1、MIE 氏 散射理论 实验 及在 激光粒度 分析技术应用的 研究 摘要： Mie理论是对处于均匀介质中的各向均匀同性的单个介质球在单色平行光照射下的 Maxwell方程边界条件的严格数学解，它是目前 光学 颗粒测试 技术 (尤其是激光粒度仪 设计 )采用的 的主流理论。 本文简述了 MIE氏光散射的相关理论。设计了一套 采用光子技术测量亚微米量级颗粒散射信息的实验系统。在这套系统中 通过计算分析，确定了样品池的合理入射角，并 合理地设计探测角度。此外，提出了“虚光源”的概念并讨论了在实验中的应用。运用该实验系统分别对 0.13um和 0.3um两 种粒径的颗粒进行了测量，在考虑样品池镜面反射及
2、透射率的情况下，对所测原始数据进行处理，并与理论模拟结果进行了比较，该实验系统所 得到的结果 与理论模拟结果有非常好的一致性，且该试验系统 能够很好地测量小颗粒后向散射信息。因为后向散射信息是区分小颗粒粒度分布的重要信息，所以该实验系统对小颗粒有较高的分辨率。并在此基础上提出新一代亚微米颗粒粒度分析仪的设计构想。 关键词： Mie 散射理论、样品池、光子计数器、粒度分析 、 激光粒度仪 1.绪论 在激光粒度仪的研制 理论应用中 Mie散射理论主要用于从亚微米至微米的尺寸段，在微 米以下至纳米的光散射则近似为形式更明晰简单的瑞利散射定律，而对大于微米至毫米的大粒子则近似为意义明确的夫琅和费衍射规
3、律。用这些定律可成功解释各类散射现象，并指导微粒的粒度分布的测试技术 1。 本文在分析国内外微粒散射理论 2,3,4,5和测试技术 6,7,8基础上 ,为了将亚微米乃至纳米范围内的颗粒更加精确地测量其粒径大小，实验中采用光子技术，合理地设计样品池与入射光之间的角度 9，很好地提高了实验精度，得到与 Mie 理论吻合较好的结果 ,并创新提出采用光纤探头结合光电倍增管与光子计数器作探测器的粒度仪 ,较有限环靶更好地适用于亚微米颗粒的粒度测试 ,并可更好和计算机接口 ,提高测试水平，从而大大提高了小颗粒粒度测量的分辨能力 ,并在此基础上探测性地研究新一代亚微米颗粒检测仪器。 2. Mie散射理论基础
4、 2.1 Mie散射理论基本公式 10 1908 年，德国科学家 Gustav Mie 在电磁理论的基础上，从麦克斯韦方程出发，对于平面线偏振单色波被一个位于均匀媒质中具有任意直径和任意成分的均匀球衍射，得出了一个严格的数学解，这就是著名的 Mie 氏理论。为了方便读者对 Mie 理论有进一步深刻的认识，在这里对它做一个简单 的介绍。 如图 2-1 所示，当光强为 I0、波长为 的完全偏振光沿 z 轴方向照射到各向同性的球形颗粒时， 为散射角， 为入射光振动平面与散射面之间的夹角，那么我们可以求出垂直散射面的散射光强 Ir 和平行于散射面的散射光强 Il 以及总散射光强 Is 的表达式分别为：
5、 Ir = 2012222021222 s inI)(ir4s inI)(sr4 （ 2-1-1） Il= 2022222022222 c o sI)(ir4c o sI)(sr4 （ 2-1-2） Is= c o s)(is in)(ir4 I 222122 02 （ 2-1-3） 其中： Is = Ir + Il ， )(i1 = 21 )(s ， )(i2 = 22 )(s 1i 、 2i 为散射强度函数 ， )(s1 、 )(s2 为散射振幅函数： )(s1 = 121 ( c o s ) ( c o s )( 1 ) n n n nnn abnn （ 2-1-4） )(s2 = 12
6、1 ( c o s ) ( c o s )( 1 ) n n n nnn abnn （ 2-1-5） 式中 an、 bn为 Mie散射系数，表达式为 : )()()()( )()()()( maammaa maammaaa nnnn nnnnn (2-1-6)()()()()()()()( maamaam maamaambnnnnnnnnn （ 2-1-7） 其中 m是颗粒折射率， a为颗粒尺寸参数 :a =D/ 12( ) ( ) ( )2n nz z J zz （ 2-1-8） 1 ( 2 )2 12( ) ( ) ( )2n nz z H zz （ 2-1-9） z表示 ma或 a， )
7、z(J21n、 )()2(21 zHn，分别表示半整数阶的贝塞尔函数和第二类汉克尔函数。nn , 表示 n 和 n 分别对各自变量的微商。 式中 n、 n 为散射角函数，表达式为： 111( c os ) ( c os )si n( )( c os ) ( c os )nnnnPd Pd (2-1-10)1nP (cos)为一阶缔合勒让德函数。 y o z P x 图 2-1 2-1-1 由此可以看出，为求出 Mie散射光强 1i 和 2i ，关键在于求出其散射系数 na 、 nb 以及散射角函数 n、 n。 2.2 Mie散射光强的计算 2.2.1 散射角函数 n 、 n 的计算 6 令 c
8、os ，则 )()( nnn PddP （ 2-2-1） )()1( nn Pdd（ 2-2-2） 又由于 nnn PddP 212212)1( )1()()1()( （ 2-2-3） ddd 212 )1(s i n1 （ 2-2-4） nnn )1( 2 （ 2-2-5） 勒让德函数的递推公式为 )(1)(112)(11 nnn Pn nPnnP（ 2-2-6） )()12()()( 11 nnn PnPP （ 2-2-7） )()()()1( 12 nnn nPPnP （ 2-2-8） )()()( 1 nnn PPnP （ 2-2-9） 经简单推导后可得 n 、 n 的递推公式 )2(
9、1 1112 nnn nnnn （ 2-2-10） 1)1( nnn nn （ 2-2-11） 2.2.2 散射系数 an、 bn的计算 由（ 2-1-6）、（ 2-1-7）式可以看出，只要推导出 )(zn 、 )(zn 递推公式，就可以求出 an、bn的值。 将散射系数改写如下： )()( )()()()( )()(ammamaaammamaaannnnnnnnn （ 2-2-12） )()( )()()()( )()(amamaamamamaambnnnnnnnnn （ 2-2-13） 其中 )(zn 可用 )(zn 表示为： )(zn = )(zn + )(zi n （ 2-2-14）
10、式中 )(zn = )()2( 2121 zNzn ， )(21 zNn为 Neuman函数；令)( )()(zzzD nnn ，因此散射系数的计算也就是对 )(zn 、 )(zn 和 )(zDn 的求解了。 )(zDn 的计算可采用 Lentz的连分式算法： )()()(2121zJzJznzDnnn （ 2-2-15） 而 Lentz证明有如下关系： )()(223211212121aaaaaaaaaazJzJkknn （ 2-2-16） 其中 z kna kk )21(2)1( 1 ，上式用 kL 表示则可写成如下递推关系： 21 111 aaa aaaLL kk kkkk （ 2-2-
11、17） 注意到 k 时， 11 aaa kk 21 aaa kk ，因此可由上式递推出符合精度要求的 )(zDn 。而 )(zn 和 )(zn 以及它们的导数满足如下递推关系： )()(12)(21 zzznz nnn （ 2-2-18） )()()(1 zzznz nnn （ 2-2-19） )()(12)(21 zzznz nnn （ 2-2-20） )()()(1 zzznz nnn (2-2-21) 把初值 zz sin)(0 ， zz cos)(1 ， zz cos)(0 ， zz sin)(1 分别代入（ 2-2-18）、（ 2-2-19）、（ 2-2-20）、（ 2-2-21），
12、即可求出 )(zn 、 )(zn 的各级函数值，再根据式（ 2-2-14），可求出 )(zn 。至此，（ 2-2-12）、（ 2-2-13）中的未知数已全部求出，可以求出散射系数。 3. Mie散射实验的研究 3.1 实验思路 该研究采用高时空分辨率观测技术 11，以物理模拟结合实验测量为研究主要手段。采用 He-Ne 激光源照射到均匀分散的待测散射颗粒上，用光纤接受散射信号，通过光电倍增管将散射信号放大后，用光子计数器来测量激光作用下各微粒的散射信息。通过对散射信号的分析计算，可得到所测场中颗粒物理参数的定量结果。 3.2 实验光路的设计及光学器件的选择 3.2.1 实验光路 图 3-1 M
13、ie 散射实验光路图 如图 3-1 所示，进行 Mie 散射实验，最主要的问题就是如何将颗粒的散射光强进行更加精确的探测，围绕这一主要问题我们将实验光路进行了更为精细的设计，其中主要表现在本次实验引入了光子技术，采用光纤采集散射信号，经过光电倍增管将信号放大后并通过光子计数器表征出来，这样一来我们可以探测到极为微弱的散射光，大大提高了探测精度；同时为了防止杂散光的出现，我们将激光器置于整个散射系统的外部，仅让激光通过一个小孔进入散射系统，这也为探测到准确的散射信号提供了有力的保障。 3.2.2 光学器件的选择 He-Ne 激光 光电倍增管 光子计数器 计算机 光纤 探头转动轨迹 样品池 光纤探
14、头 散射装置 光源：波长为 632.8nm的 He-Ne 激光器 散射装置：整套散射装置主要是由两个悬臂、一个中心平台以及刻度盘组成，其中一个悬臂是固定的，激光由固定悬臂的正上方通过；另一悬臂可以围绕中心轴 360 度范围内旋转，在该悬臂上固定一光纤探头，实验过程中可以旋转该悬臂来探测 360 度范围内散射光强的大小；中心平台是水平可调的，上面标有刻度，可以放置样品窗。 实验中将中心平台固定，以免在旋转悬臂的同时由于中心平台的转动而带来不必要的误差。刻度盘是在两个悬臂的下方，我们可以通过刻度盘来调整可旋转悬臂的探测角度。这里说明一下： 我们是根据中心平台的刻度来标定刻度盘的度数，这样就可以计算
15、出样品窗与光纤探头之间的夹角，以达到精确探测的目的，这也是为什么要将中心平台固定的原因了。 样品池：选用的样品池规格为 40mm 40mm 9mm，如图 3-2 所示，前后表面是折射率 n=1.5、厚度均为 3mm的透明玻璃，侧面为毛玻璃，上端开口，底端封闭。 图 3-2 样品池规格示意图 光纤探头：实验中将探头前加一长度约 1cm、口径约 2mm的光阑，其目的是尽量减小其它方向杂散光的影响。本实验之所以选 光纤接收探头主要是因为颗粒布朗运动所产生的散射光非常弱 ,而光纤传输具有干扰小 ,灵敏度高的优良特性。再加上孔径光阑以后它基本能够准确接收到来自某个角度的散射光信号，略去由于其它方向的散射
16、光信号而引起的光强变化，使得测量结果更加准确。 光电倍增管 12：光电倍增管是利用光电发射与次级发射相结合，把微弱的光信号转变并放大为较大电信号的电真空器件。它比起光电管来有非常高的灵敏度，因此有很高的探测效率。下面将管子的放大过程简单的描述一下： 如果一个光电倍增管有 9 级倍增极，每级的次级发射系数都有相同的值，假设为 4，并 且从前一级发射出的次级电子都能落到后一级的倍增极上，那么管子的放大倍数 M 可写为 M=4444=4 9=262144 2.6105 从上式可知，只要从阴极发射出一个光电子，阳极就会接收到 2.6105 个电子。光电倍增管除配用高压电源外，不配用其他附加装置能具有这
17、样大的放大功能是其它器件所不3mm 3mm 3mm 40mm 40mm 可比拟的。如果我们把光电倍增管级数增多，且各级都具有大的次级发射系数，这种管子就能得到更大的放大倍数。 光子计数器：光子计数器是一能够将由光电倍增管传来的散射光信号转换成光子数的形式并由计算机输出，它也是一种具有极 高灵敏度和超快响应时间的仪器，当探测的光辐射功率低达 10-11 10-13 瓦时，输出信号可以单光电子的脉冲数来计算。阳极电路输出一系列的脉冲数，每一个脉冲就相应于有一个光电子离开光电倍增管阴极。阳极脉冲经过前级放大器就转变为电压脉冲。经过分析器，只有那些幅度大于某一预定数值并有一定上升时间特性的脉冲才能通过
18、而被甄别出来。由此可消除暗电流中直流的漏电分量与来源于阴极之外的其它暗电流分量。这里对于光电倍增管的要求是： （ 1） 暗脉冲特别小，通常采用小尺寸的阴极； （ 2） 第 1 级有大的次级发射系数； （ 3） 阴极均匀性良好。 通常光子计数器应用于测量极为微弱的光信号，比如天文物理学上对光子计数器的应用颇广。 3.3 入射光线与样品池之间夹角的确定 为什么要确定样品池与入射光线之间的夹角，在这里说明一下，首先我们看一下当光线垂直样品池入射的情况，如图 3-3 所示， n0 =1， n1=1.33， n2=1.5 图 3-3 垂直入射示意图 当入射光线垂直入射到样品池上时根据折射定律有 0022
19、11 s i ns i ns i n nnn （ 3-3-1） 其中 1 为散射光在样品池透明壁外的入射角， 2 为散射光在样品池透明壁内的折射角，0 为散射光在样品池透明壁外的折射角。在此所说的散射角就是指散射介质内的入射光与散射光在顺时针方向上的夹角，为了方便我们暂以与入射光之间的锐角来讨论，由式子（ 3-3-1）可以得出如下结论： （ 1）由于 21 nn ， 02 nn 所以散射光在样品池的内表面不会发生全反射，而在散射ic ic max max n0 n2 n1 探测盲区 2 1 0 光由玻璃射入空气时会发生全反射，那么 我们可以计算出当 0=90即全反射时的临界角为 max=48.
20、75，也就是说当散射角大于 max 时的散射光我们无法探测到了。考虑到 360范围内探测散射信号时，探测的盲区就是 48.75131.25 和 228.75311.25 ，因此也就失去了很多有用的信息，为了使上述盲区的信息能够探测到，我们特做如下调整： 如图 3-4 所示，我们让入射光以 角入射到样品池，入射光经过两次折射进入散射介质，以散射介质内的入射光为标准，顺时针方向上散射光与该入射光之间的夹角即为散射角。由图 3-4 可以很明显地看出 随着 角的减小，前向散射右侧部分大于 48.75的散射光将会陆续地由样品池透射出，同样的后向散射右侧部分大于 228.75的散射光也将陆续地由样品池透射
21、出来。那么在这里出现的问题就是随着 角的变化，到底有多大范围内的散射光能够从样品池透射出来，以及这么做的意义到底有多大，下面就这一问题详细地讨论一下： 图 3-4 入射光线与样品池夹角的确定示意图 首先要有这么一个思想，我们的目的是将颗粒 360范围内的所有散射信息探测到，而我们也知道前向散射与后向散 射的左右两部分都是相互对称的，那么我们可以通过探测前向某侧 90范围内的散射信息以及相对应的后向某侧 90范围内的散射信息，然后经过对称变换就可以得到颗粒在 360范围内的所有散射信息。 我们能否将前向或后向某侧整个 90范围内的散射信息都能探测到呢？ 通过图 3-3 可以得到当散射角超过 48
22、.75时，散射光就无法从样品池透射出来，我们称在临界状态下的这条出射光线为临界散射线，即图 3-4 中的光线 4。现在假设临界散射线正好为前向散射 90的散射光线，那么很容易可以得出此时进入散射介质内的入射光线与样品池之间的夹 角为 =48.75，根据折射定律我们可以得到 )s i n ()s i n ( 01 nn (3-3-2) 3 90 4 ic 2 n0 n2 n1 6 1 0 1 0 1 1 5 7 当 =48.75时 ,可以得出此时入射光线与样品池之间的夹角 =28.73,也就是说要想将前向散射某侧整个 90的范围内的散射信息全部探测到 ,入射光线与样品池之间的夹角 不能大于 28
23、.73。 前面计算出了在全部探测前提下最大夹角 =28.73，那么是不是只要 小于 28.73我们就可以达到 360范围探测的目的呢？ 如图 3-4 所示，原则上只要 小于 28.73，前向散射右侧 90范围和后向散射 90范围内所有散射信息都能够探测到，但实际上当 角为 28.73或小到一定程度时，通过图 3-4可以很容易的看出从样品池两侧透射出来的散射光与我们想要探测到的可用信息有一个小角度范围内的重叠。那么重叠部分的散射信息我们就无法判断哪些信息是可用信息，哪些是由样品池侧面透射出来的。以这样的角度入射我们也无法得到颗粒 360范围内的所有散射信息。 为了解决这一问题，我们需要计算一下如
24、图 3-4 中由样品池侧面透射出的散射 光线 6与样品池的最大夹角 0，由折射定律我们很容易可以得到此时 0=5.7。得到这个角度我们可以解决探测信息重叠的问题了，如图 3-4 所示，我们可以让前向散射右侧 90的散射光线 3 的出射方向与由侧面透射出的散射光线 3 相互平行，这样我们可以计算出此时激光与样品池之间的夹角 为 28.05，同时很容易看出，当 角逐渐减小时，前向 0散射光线1 与由样品池侧面透射出的散射光线 7 也会有一重叠部分，这也就是说 应该也有一最小值，即当散射光线 1 与 7 平形时入射光线与样品池之间的夹角。通过计算得出 min =0=5.7。 通过以上一系列的计算，我
25、们得出了当样品池与入射光线的夹角在（ 5.7， 28.05）范围内时，通过测量前向（ 0， 90）、后向（ 180， 360）范围内的散射信息，对称变换后我们就可以得出颗粒 360范围内的所有散射信息。 在实验前期，我们采用 28夹角入射样品池，结果发现在测量后向散射信息时，由玻璃后表面反射对测量结果的影响范围较大，经过理论分析与实验结合，我们采用 20夹角入射样品池，以这个角度入射因反射光造成的影响将大大减少。 另外，我们也可以将样品池做成方形，方形样品池虽然可以解决 散射光线由于全反射无法透射出的问题，但也存在着探测区域重叠的问题，并且从图 3-5 可以看出前向散射大于 14.75时就会与
26、侧面透射出的散射信息重叠，探测时很难区分开实际的散射信息。这样一来重叠区域大到（ 14.75， 75.25）、（ 104.75， 165.25）、（ 194.75， 255.25）、（ 284.75，345.25），可用的信息就非常地少了，所以本次实验我们不予采纳。 图 3-5 方形样品池散射角度示意图 下面附上颗粒实际散射角与探测 角之间的对应关系图表： 表 3-1 测量表与散射角之间的对应关系示意图 散射角 5 10 15 20 25 30 35 40 45 测量角 11.3 20.4 28.4 35.9 43 49.9 56.7 63.4 70.1 散射角 50 55 60 65 70
27、75 80 85 90 测量角 76.7 83.4 90.2 97.1 104.3 111.8 119.8 128.8 140.3 散射角 95 100 105 110 115 120 125 130 135 测量角 51.2 60.2 68.2 75.7 82.9 89.8 96.6 103.3 110 散射角 140 145 150 155 160 165 170 测量角 116.6 123.3 130.1 137 144.1 151.6 159.6 3.4 虚光源的确定及其意义 本试验成功与否的关键在于能否准确的探测散射信息，本节前也提到过，我们采用光纤探头接收散射光，是因为光纤探头的口径 小，再加上探头前孔阑对光场的限制，理论上可以准确的探测某一方向上的散射光信号。在实验装置的选择一节中提到光纤探头固定在一可转悬臂上，通过悬臂绕中心转动来探测各角度的散射光信息。这也就是说探头接收的是来自散射装置中心的散射信息，那么样品池中心散射光信息是否就是散射装置中心散射光信息呢？如何确定？下面将对这一问题进行深入地探讨。 1 2 3 5 4 6 14.75
