1、第 1 页 共 3 页函数零点的求法及零点的个数题型 1：求函数的零点。例 1 求函数 23xy的零点.解题思路求函数 的零点就是求方程 023x的根解析令 320x， 2()20xx ()1()， 1或 或即函数 23xy的零点为-1，1，2。反思归纳 函数的零点不是点，而是函数函数 ()yfx的图像与 x 轴交点的横坐标，即零点是一个实数。题型 2：确定函数零点的个数。例 2 求函数 f(x)=lnx2x 6 的零点个数.解题思路求函数 f(x)=lnx2x 6 的零点个数就是求方程 lnx2x 6=0 的解的个数解析方法一：易证 f(x)= lnx2x 6 在定义域 (0,)上连续单调递
2、增，又有 (1)40f，所以函数 f(x)= lnx2x 6 只有一个零点。方法二：求函数 f(x)=lnx2x 6 的零点个数即是求方程 lnx2x 6=0 的解的个数即求ln62yx的交点的个数。画图可知只有一个。反思归纳求函数 )(xfy的零点是高考的热点，有两种常用方法：（代数法）求方程 0的实数根；（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 )(xfy的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点。题型 3：由函数的零点特征确定参数的取值范围例 3 (2007广东)已知 a 是实数,函数 axaxf32,如果函数 xfy在区间 1,上有零点，求 a 的取值范围。解题思路要求参数 a
3、 的取值范围，就要从函数 xfy在区间 1,上有零点寻找关于参数 a 的不等式（组） ，但由于涉及到 a 作为 2的系数，故要对 a 进行讨论解析 若 0 , ()23fx ,显然在 1,上没有零点, 所以 0.令 248340aa, 解得 372a当 7时, yfx恰有一个零点在 1,上;当 0511af ，即 15a时， yfx在 1,上也恰有一个零点。当 yfx在 ,上有两个零点时, 则208410af或208410af解得 5a或352综上所求实数 a的取值范围是 1a 或 352。反思归纳二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，也是高考热点，要深刻理解它们相互之间的关
4、系，能用函数思想来研究方程和不等式，便是抓住了关键.二次函数 的图像形状、对称轴、顶点坐标、开口方向等是处理二2()fxabc次函数问题的重要依据。考点 3 根的分布问题例 5 已知函数 的图像与 x 轴的交点至少有一个在原点的右2()(3)1fxmx侧，求实数 m 的取值范围第 2 页 共 3 页解题思路由于二次函数的图象可能与 x 轴有两个不同的交点，应分情况讨论解析（1）若 m=0，则 f（x）=3x+1，显然满足要求.（2）若 m0，有两种情况：原点的两侧各有一个，则014)3(2mxm0； 都在原点右侧，则 ,01,234)(mx解得 0m1，综上可得 m（，1 。反思归纳二次方程根
5、的分布是高考的重点和热点，需要熟练掌握有关二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的分布有关的结论：方程 f（x）=0 的两根中一根比 r 大，另一根比 r 小 af（r）0.二次方程 f（x）=0 的两根都大于 r .0)(,2,4rfabc二次方程 f（x）=0 在区间（p，q）内有两根 .0)(,2,04pfaqbac二次方程 f（x）=0 在区间（p，q）内只有一根 f（p） f（q）0，或 f（p）=0，另一根在（p，q）内或 f（q）=0，另一根在（p，q）内.方程 f（x）=0 的两根中一根大于 p，另一根小于 q（pq） .0)(,fa（二） 、强化巩固训练1、函数 21fmx
6、有且仅有一个正实数的零点，则实数 m的取值范围是（ ） 。A ,；B ,0；C ,0,1；D ,1解析 B；依题意得（1）0)(42fm或（2）0)(42fm或（3） 4)2(0m显然（1）无解；解（2）得 ；解（3）得 1又当 时 xf，它显然有一个正实数的零点，所以应选 B。2、方程 23x的实数解的个数为 _ 。解析 2；在同一个坐标系中作函数xy)21(及 32的图象，发现它们有两个交点故方程 23x的实数解的个数为 2。3、已知二次函数 ,若在区间1，1内至少存在2()4()fxpxp一个实数 c,使 f(c)0,则实数 p 的取值范围是_。解析 (3， 2） 只需 或2(1)90f
7、2()10fp即3p 或 p1.p(3, 3)。4、设函数 的图象的交点为 ，则 所在的区间是（ ） 。32()xy与 0(,xy0xA.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 答案 B。5、若方程 的两根中,一根在 0 和 1 之间,另一根在 1 和 2 之间,2()10xk求实数 k 的取值范围。解析 123；令 2)()(2kxxf ，则依题意得0)(ff，即0124kk，解得123k。（三） 、小结反思：本课主要注意以下几个问题：1利用函数的图象求方程的解的个第 3 页 共 3 页数；2一元二次方程的根的分布；3利用函数的最值解决不等式恒成立问题 。补充题：1、定义
8、域和值域均为-a,a (常数 a0)的函数 y=f(x)和 y=g(x)的图像如图所示，给出下列四个命题中：(1) 方程 fg(x)=0 有且仅有三个解； (2) 方程 gf(x)=0 有且仅有三个解；(3) 方程 ff(x)=0 有且仅有九个解； (4)方程 gg(x)=0 有且仅有一个解。那么，其中正确命题的个数是（ )。 A 1; B. 2; C. 3; D. 4。解析 B；由图可知， )(axf， )(axg，由左图及 fg(x)=0 得2)(1axg，02，g， 2，由右知方程 fg(x)=0 有且仅有三个解，即(1)正确；由右图及 gf(x)=0 得)()(0axf，由左图知方程g
9、f(x)=0 有且仅有一个解，故(2)错误；由左图及 ff(x)=0 得2)(1axf，02)(，axf， 2)(axf，又由左图得到方程 ff(x)=0 最多有三个解，故(3)错误；由右图及 gg(x)=0 得)2()(0axg，由右图知方程 gg(x)=0 有且仅有一个解，即(4)正确，所以应选择 B2、已知关于 x 的二次方程 。21xm(1)若方程有两根,其中一根在区间(1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求 m 的范围。(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求 m 的范围。解析(1)条件说明抛物线 与 x 轴的交点分别在区间(1，0)2()fxx和(1，2)内，画出示意图，得 65,21056)2(,41,)0(mRff 21.(2)据抛物线与 x 轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组10,)(,mf.0,21,2,1m或(这里 0m1 是因为对称轴 x=m 应在区间(0，1) 内通过) 即解得 2,2a a xyyf(x)Oaaa a xyyg(x)Oaa
