1、本科毕业论文（20届）计算机辅助设计变异性BEZIER曲线的几何特性比较所在学院专业班级机械设计制造及其自动化学生姓名学号指导教师职称完成日期年月I摘要【摘要】随着计算机辅助设计的广泛普及，BEZIER曲线由于直观形象，数学方法简便得到了广泛的应用，其中最常用的是三次BEZIER曲线。本论文首先介绍BEZIER曲线的定义，拼接和特性，然后再此基础上，提出修改三次BEZIER曲线生成参数的方法获得九个变异的BEZIER曲线，然后通过编写AUTOLISP程序，绘制其曲线，最后比较了各个曲线的特性【关键词】BEZIER曲线；变异曲线；几何特性。IIABSTRACT【ABSTRACT】WITHTHEW
2、IDESPREADAVAILABILITYOFCOMPUTERAIDEDDESIGN,BEZIERCURVEHASBEENWIDELYAPPLIEDDUETOTHEREASONSTHATITISINTUITIVEANDITSMATHTHEMATICREPRESENTATIONISSIMPLETHEMOSTCOMMONISTHECUBICBEZIERCURVETHISTHESISFIRSTLYINTRODUCESTHEDEFINITIONOFBEZIERCURVES,STITCHINGANDFEATURES,FROMTHISBASIS,WECHANGECUBICBEZIERCURVEPARAME
3、TERSTOOBTAINNINEVARIEDBEZIERCURVES,ANDDRAWTHECURVESBYWRITINGAUTOLISPPROGRAMFINALLYWECOMPARETHECHARACTERISTICSOFEACHCURVE【KEYWORDS】BEZIERCURVE；MODIFIEDBEZIERCURVE；GEOMETRICPROPERTIESIII目录1绪论411课题背景412论文的研究内容52BEZIER曲线721BEZIER曲线的定义722BEZIER曲线的性质722BEZIER曲线的拼接823BEZIER曲线的CASTELJAU算法824三次BEZIER曲线的矩阵形式及
4、参数式925三次BEZIER曲线的绘图程序设计1026三次BEZIER曲线的性质123变异性BEZIER曲线构造与分析1331变异性BEZIER曲线的参数计算1332变异性BEZIER曲线特性分析13321K113322K215323K316324K416325K518326K619327K721328K822329K9243210K102533小结274结论与展望28参考文献29致谢错误未定义书签。附录错误未定义书签。41绪论11课题背景在计算机模拟的图形场景中为了细致地描绘出景物、物体的真实感，需要采用能精确地建立物体特征的表示，从而采用了多边形、二次曲面、分形结构、样条曲面和构造技术等实
5、体表示方法。其中为了构造齿轮、机冀、汽车等有曲面的结构而采用了样条曲面并且使用了可以逼近很多插值节点的BEZIER曲线。BEZIER曲线具有良好的几何性质，能简洁，完美地描述和表达自由曲线和曲面。在CADPCAM技术中得到广泛的应用。1962年，法同雷诺汽车公司的工程师PEBEZIER构造了一种以逼近为基础的参数曲线和曲面的没计方法。以这种方法为主完成了一个称为UNISURFI的曲线和曲面设计系统。并1972年在公司投入使用。BEZIER方法将函数逼近同几何表示结合起来，使得设计师在工程设计中能比较直观的意识到所给条件与设计出的曲线之间的关系，能方便的通过输入参数来改变曲线的形状。BEZIER
6、是依据四个位置任意的点坐标绘制出的一条光滑曲线。在历史上，研究贝塞尔曲线的人最初是按照已知曲线参数方程来确定四个点的思路设计出这种矢量曲线绘制法。贝塞尔曲线的有趣之处更在于它的“皮筋效应”，也就是说，随着点有规律地移动，曲线将产生皮筋伸引一样的变换，带来视觉上的冲击。PIERREBEZIER研究了这种矢量绘制曲线的方法，并给出了详细的计算公式，因此按照这样的公式绘制出来的曲线就用他的姓氏来命名为BEZIER曲线。由于用计算机画图大部分时间是操作鼠标来掌握线条的路径，与手绘的感觉和效果有很大的差别。即使是一位精明的画师能轻松绘出各种图形，拿到鼠标想随心所欲的画图也不是一件容易的事。这一点是计算机
7、万万不能代替手工的工作，所以到目前为止人们只能颇感无奈。使用BEZIER工具画图很大程度上弥补了这一缺憾。BEZIER曲线的应用研究主要有两类问题一类是造型及特征多边形设计，通过人机交互不断修改特征多边形，最后形成满意的曲线外形和图案。另一类问题是BEZIER曲线的插值（也称为反算），要求构造BEZIER曲线或BEZIER样条曲线使其通过给定的所有型值点，这一问题的实质是要求特征多边形的顶点1。本文主要研究通过改变参数获得变异型BEZIER曲线。BEZIER曲线在现实中应用非常的广泛,如飞机、汽车、船舶外形的设计CATIA波音、宝马、奔驰、克莱斯勒；水泵叶轮和齿轮等机械零件的设计桥梁和日5常用
8、品的设计等,如图所示图1汽车外形设计图2零件设计图3桥梁的设计图4鞋子的设计BEZIER曲线虽然有多的优点，但是也有一些不容忽视的缺点，如修改一个顶点会影响整段曲线的形状，局部修改能力差；BEZIER曲线与特征多边形相距较远，逼近性不是很好等，但主要的问题是对给定的控制顶点，BEZIER曲线的位置是固定的。为了得到更加灵活多样的曲线，因此，本文将介绍更一般的情况，在给定控制顶点的前提下，灵活选择相应的参数，来实现对曲线形状的调整。12论文的研究内容基本内容1了解并进一步研究BEZIER曲线的生成方法；2根据不同控制参数编写程序生成BEZIER曲线并研究其几何特性差别；3BEZIER曲线各类不同
9、算法研究；4学习软件编程，得出不同的变异性BEZIER曲线图形。5比较分析不同变异性BEZIER曲线的特点本论文的研究方案如图5所示。6图5研究方案研究各个曲线几何特性分析比较各个曲线的不同点和相同点归纳总结研究结果，撰写总结报告研究BEZIER曲线的生成方法用AUTOLISP编写程序编写程序72BEZIER曲线21BEZIER曲线的定义给定N1个控制顶点PII0N，则BEZIER曲线定义为3,2,1,011,NITTCTBNIINNI这N次参数曲线段为BEZIER曲线，其中,TBNI是古典伯恩施坦多项式，称为基底函数，也是一个权函数，它决定了在不同T值下对个位置失径对P矢量影响的大小，其表达
10、式为3,2,1,011,NITTCTBNIINNI依次用线段连接BI（I0,1，,N）中相邻两个矢径的端点，这样组成的N边折现多边形称为BEZIER特征多边形，位置矢径端点称为特征多边形的端点。从BEZIER曲线的定义可知，BEZIER曲线是一段曲线，曲线次数为N，需要N1个位置矢径来定义，在实际应用当中，最常见的所示三次BEZIER曲线，其次是二次BEZIER曲线，其他的高次的曲线一般不用，本文主要研究三次BEZIER曲线和变异性BEZIER的比较2。22BEZIER曲线的性质（1）端点性质。1）端点矢量P（0）0D，P（1）ND，可见，BEZIER曲线的首末点与其特征多边形的首末点重合。2
11、）切矢量P（0）N（10DD），P（1）N（1NNDD），说明BEZIER曲线在首末点处的切线方向与特征多边形第一条边和最后一条边得方向是一致的。3）K阶导函数假设控制顶点无重点（下同），则其K阶导矢曲线是以KNIIKPKNN0/为控制顶点的NK次BEZIER曲线（2）对称性。若将控制顶点方向排列成新的控制点ID（IN，N1,0）,由此构成的曲线形状不变，只是走相反的方向。（3）凸包性。BEZIER曲线的P（T）是点ID（IN，N1,0）的凸线性组合，并且曲线很位于其控制顶点构成的凸包内。（4）几何不变性和仿射不变性。（5）变差缩减性。任何一个平面与BEZIER曲线的交点数不超过它的控制多边形
12、的交点数，但包含整个控制多变形的平面除外。000,0,1,KNKNNKKNKKIIKIDNNITPITPBTPKNDTNKNK8（6）移动N次BEZIER曲线的第I个控制顶点ID，对曲线上的点P（I/N）影响最大，这是因为相应的基函数在TI/N处达到最大值2。22BEZIER曲线的拼接BEZIER曲线只是一个曲线段。仅用一个曲线段（不管是低次还是高次BEZIER曲线）来描述几何外形或进行图案设计是极其困难的，只有把若干个BEZIER曲线段拼接成BEZIER样条曲线方可用于几何设计。下面介绍三次BEZIER曲线的拼接。两段BEZIER曲线在拼接处必须满足几何连续性的要求，即要达到012,GGG连
13、续。,2G连续的拼接条件比较复杂，这里不做讨论。在一些几何设计要就不太严格的情况下（如艺术绘画）仅考虑01,GG连续。两段三次BEZIER曲线的拼接如图1所示。由01112131B,B,B,B四个顶点构造一段BEZIER曲线，四个顶点构造另一段02122232B,B,B,B曲线，两段曲线在31B处拼接。在拼接处要达到1G连续，首先要达到0G连续，即第一段特征多边形的终点31B必须和第二段特征多边形的起点重合（因BEZIER曲线起点、终点分别与特征多边形的起点，终点重合）。由端点性质可知，第一段曲线在31B处的切线方向为3121BB方向，第二段曲线在31B处的切线方向为1202BB方向。1G连续
14、要求在拼接处此二切线的方向一致。要做到这一点，213112,BBB3个顶点必须共线，而且2112,BB两个顶点分布在拼接点的异侧3。图6BEZIER曲线的拼接23BEZIER曲线的CASTELJAU算法设P0、P02、P2是一条抛物线上顺序三个不同的点。过P0和P2点的两切线交于P1点，在P02点的切线交P0P1和P2P1于P01和P11，则如下比例成立这是所谓抛物线的三切线定理9图7二次BEZIER曲线当P0，P2固定，引入参数T，令上述比值为T1T，即有T从0变到1，第一、二式就分别表示控制二边形的第一、二条边，它们是两条一次BEZIER曲线。将一、二式代入第三式得当T从0变到1时，它表示
15、了由三顶点P0、P1、P2三点定义的一条二次BEZIER曲线。并且表明这二次BEZIER曲线P02可以定义为分别由前两个顶点P0,P1和后两个顶点P1,P2决定的一次BEZIER曲线的线性组合。依次类推，由四个控制点定义的三次BEZIER曲线P03可被定义为分别由P0,P1,P2和P1,P2,P3确定的二条二次BEZIER曲线的线性组合，由N1个控制点PII0,1,N定义的N次BEZIER曲线P0N可被定义为分别由前、后N个控制点定义的两条N1次BEZIER曲线P0N1与P1N1的线性组合由此得到BEZIER曲线的递推计算公式24三次BEZIER曲线的矩阵形式及参数式由PPU0P132U23U
16、1P32U23U0PU22U3U1P2U3U当3N时，根据0P31P0P和3P3（32PP）则PPU0P（13U32U3U）1P3U62U33U2P32U33U3P3U10于是得到矩阵形式为01232310003300136301331PPPPUUUUPP若将3210,PPPP分解为二维平面上的YX,分量，则01232310003300136301331XXXUUUUXX01232310003300136301331YYYUUUUYY将其展开，按U的升幂书写得三阶BEZIER曲线的参数式为230123XUAAUAUAU230123YUAAUAUAU式中321032102101003210321
17、021010033363333336333YYYYBYYYBYYBYBXXXXAXXXAXXAXA25三次BEZIER曲线的绘图程序设计根据公式可以编写AUTOLISP程序得到三次BEZIER曲线的图下面是绘制三次BEZIER曲线的AUTOLISP程序。DEFUNCBEZIER3IFSETQB0GETPOINT“NENTERFIRSTPOINT“B1GETPOINTB0“NSENCONDPOINT“B2GETPOINTB1“NTHIRDPOINT“B3GETPOINTB2“NFORTHPOINT“11PROGNSETQX0CARB0Y0CADRB0X1CARB1Y1CADRB1X2CARB2Y
18、2CADRB2X3CARB3Y3CADRB3A13X1X0A23X06X13X2A33X1X33X2X0A43Y1Y0A53Y06Y13Y2A63Y1Y33Y2Y0COMMAND“LAYER“S“4“C“4“COMMAND“PLINE“B0B1B2B3“绘制特征多边形COMMAND“LAYER“S“1“C“1“SETQT10COMMAND“PLINE“REPEAT11SETQXX0A1T1A2T1T1A3T1T1T1YY0A4T1A5T1T1A6T1T1T1T1T101COMMANDLISTXYCOMMAND“COMMAND“PEDIT“L“F“COMMAND“REDRAW“PRINC上述程序
19、中的A1，A2，A3，A4，A5，A6为中间变量，分别代表坐标分量表示式中参数U前面的系数。如图8为一个三次BEZIER曲线的例子，12图8三次BEZIER曲线其中0P（10，10），1P（,20,20），2P（30,20），3P（40,10）26三次BEZIER曲线的性质（1）端点性质BEZIER曲线通过特征多边形的起点和终点，且曲线在起点与特征多边形始终相切，在终点与多边形终边始终相切。（2）对称性若是把顶点的位置颠倒过来，得到的曲线和原来的是曲线是重合的，只不过是方向相反了。（3）其他性质。包括直观性，几何不变性，凸包性等1。133变异性BEZIER曲线构造与分析31变异性BEZIER曲
20、线的参数计算从三次BEZIER曲线的计算中可以得到0P31P0P和3P3（32PP）若0PK1P0P和3PK（32PP），即改变原来的参数，将3改变成其他的值，本文研究K的变化范围在110之间。则得到的矩阵是不一样的。由PPU0P132U23U1P32U23U0PU22U3U1P2U3U0PK1P0P和3PK（32PP）可以得到3211201001000KKKKKPUUUUPKK将其展开则得到下面的方程2300101201232PUPKPKPUKPKPKPUPKPKPPU将它改写为参数形式2301230123XUAAUAUAUYUBBUBUBU其中32103210210100321032102
21、1010022YKYKYYBKYKYKYBKYKYBYBXKXKXXAKXKXKXAKXKXAXA32变异性BEZIER曲线特性分析321K1有3211111210111001000PUUUUP14将它展开即得2300101201232PUPPPUPPPUPPPPU00101201232XUXXXUXXXUXXXXU2300101201232YUYYYUYYYUYYYYU用AUTOLISP编程时，在三次BEZIER曲线编程中将A1，A2，A3，A4，A5，A6中的方程用上述方程代替，便可以得出K1时的图。如下图9三次BEZIER曲线和K1的曲线将它和原来的是三次BEZIER曲线比较，可以得到如
22、下特点（1）当K1的变异型曲线的端点性质改变，所得到的变异型曲线与特征多边形的起点和终点虽然重合，但曲线在起点与特征多边形一边已经不相切，如3P点。所以变异型曲线的端点性质改变。（2）三次BEZIER曲线具有对称性，即要是把顶点次序颠倒过来，得到的新的曲线和原来的曲线是重合的，只不过是走向相反，但K1的变异型曲线已经不具有对称性，如图10（3）变异型曲线的变化幅度已经明显变小，但仍然具有凸包性。（4）变异后的曲线仍旧具有跟三次BEZIER曲线一样的几何不变性，即曲线仅依赖于控制顶点而与坐标系的位置和方向无关，即曲线的形状在坐标系平移和旋转后不变；同时，对控制多边形进行缩放或剪切等仿射变换后所对
23、应的新曲线就是相同仿射变换后的曲线。15图10变异曲线的对称性其中曲线A的控制点为3210,PPPP曲线B的控制点为0123,PPPP322K2有3212212420122001000PUUUUP将其展开即得23001012012300101201230010120123222422212224222122242221PUPPPUPPPUPPPPUXUXXXUXXXUXXXXUYUYYYUYYYUYYYYU用AUTOLISP编程时，在三次BEZIER曲线编程中将A1，A2，A3，A4，A5，A6中的方程用上述方程代替，便可以得出K2时的图。如下图11三次BEZIER曲线和K2的曲线把它与原始曲
24、线进行比较（如图11）进行分析之后可知16（1）当K2的变异型曲线的端点性质改变，所得到的变异型曲线与特征多边形的起点和终点虽然重合，但曲线在起点与特征多边形一边已经不相切，如3P点。所以变异型曲线的端点性质改变。（2）和K1的变异型曲线一样，新得到的K2的变异型曲线也不具有对称性。如图12（3）得到新的K2的变异型曲线和三次BEZIER曲线幅度要小，但和K1变异型曲线相比，幅度有了明显的增加。如图11（4）变异后的曲线仍旧具有跟三次BEZIER曲线一样的几何不变性，即曲线仅依赖于控制顶点而与坐标系的位置和方向无关，即曲线的形状在坐标系平移和旋转后不变；同时，对控制多边形进行缩放或剪切等仿射变
25、换后所对应的新曲线就是相同仿射变换后的曲线。图12K2曲线的对称性其中曲线A的控制点为3210,PPPP曲线B的控制点为0123,PPPP323K3这是三次BEZIER曲线。324K4有3214414840144001000PUUUUP将其展开即得1723001012012300101201230010120123444842214448444144484441PUPPPUPPPUPPPPUXUXXXUXXXUXXXXUYUYYYUYYYUYYYYU用AUTOLISP编程时，在三次BEZIER曲线编程中将A1，A2，A3，A4，A5，A6中的方程用上述方程代替，便可以得出K4时的图。如下图13
26、三次BEZIER曲线和K4的曲线把它与原始曲线进行比较（如图13）进行分析之后可知（1）当K4的变异型曲线的端点性质改变，所得到的变异型曲线与特征多边形的起点和终点虽然重合，但曲线在起点与特征多边形一边已经不相切，如3P点。所以变异型曲线的端点性质改变。（2）和上述的变异型曲线一样，新得到的的K4变异型曲线也不具有对称性。如图14（3）新得到的K4变异型曲线和上述曲线不同，幅度明显变大，而且曲线的凸包性消失。如图13。（4）变异后的曲线仍旧具有跟三次BEZIER曲线一样的几何不变性，即曲线仅依赖于控制顶点而与坐标系的位置和方向无关，即曲线的形状在坐标系平移和旋转后不变；同时，对控制多边形进行缩
27、放或剪切等仿射变换后所对应的新曲线就是相同仿射变换后的曲线。18图14K4曲线的对称性其中曲线A的控制点为3210,PPPP曲线B的控制点为0123,PPPP325K5有32155151050155001000PUUUUP将其展开即得23001012012300101201230010120123555105555551055555510555PUPPPUPPPUPPPPUXTXXXUXXXUXXXXUYUYYYUYYYUYYYYU用AUTOLISP编程时，在三次BEZIER曲线编程中将A1，A2，A3，A4，A5，A6中的方程用上述方程代替，便可以得出K5时的图。如下图15三次BEZIER曲
28、线和K5的曲线把它与原始曲线进行比较（如图15）进行分析之后可知19（1）当K5的变异型曲线的端点性质改变，所得到的变异型曲线与特征多边形的起点和终点虽然重合，但曲线在起点与特征多边形一边已经不相切，如3P点。而且比上诉其他的变异型曲线更加明显，所以变异型曲线的端点性质改变。（2）和上述的变异型曲线一样，新得到的的K5变异型曲线也不具有对称性，如图16（3）新得到的K5变异型曲线和上述曲线不同，幅度明显变大，而且曲线的凸包性消失。如图15。（4）变异后的曲线仍旧具有跟三次BEZIER曲线一样的几何不变性，即曲线仅依赖于控制顶点而与坐标系的位置和方向无关，即曲线的形状在坐标系平移和旋转后不变；同
29、时，对控制多边形进行缩放或剪切等仿射变换后所对应的新曲线就是相同仿射变换后的曲线。图16K5曲线的对称性其中曲线B的控制点为3210,PPPP曲线A的控制点为0123,PPPP326K6有32166161260166001000PUUUUP将其展开即得23001012012300101201230010120123666126666661266666612666PUPPPUPPPUPPPPUXUXXXUXXXUXXXXUYUYYYUYYYUYYYYU20用AUTOLISP编程时，在三次BEZIER曲线编程中将A1，A2，A3，A4，A5，A6中的方程用上述方程代替，便可以得出K6时的图。如下图
30、17三次BEZIER曲线和K6的曲线把它与原始曲线进行比较（如图17）进行分析之后可知（1）当K6的变异型曲线的端点性质改变，所得到的变异型曲线与特征多边形的起点和终点虽然重合，但曲线在起点与特征多边形一边已经不相切，如3P点。而且比上诉其他的变异型曲线更加明显，所以变异型曲线的端点性质改变。（2）和上述的变异型曲线一样，新得到的的K6变异型曲线也不具有对称性，如图18（3）新得到的K6变异型曲线和上述曲线不同，幅度明显变大，而且曲线的凸包性消失。如图17。（4）变异后的曲线仍旧具有跟三次BEZIER曲线一样的几何不变性，即曲线仅依赖于控制顶点而与坐标系的位置和方向无关，即曲线的形状在坐标系平
31、移和旋转后不变；同时，对控制多边形进行缩放或剪切等仿射变换后所对应的新曲线就是相同仿射变换后的曲线。21图18K6曲线的对称性其中曲线A的控制点为3210,PPPP曲线B的控制点为0123,PPPP327K7有32177171470177001000PUUUUP将其展开即得23001012012300101201230010120123777147777771477777714777PUPPPUPPPUPPPPUXUXXXUPXXUXXXXUYUYYYUYYYUYYYYU用AUTOLISP编程时，在三次BEZIER曲线编程中将A1，A2，A3，A4，A5，A6中的方程用上述方程代替，便可以得出
32、K7时的图。如下图19三次BEZIER曲线和K7的曲线把它与原始曲线进行比较（如图19）进行分析之后可知22（1）当K7的变异型曲线的端点性质改变，所得到的变异型曲线与特征多边形的起点和终点虽然重合，但曲线在起点与特征多边形一边已经不相切，如3P点。而且比上诉其他的变异型曲线更加明显，所以变异型曲线的端点性质改变。（2）和上述的变异型曲线一样，新得到的的K7变异型曲线也不具有对称性，如图20（3）新得到的K7变异型曲线和上述曲线不同，幅度明显变大，而且曲线的凸包性消失。如图19。（4）变异后的曲线仍旧具有跟三次BEZIER曲线一样的几何不变性，即曲线仅依赖于控制顶点而与坐标系的位置和方向无关，
33、即曲线的形状在坐标系平移和旋转后不变；同时，对控制多边形进行缩放或剪切等仿射变换后所对应的新曲线就是相同仿射变换后的曲线。图20K7曲线的对称性其中曲线A的控制点为3210,PPPP曲线B的控制点为0123,PPPP328K8有32188181680188001000PUUUUP将其展开即得23001012012300101201230010120123888168888881688888816888PUPPPUPPPUPPPPUXUXXXUXXXUXXXXUYUYYYUYYYUYYYYU23用AUTOLISP编程时，在三次BEZIER曲线编程中将A1，A2，A3，A4，A5，A6中的方程用上
34、述方程代替，便可以得出K8时的图。如下图21三次BEZIER曲线和K8的曲线把它与原始曲线进行比较（如图21）进行分析之后可知（1）当K8的变异型曲线的端点性质改变，所得到的变异型曲线与特征多边形的起点和终点虽然重合，但曲线在起点与特征多边形一边已经不相切，如3P点。而且比上诉其他的变异型曲线更加明显，所以变异型曲线的端点性质改变。（2）和上述的变异型曲线一样，新得到的的K8变异型曲线也不具有对称性，如图22（3）新得到的K8变异型曲线和上述曲线不同，幅度明显变更大，而且曲线的凸包性消失。如图21。（4）变异后的曲线仍旧具有跟三次BEZIER曲线一样的几何不变性，即曲线仅依赖于控制顶点而与坐标
35、系的位置和方向无关，即曲线的形状在坐标系平移和旋转后不变；同时，对控制多边形进行缩放或剪切等仿射变换后所对应的新曲线就是相同仿射变换后的曲线。图22K8曲线的对称性24其中曲线A的控制点为3210,PPPP曲线B的控制点为0123,PPPP329K9有32199191890199001000PUUUUP将其展开即得23001012012300101201230010120123999189999991899999918999PUPPPUPPPUPPPPUXUXXXUXXXUXXXXUYUYYYUYYYUYYYYU用AUTOLISP编程时，在三次BEZIER曲线编程中将A1，A2，A3，A4，A
36、5，A6中的方程用上述方程代替，便可以得出K9时的图。如下图23三次BEZIER曲线和K9的曲线把它与原始曲线进行比较（如图23）进行分析之后可知（1）当K9的变异型曲线的端点性质改变，所得到的变异型曲线与特征多边形的起点和终点虽然重合，但曲线在起点与特征多边形一边已经不相切，如3P点。而且比上诉其他的变异型曲线更加明显，所以变异型曲线的端点性质改变。（2）和上述的变异型曲线一样，新得到的的K9变异型曲线也不具有对称性，如图24（3）新得到的K9变异型曲线和开始曲线不同，幅度明显变更大，但和K525后的曲线相近，而且曲线的凸包性消失。如图23。（4）变异后的曲线仍旧具有跟三次BEZIER曲线一
37、样的几何不变性，即曲线仅依赖于控制顶点而与坐标系的位置和方向无关，即曲线的形状在坐标系平移和旋转后不变；同时，对控制多边形进行缩放或剪切等仿射变换后所对应的新曲线就是相同仿射变换后的曲线。图24K9曲线的对称性其中曲线A的控制点为3210,PPPP曲线B的控制点为0123,PPPP3210K10有32110101102010011010001000PUUUUP将其展开即得23001012012300101201230010120123101010201010101010102010101010101020101010PUPPPUPPPUPPPPUXUXXXUXXXUXXXXUYUYYYUYYY
38、UYYYYU用AUTOLISP编程时，在三次BEZIER曲线编程中将A1，A2，A3，A4，A5，A6中的方程用上述方程代替，便可以得出K9时的图。如下26图25三次BEZIER曲线和K10的曲线把它与原始曲线进行比较（如图25）进行分析之后可知（1）当K10的变异型曲线的端点性质改变，所得到的变异型曲线与特征多边形的起点和终点虽然重合，但曲线在起点与特征多边形一边已经不相切，如3P点。而且比上诉其他的变异型曲线更加明显，所以变异型曲线的端点性质改变。（2）和上述的变异型曲线一样，新得到的的K10变异型曲线也不具有对称性，如图26（3）新得到的K10变异型曲线和开始曲线不同，幅度明显变更大，但
39、和K5后的曲线相近，而且曲线的凸包性消失。如图25。（4）变异后的曲线仍旧具有跟三次BEZIER曲线一样的几何不变性，即曲线仅依赖于控制顶点而与坐标系的位置和方向无关，即曲线的形状在坐标系平移和旋转后不变；同时，对控制多边形进行缩放或剪切等仿射变换后所对应的新曲线就是相同仿射变换后的曲线。图26K10曲线的对称性27其中曲线A的控制点为3210,PPPP曲线B的控制点为0123,PPPP33小结结合上述所有的图，可以发现K1,2,3,4,5,6,7,8,9,10各变异型曲线的一些相同点和一些不同点。（1）所有变异型曲线的端点性质改变，即曲线一端点和特征多边形已经不想切。（2）随着参数的变化，各
40、变异型曲线也相应的发生改变，当K3时，曲线的凸包性仍然存在，可是当K3时，变异型曲线的凸包性消失，而且随着参数的变大，曲线的变化幅度越来越大，和三次BEZIER曲线的差异越来越大。当参数K1时，变异型曲线是最平稳的，当参数K10时，曲线是最歪曲的。现将各图放在一起比较，如图27（3）在所有的曲线当中，只有三次BEZIER曲线具有对称性，其他的曲线都不具有。（4）变异后的曲线仍旧具有跟原始曲线一样的几何不变性，即曲线仅依赖于控制顶点而与坐标系的位置和方向无关，即曲线的形状在坐标系平移和旋转后不变；同时，对控制多边形进行缩放或剪切等仿射变换后所对应的新曲线就是相同仿射变换后的曲线（5）所有的曲线的
41、渐变过程是一个有规律的变化过程。如图27图27变异型曲线的渐变过程284结论与展望由于BEZIER曲线的变化情况是非常多的，鉴于个人的能力和时间有限，所以本文的研究是有选择性和针对性的。本文首先介绍了BEZIER曲线的定义，拼接和生成方法，对变异型曲线有了初步的了解。在此基础上，改变相应的参数，建立参数方程，然后用AUTOLISP程序编写各个参数下的曲线图。最后对得到的9个变异型曲线和原始曲线进行比较分析，得出各个曲线的特性。本文研究的变异型曲线，只是单纯的改变了一个参数K，所以在很大的程度上，得出的研究成果是有些片面的，有很多不完善的地方，可能在现实中也很难做实际的用途，但也是做了一个新的尝
42、试，对BEZIER曲线的研究做出了自己的努力，希望达到一个抛砖引玉的作用，以便以后研究者能更加的了解BEZIER曲线。自己也会在这一方面继续研究下去，获得更大的成就。29参考文献1宁汝新等，CAD/CAM技术，机械工业出版社，19992任敏，绘制BEZIER曲线的算法研究J现代机械，2007,13徐甜，刘凌霞BEZIER曲线的算法描述及其程序实现J安阳师范学院学报，2006，54韩旭里，刘圣军二次BEZIER曲线的扩展J中南工业大学学报自然科学版，2003，3422142175吴晓勤，韩旭里三次BEZIER曲线的扩展J工程图学学报，2005，6981026刘值BEZIER曲线的扩展J合肥工业大
43、学学报自然科学版，2004，2789769797FARINGCURVESANDSURFACESFORCOMPUTERAIDEDGEOMETRICDESIGNAPRACTICALGUIDEMACADEMICPRESS，1993，371048BOEHMRATIONALGEOMETRICSPLINEJCAGD，1987，4167779BOEHMWFARINGKAHMANNJASERVEYOFCURVEANDSURFACEMETHODSINCAGDJCAGD，1984，1116010PEBEZIERNUMERICA1CONTROLIMATHEMATICSANDAPPLICATIONSTRANSLATEDBYFORRESTARJOHNWILEYANDSONS，LONDON，1972
