1、 数值分析第二章2当 时， ,求 的二次插值多项式。1,2x()034fx()fx解： 012200102101222,()()3()4;1(2)()6()1)(3fxffxl xxxl x则二次拉格朗日插值多项式为 20()()kLxylx22341()(1)3576llxx6设 为互异节点，求证：,01,jxn（1） 0()nkkjlx(0,1);n（2） 0()(nkjjjl(,);k证明（1） 令 ()kfx若插值节点为 ，则函数 的 次插值多项式为 。,01,jn ()fxn0()()nkjLxlx插值余项为(1)1() ()!nnnnfRxfL又 ,k(1)0nfRx0()nkkj
2、l(,1);n0002()(nkjjjjikikjjinniikjixlClxxl由上题结论可知又 0()nkijxl0()()nikiikCxx原 式得证。7设 且 求证：2(),fxCab()0,fb21mamx.8xbab解：令 ，以此为插值节点，则线性插值多项式为01,0101()()xxLff= bafafx1()0Lx又插值余项为 101()()()()2RfxLfxx02fx012210()()()4xxxba又2mx()max().8abbff8在 上给出 的等距节点函数表，若用二次插值求 的近似值，要使4exe截断误差不超过 ，问使用函数表的步长 h应取多少？610解：若插值
3、节点为 和 ，则分段二次插值多项式的插值余项为,ix1i2 1()()()3!iiiRxfx14ma()6iiixxf设步长为 h，即 1,iiiih434322().67Rxee若截断误差不超过 ，则6106243()70.5xeh9若 ，42,.nnyy求 及解：根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解。 n44(1)nnyEy44044040(1)(1)22jjnjjnjjjjnjnEyyy1442()nnE242nyy16 求 及 。74()31,fxx0172,F 0182,F解： 若 2,0,8iix则 ()01,!nff (7)01, 1!ffx(8)01, 0!ff19求一
4、个次数不高于 4次的多项式 P（x） ，使它满足(),()1,(2)PP解法一：利用埃米尔特插值可得到次数不高于 4的多项式01,xym1130021012()()()(1)j jjHxyxmxx21002)(3)xx021()2323)(1)Hxxx设 0()PA其中，A 为待定常数 322()1(1)xx4从而 21()(3)Px解法二:采用牛顿插值，作均差表： ix)(if一阶均差 二阶均差01201110 -1/2 ,)(,)()( 210100 xfxxfxpx )(21BA/BA又由 ,1)(,)0(p 得 ,4,3所以 .3422x第四章1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数
5、精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度： 10121 120()()()();)(3()2()3)/;4)0/(0);hhhfxdAfhfAfhfffxfxdhafh解：求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过 m的多项式均能准确地成立，但对于 m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。（1）若 101()()()()hfxdAfhfAfh令 ，则f02令 ，则()fx1h令 ，则2()f321A从而解得01433hAh令 ，则 3()fx3()0hhfxdx101()()()0AfhfAfh故 成立。令 ，则101()hdAf 4x451012
6、()()()3hhfxxffh故此时， 101()()hfxdAffAfh故 101()()()()hfxdAfhfAfh具有 3次代数精度。（2）若 2101()()()()hffff 令 ，则()1fx14令 ，则 10Ah令 ，则2()fx3216从而解得014383Ahh令 ，则 3()fx223()0hhfxdx101()()()0AfhfAfh故 成立。2101()hdAAf令 ，则 4()fx22456()hhfxx5101()3hf故此时， 2 01()()()hxdAfhfAfh因此， 具有 3次代数精度。12()f（3）若 1 12()2()3)/xffxf令 ，则()f1
7、 12()/dfx令 ，则 x120x令 ，则 2()f 3从而解得 或12.89056x12.6890x令 ，则 3()fx113()0fxdx12()2()3)/0ffxf故 不成立。因此，原求积公式具有 2次代数精1 122()/dff度。（4）若 20()(0)/(0)hfxfhaffh令 ，则 1f0,hdx 2/(0)affh令 ，则()x200 21()/(0)hhfdaffh令 ，则2fx2300 321() 1/(0)hhfdxaffhah故有 321hha令 ，则3()fx340024411()/(0)2hhfdxffhh令 ，则4fx45002551() 1/(0)236
8、hhfdxffhh故此时，20 1()(0)/(0),hfxdfhffh因此， ()()f具有 3次代数精度。7。若用复化梯形公式计算积分 ，问区间 应多少等分才能使截断误差不超10xIed0,1过 ？610解：采用复化梯形公式时，余项为 2()(),)1nbaRfhfab又 故10xIed,01.xxe22()()1nRfhfh若 ，则 当对区间 进行等分时，610,hn故有 因此，将区间 476等分时可以满足误差要求1206en第五章2. 用改进的欧拉方法解初值问题 ,1)0(;yx取步长 h=0.1计算，并与准确解 e2相比较。近似解 准确解 近似解 准确解0.1 1.11 1.1103
9、4 0.6 2.04086 2.044240.2 1.24205 1.24281 0.7 2.32315 2.327510.3 1.39847 1.39972 0.8 2.64558 2.651080.4 1.58181 1.58365 0.9 3.01237 3.019210.5 1.79490 1.79744 1.0 3.42817 3.436563、解：改进的欧拉法为1 12(,)(,(,)nnnnnyhfxyfxyhfxy 将 代入上式，得(,)fx2 111nnnnhhxxyy同理，梯形法公式为21 112()() hhnnn nnx将 代入上二式， ，计算结果见表 950,0.1y
10、表 95nx改进欧拉 ny|()|nyx梯形法 ny|()|nyx01020304050005500002192750000501443880090930671014499225730.3741860523.9201760.5280005238095002140589600493672390089903692014372238840.751328036.4930237810.5可见梯形方法比改进的欧拉法精确。4、用梯形方法解初值问题 ,1)0(;y证明其近似解为 ,2nnh并证明当 0h时，它原初值问题的准确解 xey。证明：梯形公式为1 1(,)(,)2nnnnhyfxyfxy 代 入上式，得(,)fx1 12nnnhyy解得
