1、证明或判断等差（等比）数列的常用方法湖北省 王卫华 玉芳翻看近几年的高考题，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，如何处理这些题目呢？且听笔者一一道来一、利用等差（等比）数列的定义在数列 中，若 （ 为常数）或na1nnaad（ 为常数） ，则数列 为等差（等比）数列这是证明数列1nqana为等差（等比）数更最主要的方法如：n例 1 （2005 北京卷）设数列 的首项 ，且 ，na14a124nna为 偶 数为 奇 数 记 21234nba，（）求 ；（）判断数列 是否为等比数列，并证明你的结论3nb解：（） ；2132148aa，（） ，所以 ，438a54316所以 ，123
2、35114bbaba，猜想： 是公比为 的等比数列n1证明如下：因为 12221()44nnnnbaab N，所以 是首项为 ，公比为 的等比数列n 1评析：此题并不知道数列 的通项，先写出几项然后猜测出结论，再用定义证明，nb这是常规做法。例 2 （2005 山东卷）已知数列 的首项 ，前 项和为 ，且na15nnS（）证明数列 是等比数列；（）略15()nSnN解：由已知 可得 时 两式相减*125()nSnN21,4nS得: ，即 ，从而 ，1()nS12a1()a当 时， ，所以 ，21 6又 ，所以 ，从而 15a21()故总有 ，又 ，从而 12()nnaN，1150a，12na所
3、以数列 是等比数列n评析：这是常见题型，由依照含 的式子再类似写出含 的式子，得到nS1nS的形式，再利用构造的方法得到所要证明的结论本题若是先求出通项1nnapq的表达式，则较繁注意事项：用定义法时常采用的两个式子 和 有差别，前者1nad1nad必须加上“ ”，否则 时 无意义，等比中一样有： 时，有2n 1n0 2（常数 ） ； 时，有 （常数 ） 1naq N1nqa 0二运用等差或等比中项性质是等差数列， 是等比数列，21nnna21()nnna这是证明数列 为等差（等比）数列的另一种主要方法例 3 （2005 江苏卷）设数列 的前项为 ，已知 ，且nanS12361，其中 为常数1
4、(58)(52)123nnSSAB，AB（1）求 与 的值；（2）证明数列 为等差数列；（3）略ABn解：（1）由 ，得 136aa，123718SS，把 分别代入 ，得2n，1(58)(5)nnAB24，解得， ， 0AB()由()知， ，即11()208nnSS， 158208nnaS又 21()2()8nS-得， ，221550naa即 21(3)()0nn又 32557aa-得， ， ，31()0nn3210nnaa ，又 ，321325naa 215因此，数列 是首项为 1，公差为 5 的等差数列n评析：此题对考生要求较高，通过挖掘 的意义导出递推关系式，灵活巧妙地构造得nS到中项性
5、质，这种处理大大简化了计算例 4 （高考题改编）正数数列 和 满足：对任意自然数 成等nab1nnab，差数列， 成等比数列证明：数列 为等差数列1nnba， n证明：依题意， ，且 ，102nnb， 11na1()nn12nb由此可得 即 nb11(2)nnbb数列 为等差数列评析：本题依据条件得到 与 的递推关系，通过消元代换构造了关于 的等差na nb数列，使问题得以解决三运算数学归纳法这种方法关键在于猜想要正确，用数学归纳法证明的步骤要熟练，从“ 时k命题成立”到“ 时命题成立”要会过渡1nk例 5(2004 全国高考题)数列 的前 项和记为 ，已知 ，nanS1a证明：数列 是等比数
6、列 12(,)nnaS n证明：由 ， ，知 ， 112(1,)nnS 213,214Sa，猜测 是首项为 1，公比为 2 的等比数列1SnS下面用数学归纳法证明：令 .nSb(1)当 时， ，成立21(2)当 时， ，成立3n23 322(1),4Sab假设 时命题成立，即 kk那么当 时， ，命题成111kkkk kSab Sb立综上知 是首项为 1，公比为 2 的等比数列nS例 6 （2005 浙江卷）设点 和抛物线1(0)()nnAxP，其中 ， 由以下方法得到： ，点2:()nnCyxabN124nax1x在抛物线 上，点 到 的距离是 到 上点的最短2()P，211:yxb(0)2
7、1AC距离， ，点 在抛物线 上，点 到 的距离 ()nn，2:nnCyxab(0)nx，1nP是 到 上点的最短距离nAC（1）求 及 的方程 （2）证明 是等差数列2x1nx解：（I）由题意得： 2111(,0):7ACyb设点 是 上任意一点，则(,)Pxy 2|()Pxy221(1)(7)xxb令 则221(7),fxb .f由题意： 即2)0,2212(7)(70.xbx又 在 上，2(,Px1C1,解得： ，故 方程为34.b124.yx(II)设点 是 上任意一点，则(,)xyn 22|()()nnnAPxab令 ，22()gaxb则 ()()nnnx a由题意得 g ，即1()
8、0nx211112()()(2)0nnnnxxabxa又 2,ab即 （*）11()()().nnnxx1(2)nnx下面用数学归纳法证明 2当 时， 等式成立1,x假设当 时，等式成立，即nk1,kx则当 时，由（*）知 0(2)2ka又 124,kka11.kkx即当 时，等式成立由知，等式对 成立 是等差数列nnNnx评析：例 5 是常规的猜想证明题，考查学生掌握猜想证明题的基本技能、掌握数列前 项n和这个概念、用数学归纳法证明等差数列的方法；例 6 是个综合性比较强的题目，通过求二次函数的最值得到递推关系式，再直接猜想然后用归纳法证明，解法显得简洁明了，如果直接利用递推关系式找通项，反
9、而不好作四反证法解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发，经过一系列的推理和运算，最后得到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手的情况，这时可从反面去考虑如：例 7 （2000 年全国高考（理） ）设 是公比不相等的两等比数列，nab，证明数列 不是等比数列nncabnc证明：设 的公比分别为 ， ， ，为证 不是等比数，pqnncabnc列只需证 事实上，213cA222111()cabpqp2133() ()ab q，又 不为零， ，故 不是等比数列2pqpq，1，213cAnc评析：本题主要考查等比数列的概念和基本性质、推理和运算能力，对逻辑思维能力有较高要求要证
10、不是等比数列，只要由特殊项（如 ）就可否定一般地nc 213讲，否定性的命题常用反证法证明，其思路充分说明特殊化的思想方法与正难则反的思维策略的重要性 五看通项与前 项和法n若数列通项 能表示成 （ 为常数）的形式，则数列 是等差数列；anab， na若通项 能表示成 ( 均为不为 0 的常数， )的形式，则数列 是等nncq， nN比数列 若数列 的前 项和 Sn能表示成 (a，b 为常数)的形式，则数列2等差数列；若 Sn能表示成 ( 均为不等于 0 的常数且 q1) 的形式，naAq，则数列 是公比不为 1 的等比数列这些结论用在选择填空题上可大大节约时间 例 8(2001 年全国题)若
11、 S 是数列 的前 项和， ,则 是( ).nna2nSna等比数列，但不是等差数列 .等差数列，但不是等比数列等差数列，而且也是等比数列 .既非等比数列又非等差数列解析：用到上述方法，一下子就知道答案为 B，大大节约了时间，同时大大提高了命中率六熟记一些常规结论，有助于解题若数列 是公比为 的等比数列，则naq（1）数列 （ 为不等于零的常数）仍是公比为 的等比数列；q（2）若 是公比为 的等比数列，则数列 是公比为 的等比数列；nb nabA（3）数列 是公比为 的等比数列；na1q（4） 是公比为 的等比数列；（5）在数列 中，每隔 项取出一项，按原来顺序排列，所得新数列仍为等比n()k
12、N数列且公比为 ；1kq（6） ， ，112nnnaa， 123456789 aaa，等都是等比数列；（7）若 成等差数列时， 成等比数列；()mpN， mnp，（8） 均不为零时，则 成等比数列；232nnnSS232nnSS（9）若 是一个等差数列，则正项数列 是一个等比数列logbaa若数列 是公差为 等差数列，则nd（1） 成等差数列，公差为 （其中 是实常数） ；nkabkd0kb，（2） ， （ 为常数） ，仍成等差数列，其公差为 ；(1)kSN， 2kd（3）若 都是等差数列，公差分别为 ，则 是等差数列，公差为n 12，na；12d（4）当数列 是各项均为正数的等比数列时，数列
13、 是公差为 的等差数列；nalgnlgq（5） 成等差数列时， 成等差数列()mpN， mpa，例 9 （96 年全国高考题）等差数列 的前 项和为 30，前 项和为 100 则它的前n2项和为（ ）3n130 170 210 260解：由上面的性质得： 成等比数列，232nnnSS，故 ，23()()n，1010n故选3nS评析：此题若用其它方法，解决起来要花比较多的时间，对于选择题来说得不断尝试记住上面这些结论，在做选择填空题时可大大节约时间，并且能提高命中率从上面可以看出：证明或判断等差（等比）数列的方法有许多种，作题时到底用何种方法，一般说来大题用前四种：定义法、运用等差或等比中项性质、运用数学归纳法、反证法，但用后面的方法可以容易检验出用前面的方法得出的结果是否正确，作小题应该用后面的方法
