1、1圆的一般方程教学设计汕头一中数学组 林媛时间：2013.11.27. 地点：高二（16）班（文科）一教材所处的地位和作用圆的一般方程安排在高中数学必修 2 第四章第二节。圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用。圆的一般方程属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是思想方法上都有着深远的意义，所以本课内容在整个解析几何中起着承前启后的作用。二学情学法分析圆的一般方程是学生在掌握了圆的标准方程的基础上进行研究的，但由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，且对坐标法的运用还不够熟练，在学习过程中难
2、免会出现困难。另外学生在探究问题的能力，合作交流的意识等方面有待加强。因此，在新授课教学设计上由问题提出、探索研究、交流归纳三个板块组成,采用了特殊到一般，由具体到抽象的认知方式。根据上述教材所处的地位和作用分析，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，我制定如下教学目标：三教学目标知识与技能：(1) 掌握圆的一般方程及一般方程的特点 (2) 能将圆的一般方程化成圆的标准方程，进而求圆心和半径(3) 能用待定系数法由已知条件求出圆的方程过程与方法：(1) 进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力；(2) 加深对数形结合思想的理解和加强待定系数法的运用情感，态度与价值观：(1)培养学生主动探究知识
3、、合作交流的意识；(2)培养学生勇于思考，探究问题的精神。(3)在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣。四教学重点与难点重点：(1) 圆的一般方程的特征；（2）一般方程与标准方程的互化；(3) 待定系数法求圆的方程。难点：(1) 二元二次方程与圆的一般方程的关系；(2)能根据条件适当选择方程形式求圆的方程。五.教学过程设计：(一)复习引入上节课我们在平面直角坐标系中对圆的标准方程进行了定义和学习。请大家回忆圆心为 ,半径为 r的圆的标准方程是什么？ab22()()xyb如果圆的圆心在坐标原点，那么圆的标准方程是什么？222xyr（二）讲授新课我们把一般情况下的圆的标准方程展开，看能得到什么样的
4、方程？【板书】2222()()0=-,F+=xaybrarDexyE令上 式 就 变 成可见，任何一个圆的方程都是一个二元二次方程。【探究 1】那么能不能反过来说 2+F0Dxy就一定是圆的方程？探究练习：判断下列方程是否表示圆？如果是，说出圆心和半径。1 0342yx2 13 52yx4 075 2yx6 6x【分析】 （1）是一个二元二次方程，但很显然不是圆的标准形式，那么我们要判断是不是圆就要看它有没有圆心，有没有半径，能不能化成圆的标准方程的形式。我们怎么办？配方。配方之后我们就可以看到它是不是圆，若是，其圆心和半径也能看出来。比较两个方程，一个叫做圆的标准方程，另一个就是我们今天要学
5、习的圆的一般方程。在上例中我们也可以看出圆的一般方程和圆的标准方程之间的转换：x 2 + y 2 -2x + 4y + 3 =0(x - 1)2+ (y + 2)2=2 （2 ）和（3 ）虽然也是 +F=0xyDE的形式，但却不表示圆。【学生讨论】为什么？根据上面例子，探究 2+F=0xyDE满足什么条件时才表示一个圆？找到方法可以把它配方：配方展开3【板书】 222+F()+-()=0DExy224()(=【结论 1】：（1 ） 当 240DEF时，方程表示的是一个圆，圆心为 (-,)2DE,半径为（2 ） 当 2=时，方程只有唯一的解 x=-,y，表示的是一个点(-,)E（3 ） 当 24
6、E时，方程 2+F=0xyDE称为圆的一般方程。4- 圆 心 为 （ ,） 半 径 为【探究 2】：圆的一般方程与二元二次方程的比较： 2 0AxByCDxEyF圆 的 一 般 方 程 为 二 元 二 次 方 程 ， 而 二 元 二 次 方 程 的 基 本 形 式 为那么一个二元二次方程在什么条件下才表示圆？分析上例（4） 、 （5） 、 （6 ） ，归纳圆的一般方程具有的特征：【结论 2】：（1 ） ,xy前面的系数 0A（2 ）不存在 项，即 B（3 ） 24DEF（三）例题讲解：例 1：说出下列方程满足什么条件时表示圆？并求出各圆的圆心坐标和半径。（1 ） 02byx（2） 32a【点评
7、】配方法化标准方程。例 2（续）： ABC三个顶点坐标分别为 A(5,1), B(7,-3),C(2,-8)，求其外接圆的方程。解题思路一： xyOEA(5,1)B(7,-3)C(2,-8)4提示 1：我们要求圆的标准方程，需要确定圆心，那么三角形外接圆的圆心有何性质？如何确定呢？（到三个顶点的距离相等。利用弦的中垂线过圆心来求圆心。 ）提示 2：再利用两点间的距离公式来求半径。解题思路二：就像之前我们求直线的方程那样，常用待定系数法。那么上节课我们用了标准方程求解，今天用一般方程求解。两种方法都试一试，比较一下。 22+F=026-5048DE+F=0-=0xyDExy解 ： 设 圆 的 一
8、 般 方 程 为圆 的 一 般 方 程 为17()612所以圆的方程为 4【与上一节课的方法比较，你有什么体会？】总结 1：一道题目可以从几何和代数的两个角度来考虑，适当选择合适的形式来求解圆的方程。总结 2：圆的一般方程与标准方程的比较（1 ） 两个方程中均含有三个参数，标准方程是 a,b,r,一般方程是 D,E,F（2 ） 标准方程的优点是能从方程中直接读出圆心和半径，而一般方程的优点是能从一般的二元二次方程中找出表示圆的二元二次方程。一般地，如果由已知条件易求得圆心坐标、半径或需要利用圆心坐标或半径列方程，常选用标准方程；如果已知条件与圆心坐标、半径无直接关系，常选用一般方程。当堂练习：
9、（多解法）（1 ）已知 ABC的顶点坐标分别为 A(0,2), B(4,2),C(4,0)，则其外接圆的方程是_.（2 ）圆 C 的圆心在 x 轴上，并且过点 A（-1，1 ）和 B（1，3） ，求圆 C 的方程。 （习题A3）（3 ）已知圆经过 A（2，-3 ）和 B（-2，-5） ，若圆心在直线 上，求圆的02yx方程。 （学案跟踪训练 2）（四）课堂小结1. 圆的一般方程的定义： 20xyDEF（ 24DEF）2. 圆的一般方程和标准方程的比较和互化，并能判断一个二元二次方程是否为圆。3. 适当选择方程形式，求圆的方程。（五）布置作业1. 课本习题 4.1A 组 2、32.学案课时训练 15；3.课后思考：求过点 (1,)M且圆心与已知圆 C： 2+-463=0xy相同的圆的方程。找一找同心圆的方程有何特点？5分析：圆的标准方程的两个要素：圆心和半径。所以此题在于求得圆心法一：圆 C 的圆心坐标为 2,3DEaB所以圆 O 的圆心坐标为（2，-3） 2|345rM法二：设圆 O 的方程为 +-6m=0xy(1,)2代 入 得 到 2-41xy所 以 方 程 为
