1、1第十章习题 1011 指出下列各微分方程的阶数：(1) x(y) 22yyx 0; (2) (y)3 5(y) 4y5x60;(3) 2yx 2y0; (4) (x2y2)dx(x2y2)dy0解: (1) 因为方程中未知函数 y 的最高阶导数的阶数为 1,故该方程为一阶微分方程.(2) 二阶.(3) 三阶.(4) 一阶.2 验证下列给定函数是其对应微分方程的解：(1) y(xC)ex, y yex;(2) xyC1exC2ex, xy2yxy0;(3) xcos2tC1cos3tC2sin3t， x9x5cos2t ;(4) 1， xyyx(y) 2yy 021解: (1) ()()eee
2、xxxxcyc是微分方程 的解.(2) 在方程 两边对 x 求导有 上方程两边对 x 求12exxyc12exxyc导有 ,即 即 2yxy0y所以 所确定的函数 是方程 的解.12xc()xx(3) 1212sin3sicos34co9in9ssi52 tttxtttt所以 是微分方程 的解.1cos23inxttc 5cosxt2(4) 方程 两边对 x 求导得21xyc210(1) c(1)式两边对 x 求导得2211()(2) y(2)式两边同乘以 x 得2211()0(3) cxcy(3)-(2)得 ()0yy所以 是方程 的解. 21xc2()0xy3 已知曲线的切线在纵轴上的截距
3、等于切点的横坐标，求这曲线所满足的微分方程解: 设 是曲线 上任一点,则过该点的切线方程为 ,由已知(,)xy()f ()YyXx时, ,得 即 为 所满足得微分方程.0XYxy0yx()fx4 求通解为 yCexx 的微分方程，这里 C 为任意常数解: 由 得 ,而由已知 得 故通解为1x ex 1y的微分方程为 .xyy习题 1021求下列微分方程的通解或在给定的初始条件下的特解：(1) y ； (2) xydx dy0;x21(3) (xy2x)dx(yx2y)dy0;(4) sinxcos2ydxcos2xdy0;(5) ；1,01x(6) yyxey0, y(1)0;(7) ye2x
4、y， 0x解: (1) 原方程分离变量得 ,两边积分得(10)1d yxy3即 ,1lnl1cyx 1ln(1)cxy即 , ,1()ecx1()ecy记 ,有 , 而当 即 时,显然是方程的解,上1c0)x0yy式取 时包含了 ,故方程的解为 (c 为任意常数)01y(1)x(2) 分离变量得: ,两边积分得,220d xyy,可知 ,即 211lnc21ecx21cxe又 显然是方程的解.0y方程的通解为 (c 为任意常数).21xy(3) 分离变量得 , 两边积分得 ,即22d221ln(1)lycx从而 ,记 有 .21lnycx122()ecyx1ec2()(4) 分离变量得, ,两
5、边积分得, 即 22sinocddtancosyx.taeyx(5) 原方程可化为: ,两边积分得 (1)()2323yc由 得 , 所以原方程满足初始条件的特解为01xy5236c即 .232332()()5xyxy(6) 分离变量得 , 两边积分得 edy2eyxc由 得 , 故原方程满足初始条件的特解为(1)0y12c.2()(1)yx(7) 分离变量得 ,两边积分得 , 由 得 ,所ed21eyxc0xy12c4以,原方程满足初始条件的特解为 . 21()eyx2 物体冷却速度与该物质和周围介质的温差成正比，具有温度为 T0 的物体放在保持常温为 的室内，求温度 T 与时间 t 的关系
6、.解: 设 t 时刻物体的温度为 T,由题意有(k 为比例系数)(dt分离变量得 ,两边积分得, ,得 , 由题意有k1lnktcTektT时, ,代入上式得, .0t0T0c(k 为比例系数).()ekt3 求下列微分方程的通解或在给定条件下的特解：(1) xyy 0；2x(2) y sin ；(3) 3xy2dy(2y 3x3)dx;(4) x2yxyy2， y(1)1；(5) xyy(lnylnx), y(1)1;(6) (yx2)dx(xy4)dy;(7) (xy)dx(3x3y4)dy0解: (1) 原方程可化为 , 令 则 , 代入原21()yxyuxuxyu方程得: 即 两边积分
7、得 21xu2d21ln(1)lncx即 2c将 代入得 .yux22xyc(2) 令 ,则 代入原方程得:,ux即 sindxsindux两边积分得 ,则 ,1ltal2cta,2arctn将 代入得 .yuxrtx(3) 原方程可化为 , 令 ,则 , 代入上式得,2()3dyyyuxdyux5, 两边积分得 , 即 ,231dux31ln(1)luxc3()xuc将 代入得 .y32ycx(4) 原方程可化为 , 令 , 则 ,代入上式() yux,dyuxx得 , 即 , 两边积分得 2dux12du 112lnlc即 将 代入得 ,cyx2cxy由 得 ,(1)y1, 即 2xy2x
8、所以原方程满足初始条件的特解为 .1y(5) 原方程可化为 , 令 则 , 上方程可化为lndxyuxdux即 lu(l1)两边积分得 即 1lnlcx 1n() ecucx亦即 将 代入得 1ecxuyu1ey由初始条件 得 ()y故原方程满足初始条件的特解为 .1xy(6) 原方程可化为 解方程组24dx得 0y13xy作变换 ,原方程化为 13xuyvdvu这是一个齐次方程,按齐次方程的解法:令 , 方程可化为 u21u6两边积分可得,整理可得, 22arctnl(1)uc将 代入上式得vu2arctl()vcu将 代入上式得1,3xvy2232arctnl(1)(3)ycxy(7)原方
9、程可化为 34dyx令 ,则 ,代入上方程得tx1tx即 234dt2dtx即 ,2(3)dt积分得 .ln2xc将 代入上式得, .txy3ln2ycx4 求下列微分方程的通解或在给定初始条件下的特解：(1) yysinx;(2) y yxnex；(3) (x2y)dydx0;(4) (1xsiny)ycosy0；(5) y (x1)ex, y(0)1;1(6) y ，y(0) ;223(7) y lnx, y(1)1;(8) y2xy(xsinx) ，y(0)1;2e(9) y ；234(10) y xy317解: (1) 这是一阶非齐次线性微分方程, ()()1,sinsi(n)icos
10、)21(ide ePxdPxxxxxQyecec(2) 这是一阶非齐次线性微分方程, (),()enxPxQ()()lnln()()(ddee dePxnnxxxxyQcec (3) 原方程可化为 ,这是一个关于 的一阶齐次线性微分方程,且 2dxyy, 所以()1,()2PyQy()()2()12)ddee ePyPyyyyxQcc(4) 原方程可化为 ,这是一个关于 的一阶非齐次线性微分方程,tansedxyy且 , 所以()tan,()secPyQ8()()tantansec1(o)o)csdd PyPyxQcy(5) 这是一阶非齐次线性微分方程且 ,所以1(,()1exPxQ()()1
11、1)()(ddee xxxx xyc将初始条件 代入上式中得(0)1y0c故,原方程满足初始条件的特解是 .(1)exy(6) 这是一阶非齐次线性微分方程,且 ,所以22,()1xPQ2222()()11ln()ln()231()ddee d PxxxxyQccxc将初始条件 代入上式得 ,所以原方程满足初始条件的特解是(0)y.32(1)xy(7) 这是一阶非齐次线性微分方程,且 ,所以12(),()lnPQx9()()112ln()ln(1)dd-ee PxPxxxyQccxcx将初始条件 代入上式得 ()y1所以,原方程满足初始条件的特解是 .2(ln)yx(8) 这是一阶非齐次线性微分
12、方程,且 , ,所以P2(sinexQ22()()sin)()icoddee ePxxxycx将初始条件 代入上式得 ,故原方程满足初始条件的特解是: (0)1y1.2(sincs)xx(9) 原方程可化为 ,这是 的伯努利方程 ,方程两边同除以 ,得3yy 22y21x令 ,则上面方程化为 ,这是一阶非齐次线性微分方程,且1()3zy 3dzx,其通解为(),PxQx33343()()ddedxzcxcx将 代入上式得原方程的通解为 .3zy4y(10) 原方程可化为 ,这是关于 的 的伯努利方程,令 ,上3dxy3132zx述方程可化为1032dzy这是关于 y 的一阶非齐次线性微分方程,
13、且 ,其通解为:3()2,()PyQy2223()(1)ddeeyyyyzcc将 代入上式得原方程的通解为 .2zx 21ycex5 设函数 f(x)在1,)上连续，若由曲线 yf(x)，直线 x1,xt(t1) 与 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为V(t) t 2f(t)f(1) 3试求 yf(x)所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件 y(2) 的特解92解: 依题意有 ,两边同时对 t 求导有: 221()()1 dtfxtf2() 3tf即 亦即 22()()tfft223xyxy故 所满足的微分方程是 , 该方程可化为 ,()yfxxy23()yx这是齐次方程.可求得该齐次方程的通解为:3yc将初始条件 代入上式得 ,所以,该微分方程满足条件 的特解是 2()912()9y.3yx*6 设某生物群体的出生率为常数 a，由于拥挤及对食物的竞争的加剧等原因，死亡率与当时群体中的个体量成正比(比例系数为 b0) 如果 t0 时生物个体总数为 x0，求时刻 t 时的生物个体的总数(注： 将生物群体中的个体量当做时间 t 的连续可微变量看待)解: 设时刻 t 时的生物个体的总数为 x,依题意得即 dxatat解得 ()ebttxc又 时 ,代入上式得 ,故 0t00xb
