的正确解法、题目涉及知识点，同类题应对
10、方法等。针对某错题进行讲演是一种整合思维进行表述的过程，可以考验学生对错题所属知识点的把握程度及对错题解析方法的清晰熟练程度。二、逻辑性错误及对策1、逻辑性错误的概念逻辑性错误主要表现为思维混乱，推理不严，表达不清。数学推理必须严密周全，否则得出的结论就不准确。有些学生思维发展水平低，思维离不开具体的直观对象的支撑；概括能力弱，对具体事物、表象进行提升有障碍；推理能力弱，数学知识、能力、方法准备不足，推理思路不明；思维品质差，解决数学问题时，往往只作肤浅的思考。2、对策：开发典型试题，培养学生应变能力 ，降低盲目解题出现的错误教材中的例题和习题是经过编者的精心挑选的，具有典型性、示范性，同时也
11、给5教师留下了广阔的创造空间，只要我们认真专研，许多例题、习题都可以拓展延伸，类比迁移，减少盲目解题出现的错误。案例3：如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG ，连结 BG，DE我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所所在直线的位置关系 （1）猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；将图 1 中的正方形 CEFG 绕着点 C 按顺时针 (或逆时针)方向旋转任意角度得到如图 2、如图 3 情形请你通过观察、测量等方法判断中得到的结论是否仍然成立,并选取图 2 证明你的判断。（2）将
12、原题中正方形改为矩形，且 AB=a，BC=b，CE=ka， CG=kb (ab,k0)，第(1)题中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图 5 为例简要说明理由(3)在第(2)题图 5 中，连结 DG,BE,且 a=3,b=2,k=0.5,求 BE2+DG2 的值此题从探索 AF 与 BD 的数量关系到探索它们的位置关系，从特殊的 A、B、C 三点共线到一般情形的不共线，又从正方形背景推广到以相似矩形为背景，能很好的培养学生观察、归纳、类比等数学合情推理、提出猜想和运用逻辑推理证明猜想的能力，能体会到特殊与一般的转化思想，运动变化思想，动静结合，在运动变化中寻求不变。“选题不在难，有思想
13、方法则灵；做题不在多，典型变形就行” ，在我们的教学中，图 11图 2 图 3图 6图 4 图 56要发挥教材对学生数学学习的基础性和示范性作用，以教材为源，以学生为本，在深入研究的基础上循序渐进地开展变式训练。利用变式来改变题目的条件或结论，揭示条件、目标间的联系，解题思路中方法之间的联系与规律，从而培养学生联想、转化、推理、归纳、探索的思维能力，把学生的思维不断引向深入。在教师的熏陶下让学生也学会“变题” ，让学生自己去探索、分析、综合，以提高学生的数学素养。从一个问题入手，挖掘其内涵，进行必要的、科学的引申，不但可以提高解题能力，培养学习兴趣，还可以培养联想能力，渗透类比思想，可以让相关
14、、相似知识的规律性内化为学生的知识与能力。从而使学生达到“解一题，带一串，通一类”的理想境界。三、策略性错误及对策1、策略性错误的概念策略性错误是指解题思路阻塞或一种策略产生错误导向，或是一种策略明显增加了过程的难度和复杂性，由于时间的限制，问题最终得不到解决。2、对策：多角度思考问题，多途径解决问题数学教学的一个很重要的任务，就是教学生学会如何解数学习题，学会“数学的思维” 。 “是什么促使你这样想、这样做的？” ， “是怎样想到这个解法的？” “为什么要这样做？”等层面的问题都属于思维策略问题。思维策略能力是解题能力的核心。光有基础知识、具体方法和经验是不够的，为判断用什么方法、用什么知识
15、必须对问题解剖、识别、加工、组织并创造条件，即必须具有定的思维策略能力。有时解题受阻的原因并非知识缺乏，而在于没有正确的解题策略，导致盲目解题，致使解题陷入混乱招致失败。 案例 4：如图，AD 和 AE 分别是ABC 的内、外角平分线，且ACB-B=90 0.求证：AD=AE.一般性解题策略：怎样说明 AD=AE 呢？说明两条边相等有哪些方法？试试这些方法，在本题中用哪些方法好？功能性解题策略：尝试用等角对等边来说明它。可以通过已知条件来计算ADC 和E，或用已知角来表示它们。特殊性解题策略：怎样计算或表示呢？把已条件转化为角的关系式！“解题的价值不在于答案本身，而是在于弄清是怎样想到这个解法
16、的” 。教学中忌ABCDEF5图7就题论题地给出解答并演练，要展现思路尤其是思路的寻找过程。我们反对只重结果，不注重学习过程；只重死记硬背，不注重内化学习；只重机械训练，不注重体验反思的教学。对学生解题思维策略能力的培养是提高学生数学素养的重要方面。四、心理性错误及对策1、心理性错误的概念心理性错误主要表现为缺乏坚强的意志和信心，具有依赖心理，缺乏主动钻研精神；急功近利，急于求成，盲目下笔，导致解题出错的急躁心理现象。数学解题除需扎实的数学知识、基本技能和较强数学思维能力之外，还需要有良好的心理素质，否则既使知识技能掌握得不错，也可能因为心理障碍而产生错误。2、对策：尊重差异，实施分层教学，为
17、学困生创设成功机会学生的个体差异表现为认知方式与思维策略的不同，以及认知水平和学习能力的差异。教师要及时了解并尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要。教学中尊重学生在解决问题过程中所表现出的不同水平。问题情境的设计、教学过程的展开、练习的安排等要尽可能地让所有学生都能主动参与，提出各自解决问题的策略，并引导学生在与他人的交流中选择合适的策略。对学习有困难的学生，教师要给予及时的关照与帮助，要鼓励他们主动参与数学学习活动，尝试着用自己的方式去解决问题，发表自己的看法。设计问题时要从学生认知实际出发，设置多个台阶，分步到位，情境启发，诱导学生尝试探索。案例 5：教学最终目标是解决以下问题：已知等
18、腰三角形的一个内角是 ，求其on余两个角的度数。如果直接给出上述问题，由于问题有一定的难度，势必会造成很多学生无法参与，故我把它分解成以下三小问题：（1）已知等腰三角形的一个底角为 ，求其余两个o50角的度数。 （2）已知等腰三角形的一个内角为 ，求其余两个角的度数。 （3）已知等o50腰三角形的一个内角为 ，求其余两个角的度数。o10我们知道，在（1）中只有一种情况；在（2）中，要考虑这个角是底角还是顶角；在（3）中，角只能是顶角，因为底角不可能是钝角。在解决这三个问题后，此时教师提出（4）：已知等腰三角形的一个内角是 ，求其余两个角的度数。这样，问题变得on较为清晰，学生从（1） 、 （2
19、） 、 （3）的解决中得知，此处的 应考虑 和 90n90n两种情况，而在 时，又要考虑这个角是顶角还是底角。于是，问题的讨论变90n8得清晰与自然，分类讨论的数学思想也已渗透其中。根据循序渐进原则，编排以上有层次的练习，为学生创造了成功的可能。特别地，为学困生创设数学学习的成功机会，逐步树立起他们的学习信心。也体现了课标所倡导的“人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展 ”。由上述可知：教师若能经常引导学生对做过的习题进行反思、对比、归纳、提炼，学生的解题能力必将会提高。在平时的教学中我们可通过以下方面培养学生的反思品质。思规律：数学活动后，引导学生反思，归纳和揭示活动中隐含的
20、数学规律。思体系：新知识形成后，引导学生比较新旧知识的联系和区别，建立新的认知结构。使重要数学方法、公式、定理的应用规律条理化，知识体系系统化。思因果：例题教学后，引导学生思考在解题过程中用了哪些知识点，前后知识如何贯通，归纳其中用到的知识、解决问题的思路和方法、解题的基本步骤和书写建议，形成正确的解题策略。思变通：巩固练习后，对典型习题要适当变化、引申、拓展，以拓宽思路，扩大做习题的收获。思多解：对用多种方法解决的问题，教师要引导学生分析比较各种方法的优势和特点，总结解题方法，揭示解法的本质、寻求最佳解法，使学生的发散思维得以收敛，张扬的个性得以升华。提倡解题以后的数学思想方法的反思。养成反
21、思习惯，特别从数学思想上进行提炼和反思，这对提高数学能力有帮助。通过解题后改进解题过程、探讨知识联系、知识整合、探究规律等一系列思维活动，让学生的思维在解题后继续飞翔。结束语：学生的作业正确与错误交织，对错误正确对待、认真分析、有效控制，就能够使学生的学习顺利进行，能力逐渐提高。通过改进我们的教学，我们可以有效地帮助学生减少出错的频率，但无法消除学生错误的出现。因此，教师要正视学生的错误，将纠正学生错误看作是自己教学的一部分，针对不同的学生、不同的错误，开出不同的处方，然后对症下药，将纠错工作进行到底。参考文献 王福英 数学复习中试卷讲评课的探究 中国数学教育 2009 年第 5 期潘小梅 由一道作业题的订正引发的探索与反思 中学数学教学参考 2009 年第 1-2 期9罗增儒 怎样学会解题 中学数学教学参考 2009 年第 3 期初中数学教学案例专题研究 张绪培 浙江大学出版社
