1、 1 2017 年全国硕士研究生入学统一考试数学 一 试题 一、选择题 :1 8 小题 ,每小题 4 分 ,共 32 分 .下列每题给出的四个选项中 ,只有一个选项符合题目要求的 . (1) 若函数 1 c o s ,0(),0x xfx axbx 在 0x 处连续，则 （ ） (A) 12ab (B) 12ab (C) 0ab (D) 2ab (2) 设函数 ()fx可导，且 ( ) ( ) 0,f x f x则 （ ） (A) (1) ( 1)ff (B) (1) ( 1)ff (C) (1) ( 1)ff (D) (1) ( 1)ff (3) 函数 22( , . )f x y z x
2、y z在点（ 1,2,0）处沿向量 (1,2,2)u 的方向导数为 （ ） (A) 12 (B) 6 (C) 4 (D) 2 (4) 甲，乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10（单位： m）处，图中实线表示甲的速度曲线1()v v t （单位 ： m/s），虚线表示乙的速度曲线 2()v v t ，三块阴影部分面积的数值依次为 10, 20, 3. 计时开始后乙追上甲的时刻记为 0t （单位： s） ， 则 (A) 0 10t (B) 015 20t (C) 0 25t (D) 0 25t (5) 设 为 n 维单位列向量， E 为 n 阶单位矩阵，则 （ ） (A) E 不可逆 (B) E
3、 不可逆 2 (C) 2E 不可逆 (D) 2E 不可逆 (6) 已知矩阵 2000 2 10 0 1A， 2 1 00 2 00 0 1B， 1000 2 00 0 2C， 则 （ ） (A) A 与 C 相似 , B 与 C 相似 (B) A 与 C 相似 ,B 与 C 不 相似 (C) A 与 C 不相似 , B 与 C 相似 (D) A 与 C 不相似 ,B 与 C 不 相似 (7) 设 ,AB为随机概率，若 0 ( ) 1PA, 0 ( ) 1PB,则 ( ) ( )P A B P A B 的充分必要条件是 （ ） (A) ( ) ( )P B A P B A (B) ( ) ( )
4、P B A P B A (C) ( ) ( )P B A P B A (D) ( ) ( )P B A P B A (8) 设 1, 2,. ( 2)nX X X n 为来自总体 ( ,1)N 的简单随机样本，记11 n iixxn 则下列结论正确的是 （ ） (A) 21 ()nii x 服从 2x 分布 (B) 212( )nxx 服从 2x 分布 (C) 21 ()nii xX 服从 2x 分布 (D) 2()nX 服从 2x 分布 二、填空题 ： 9 14 小题 ,每小题 4 分 ,共 24 分 . (9) 已知函数21() 1fx x ，则 (3)(0)f (10) 微分方程 2 3
5、 0y y y 的通解为 y (11) 若曲线积分221L xdx aydyxy在区域 22 ( , ) | 1D x y x y 内与路径无关，则 a (12) 幂级数 111 ( 1)nnn nx 在区间 ( 1,1) 内的和函数 ()Sx 3 (13) 设矩阵 1 0 11 1 20 1 1A， 1 ， 2 ， 3 为线性无关的 3 维列向量组，则向量组 1A ， 2A ，3A 的秩为 (14) 设随机变量 X 的分布函数为 4( ) 0 .5 ( ) 0 .5 ( )2xF x x ，其中 ()x 为标准正态分布函数，则 EX 三、解答题 ： 15 23小题 ,共 94 分 .解答应写
6、出文字说明、证明过程或演算步骤 . (15)(本题满分 10 分 ) 设函数 ( , )f uv 具有 2 阶连续偏导数， ( ,cos )xy f e x ，求0xdydx， 22 0xdydx (16)(本题满分 10 分 ) 求21lim ln(1 )nx kkknn (17)(本题满分 10 分 ) 已知函数 ()yx由方程 33 3 3 2 0x y x y 确定，求 ()yx 的极值 . (18)(本题满分 10 分 ) 设函数 ()fx在区间 0,1上具有 2 阶导数，且 (1) 0f ，0()lim 0xfxx ，证明： ( )方程 ( ) 0fx 在区间（ 0,1）内至少存在
7、一个实根； ( )方程 2( ) ( ) ( ( ) ) 0f x f x f x在区间（ 0,1）内至少存在两个不同实根。 (19)(本题满分 10 分 ) 设薄片型物体 S 是圆锥面 z = 22xy 被柱面 2 2zx 割下的有限部分，其上任一点的 密度为 . 记圆锥面与柱面的交线为 C. ( )求 C 在 xOy 平面上的投影曲线的方程； ( )求 S 的质量 M. (20)(本题满分 11 分 ) 设 3 阶矩阵 1 2 3,A 有 3 个不同的特征值，且 3 1 22 . ( )证明 ( ) 2rA ； ( )若 1 2 3 ，求方程组 Ax 的通解 . 4 (21)(本题满分 1
8、1 分 ) 设二次型 2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3, , 2 2 8 2f x x x x x a x x x x x x x 在正交变换 x Qy 下的标准形为 221 1 2 2yy ，求 a 的值及一个正交矩阵 Q . (22)(本题满分 11 分 ) 设随机变来那个为 X ， Y 相互独立，且 X 的概率分布为 10 2 ,2P X P X Y 的概率密度为 2 , 0 10,yyfy 其 他( )求 ()PY EY ; ( )求 Z X Y的概率密度 . (23)(本题满分 11 分 ) 某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做 n 次测量，该物体的质量 是已知的，设 n 次测量结果 1 2, ., nX X X 相互独立且均服从正态分布 2,N .该工程师记录的是n 次测量 的绝对误差 1, 2 ,iiZ X i n ，利用 12,nZ Z Z 估计 . ( )求 iZ 的概率密度； ( )利用一阶矩求 的矩估计量； ( )求 的最大似然估计量 .
