1、1“杨辉三角与二项式系数的性质”教学设计佛山三中 冯敏仪一、教学目标：1、知识与能力目标：了解杨辉及杨辉三角；初步认识杨辉三角各行数字的特点及其与组合数性质、二项展开式系数性质间的关系，培养学生的观察力和归纳推理能力。理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用； 理解和初步掌握赋值法。2、德育目标：培养学生爱国主义精神，激发学生探索、研究我国古代数学的热情。二、教学重点、难点：二项式系数的性质、赋值法。三、教学过程：（一）复习：二项式定理，二项展开式的通项，二项式系数，项的系数。（二）新课讲解：师：（提出问题）问题 1：( a+b ) 13 的展开式中二项式系数最大的项是第几项？学生思考师：n
2、=13 时展开式的二项式系数太多，能否先观察 n=1，2，3 时的二项式系数，找找规律？（引导学生进行归纳推理）展开式的二项式系数，当 依次取 时，如下表所示：()nabn1, 1C01 1 2()22 2 3ab0313 3 1 4()4244461 1 505153550 6()abC62646C622 nbaCn01n2rnCn师：因上图形如三角形，南宋的杨辉对其有过深入研究，所以我们又称它为杨辉三角二项式系数表（杨辉三角） 。杨辉，我国南宋末年数学家，数学教育家著作甚多。 “杨辉三角”出现在杨辉编著的详解九章算法一书中，此书还说明表内除“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和。杨辉指
3、出这个方法出于释锁算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元 11 世纪）已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于 11 世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的（Blaise Pascal, 1623 年1662 年）,他们把这个表叫做帕斯卡三角这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早 500 年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。（让学生了解数学家杨辉及其成就, 增强民族自豪感。 ）师：请大家观察，在杨辉三角中，各行二项式系数的数量关系中有什么共同的规律。生 1：左右对称。生 2：前半部分递增，后半部分递减。生 3：n 取偶数时，中间一项的系数最大，n 取奇数时
4、，中间两项的系数最大。师： 非常好。大家已经归纳出了二项式系数的三个性质，现在我们来一起证明它们。性质 1 对称性： 与首末两端 “等距离的两个二项式系数相等 ”，即 （此式由组合数性Crnr质得出）性质 2 增减性：师：如何比较出二项式系数前后项的大小？生：作差或作商。师：现在请同学们在练习本写出证明过程。 （请一位同学在黑板书写，并点评）方法 1（作差法）： ！ ！ 11 rnrnrCnrrrn21！ ！0！ ！ 1rn当 n+1-2r0，即 r 时， 0，此时 二 项 式 系 数 逐 渐 增 大 ，21nCrnr1由 对 称 性 知 它 的 后 半 部 分 是 逐 渐 减 小 。3方 法
5、 2（ 作商法）： 0Crn， rnrrn 111 ！ ！ ！ ！当 1，即 r 时， 1，此时二 项 式 系 数 逐 渐 增 大 ，由 对 称 性 知 它rn2rn的 后 半 部 分 是 逐 渐 减 小 。性质 3 最大值：由增减性和对称性，易得当 是偶数时，中间一项 取得最大值；当n2nC是奇数时，中间两项 ， 取得最大值。n12nC师：现在回到问题 1，同学们能回答吗？生：展开式共 14 项，中间的第 7 和第 8 项的二项式系数最大。 （学生迅速回答）师：（变式 1） ( 1+x ) 12 的展开式中系数最大的项是第几项？生：此时系数与二项式系数相等，展开式共 13 项，中间的第 7
6、项的系数最大。师：（变式 2） ( 1-x ) 13 的展开式中系数最小的项是第几项？生：此时展开式共 14 项，奇数项系数为正，偶数项系数为负，中间的第 7、8 项的二项式系数最大，所以第 8 项的系数最小。师：二项式系数还有其他的性质吗？请看下面问题（问题 2）：一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有 20 个灯泡，只要有一个灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为 （ ） (A)20 (B)219 （C）2 20 (D)220 1生 1：由分步原理，完成这件事共分 20 步（即分别判断 20 个灯泡的好坏） ，每步各有 2 种选择，共220 种可能，其中 20
7、个灯泡都是好时，彩灯会亮，应排除，所以应选 D。师：很好，对分步原理理解得不错。还有其它方法吗？生 2：由分类原理，导致彩灯不亮的可能有 20 类：其中 1 个灯泡坏了，有 种不同可能；其C120中 2 个灯泡坏了，有 种不同可能；其中 3 个灯泡坏了，有 种不同可能；其中 20C20 3个灯泡坏了，有 种不同可能，总可能性有 种，但具体结果运算起来2 202014比较麻烦。师：有什么方法能减少运算量呢？学生思考师：刚才大家在杨辉三角中发现了许多规律，上面组合数的求和方法，能否也在杨辉三角中找到？学生开始观察，找规律。生：当 n=1 时， + = ；n=2 时， + + = 4 = ；C011
8、202C12n=3 时， + + + = 8 = ，333由此，猜测 + + + + + = n01n2rnn师：非常好，你已经猜出了二项式系数的另一个性质，那就是性质 4 各二项式系数和 + + + + = n01n2rnn2证明方法有：数学归纳法，赋值法等（重点介绍赋值法）在展开式 中，01() ()nnrnnabCabCbN 令 ，则 + + + + + = 1， nn2rnn1n2则 012n r 师：在 的展开式中，假如令 ，又会得到什么结论呢？()ab1ba，（教学意图：让学生加深了解赋值法）学生思考，演算在展开式 中，01() ()nnrnnabCabCbN 令 ，则 ，1,02
9、3() 1)nnnC即 ，0213( )n ，nCC 即在 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和()ab由性质（4）知 .021312nnn 师：赋值法是给代数式(或方程或函数表达式)中的某些字母赋予一定的特殊值，从而达到便于解决问题的目的实际上赋值法所体现的是从一般到特殊的转化思想，在高考题中屡见不鲜，特别是在二项式定5理中的应用尤为明显，现以例说明已知 ，求：72701(12)xaxax（1） ； （2） ； （3） 。7 1357017|aa解：（1）当 时， ，展开式右边为x7()()x2 ，0127aa当 时， ，x0 ，12712（2）令 ， x07aa 1令 ， 71234563a 得： ， .71357()1a1357a7132（3）由展开式知： 均为负， 均为正， 1357,0248,a 0|aa 013567a24613()()四、课堂小结：二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有四条性质，要理解和掌握好。理解和初步掌握“赋值法” ，它是解决有关二项展开式系数问题的重要手段。五、作业：1课本第 47 页 B 组 1.(6) 、6、7；2课外探究与发现：“杨辉三角”中的一些秘密。
