1、本科毕业论文（20届）热和机械载荷作用下功能梯度压电梁的解析解所在学院专业班级工程力学学生姓名学号指导教师职称完成日期年月I摘要摘要功能梯度材料是指材料的组成和结构从材料的某一方位向另一方位连续地变化，使材料的性能和功能也呈现梯度变化的一种新型的功能性材料。压电材料，由于具有良好的力电耦合特性已经被广泛应用于科研和工程实践。但这种结构元件中某些材料性质和成分的突然变化常常会导致结构中出现局部的应力集中，进而缩短了元件的寿命。功能梯度压电材料是将“压电材料”与“功能梯度材料”相结合发展起来的一种新型材料，兼具压电和梯度二者的优点，利用它制作压电元件可以克服传统压电元件中存在的问题。功能梯度压电材
2、料在工程应用中有许多新的问题需要解决，如准确的分析模型以及有效的计算方法等。本文对功能梯度压电悬臂梁在热载和自由端受横力作用下的弯曲问题进行了研究。其中梁的材料参数可以是厚度坐标的任意函数，梁中的热传导问题为沿厚度方向的一维问题。从平面应力问题的基本方程出发，假定应力函数和电位移函数形式，由应力函数和电位移函数求导给出应力和电位移，利用协调方程和边界条件可完全确定应力函数。最后给出了一个算例。得到了不同的梯度指标对应力和电位移均有影响的结论，因而科学实验和工程实践中可以通过调整功能梯度压电材料的梯度指标来满足设计要求。其中温度对轴向应力分布有较大影响，对纵向应力、剪应力和电位移没有影响。温度对
3、梁的挠度位移有较大影响，而对电势的影响不大。关键词功能梯度；压电梁；热应力；解析解。IIABSTRACTFUNCTIONALLYGRADEDMATERIALISANEWKINDOFFUNCTIONALLYMATERIALWHOSECOMPOSITIONANDSTRUCTURECHANGECONTINUOUSLYFROMONEORIENTATIONTOANOTHER,MAKINGTHEMATERIALSPROPERTIESANDFUNCTIONPRESENTANEWTYPEOFGRADIENTCHANGEPIEZOELECTRICMATERIALS,WHICHHASGOODFORCEELECTR
4、ICALCOUPLINGCHARACTERISTICS,HAVEBEENWIDELYUSEDINSCIENTIFICRESEARCHANDENGINEERINGPRACTICEHOWEVER,THESUDDENCHANGESOFPROPERTIESANDCOMPONENTSOFMATERIALSFORTHISKINDOFSTRUCTURALCOMPONENTSOFTENLEADTOSTRESSCONCENTRATIONINLOCALTHENTHESERVICELIFEOFELEMENTISSHORTENEDFUNCTIONALLYGRADEDPIEZOELECTRICMATERIALISANE
5、WKINDOFMATERIALCOMBINING“PIEZOELECTRICMATERIALS“AND“FUNCTIONALLYGRADEDMATERIALS“WITHTHEADVANTAGESOFBOTHPIEZOELECTRICANDGRADEDUSEDTOMAKETHEPIEZOELECTRICELEMENTCANOVERCOMETRADITIONALPROBLEMSINTHEPIEZOELECTRICELEMENTFUNCTIONALLYGRADEDPIEZOELECTRICMATERIALSINENGINEERINGAPPLICATIONHAVEMANYNEWPROBLEMSTOBE
6、SOLVED,SUCHASACCURATEANALYSISMODELANDEFFECTIVECALCULATIONMETHODTHISPAPERCONSIDERSTHEBENDINGPROBLEMOFFUNCTIONALLYGRADEDPIEZOELECTRICCANTILEVERWITHTHERMALLOADANDTRANSVERSEFORCESATITSFREEENDONEBEAMMATERIALPARAMETERSCANBEARBITRARYTHICKNESSCOORDINATEEACHMATERIALPARAMETEROFTHEFUNCTIONALLYGRADEDBEAMCANBEAN
7、ARBITRARYCONTINUOUSFUNCTIONOFTHETHICKNESSCOORDINATEOFTHEBEAMANDTHEHEATCONDUCTIONPROBLEMOFTHEBEAMCANBEONEDIMENSIONALPROBLEMSALONGTHETHICKNESSDIRECTIONFROMTHEBASICEQUATIONSOFPLANESTRESSPROBLEM,ASSUMETHEFORMOFSTRESSFUNCTIONANDTHEELECTRICDISPLACEMENTFUNCTION,BYDERIVATIONOFTHESTRESSFUNCTIONANDTHEELECTRIC
8、DISPLACEMENTFUNCTIONWECANGETSTRESSANDELECTRICDISPLACEMENTBYEQUILIBRIUMEQUATIONSANDBOUNDARYCONDITIONS,THESTRESSFUNCTIONCANBEDETERMINEDFINALLY,ANUMERICALEXAMPLEISPRESENTEDGOTCONCLUSIONOFDIFFERENTGRADIENTINDEXONTHESTRESSANDTHEELECTRICDISPLACEMENTAREINFLUENTIALTHUSTHESCIENTIFICEXPERIMENTANDTHEENGINEERIN
9、GPRACTICECANADJUSTTHEGRADIENTINDEXOFFUNCTIONALLYGRADEDPIEZOELECTRICMATERIALSTOMEETTHEDESIGNREQUIREMENTSAMONGTHEM,THETEMPERATUREDISTRIBUTIONOFAXIALSTRESSHASGREATINFLUENCEONTHEVERTICALSTRESS,SHEARSTRESSBUTITHASNOEFFECTONELECTRICDISPLACEMENTTHETEMPERATUREHASABIGGERINFLUENCEONDEFLECTIONDISPLACEMENTOFTHE
10、BEAM,BUTHASLITTERINFLUENCEONTHEPOTENTIALOFTHEBEAMKEYWORDSFUNCTIONALGRADEDPIEZOELECTRICBEAMSTHERMALSTRESSANALYTICALSOLUTIONIII目录摘要I目录III1绪论111功能梯度材料介绍1111功能梯度材料的组成2112功能梯度材料的研究和发展前景212功能梯度压电材料FGPM的简介及研究背景413功能梯度材料的研究意义614本文的工作72基本方程83边界条件104求解过程1141确定温度场和应力函数法1142轴力，弯矩，剪力和位移1343确定应力，电位移，位移和电势135算例156
11、全文总结和今后工作展望20参考文献22致谢错误未定义书签。1绪论11功能梯度材料介绍从材料的结构角度来看，梯度功能材料（FUNCTIONALGRADEDMATERIALS）与均一材料、复合材料不同。它是选用两种（或多种）性能不同的材料，通过连续地改变这两种（或多种）材料的组成和结构，使其界面消失导致材料的性能随着材料的组成和结构的变化而缓慢变化，形成梯度功能材料。具体是指具有成分、组织结构、密度等理化性能沿轴向连续或阶梯式变化，从而使材料两端呈现截然不同性能和不同功能的材料梁。本质上，功能梯度材料属于与一般的层合材料不同的多相材料。在功能梯度材料的制备过程中，通过控制材料各种成分的分布来减弱甚
12、至消除材料界面。从而得到宏观上材料系数在空间位置上梯度变化的高性能材料。由于材料中不存在明显的界面，避免了受热的热应力造成的破坏，因而具有缓和热应力的功能等等。这些优越的物理性能使它在航空航天、机械工程、核能工程、光电工程、生物医学工程等许多的领域都有着较高的使用价值和广阔应用前景。功能梯度材料相关研究的提出，引起了国际工程界及学术界的广泛关注。1987年，日本科学技术厅启动了国家级研究项目“关于开发缓和热应力的功能梯度材料的基础技术研究”,1988年成立功能梯度材料研究会。到1993年，日本科学技术厅又启动了国家级项目“具有功能梯度结构的能量转换材料的研究”。与此同时，法、美、俄、德、中、澳
13、等国也在积极开展对功能梯度材料的研究工作。从上世纪90年代中期开始，美国每年在功能梯度材料方面投入的科研经费达1718亿美元。而我国则将功能梯度材料研究列入国家“863”重大计划项目，国家自然科学基金委员会也在大力资助功能梯度材料项目的研究。1990年日本召开第一届功能梯度材料国际研讨会，之后该会被定为系列国际会议，每隔两年召开一次，迄今共举办了九届。2002年由清华大学材料系承办，第七届国际会议在北京召开。与此同时功能梯度材料集功能与结构于一体，具有良好的耐热性、抗热冲击性、抗热疲劳性和较高的强度，代表着超高温材料发展的重要方向之一。人们发现在化学、电子、核能、声学、光学、生物医学等技术领域
14、，功能梯度材料都有着广阔的应用前景。2003年，MAALEJEC1将FGM概念引入混凝土梁，用一种工程用粘合剂ECC替换梁主弯区的混凝土，制成功能梯度混凝土梁FGCB，实验发现这样的梁具有很好的抗腐蚀性。2总之，功能梯度材料是集使用功能性、可控性和适应环境性为一体的先进材料，拥有传统复合材料无法比拟的许多优点，是二十一世纪材料科学的重要研究方向。为了使功能梯度材料在我国得到广泛推广和应用，并自主创造出具有自主知识产权的相关成果，迫切需要对该材料的基础理论进行深入研究。十多年前，复合材料在土木工程领域中的应用还较少，但随着相关产品制造成本的降低，越来越多的复合材料己得到应用，可以预见，在不久的将
15、来会有更好的应用。111功能梯度材料的组成从材料的组成方式上看，功能梯度材料可以分为金属/陶瓷、陶瓷/陶瓷、金属/非金属、非金属/塑料和陶瓷/非金属等多种组合方式。从组成变化上看，功能梯度材料可以分为功能梯度整体型材料结构组成自一侧向另一侧呈梯度渐变的材料，功能梯度涂覆型材料在基体材料上面形成组成渐变的涂层，以及功能梯度连接型材料粘结两个基体间的接缝的材料呈梯度变化。由于在制备过程中，选取了两种或多种不同性质的材料，通过连续地控制材料的微观组成结构、空隙形态和结合方式，使界面处的组织和成分连续变化，大大缓和了材料内部的热应力。将耐热性好的陶瓷材料用于高温侧壁，将导热强度好的金属材料用于低温侧壁
16、。在金属和陶瓷中间的梯度过渡层内，材料的耐热性能、机械性能等连续变化，而热应力在材料两端都很小，使功能梯度材料成为可以在高温环境下得到应用的新型耐热材料。图1为FGM的设计流程图，从图中可以看出，后阶段设计及制备的基础是材料组分的选择，组分选择的好坏关系到梯度材料的最终实现。112功能梯度材料的研究和发展前景现代材料的研究体系主要包含4个要素材料的固有性质、材料的结构与成分、材料的使用性能和材料的合成与加工。显然，功能梯度材料的开发研究涉及到多产业、多学科的交叉和合作，是一项非常庞大的系统工程。功能梯度材料的开发研究通常由三个部分组成材料设计、材料合成和性能评估。功能梯3度材料的设计是在计算机
17、辅助设计帮助下获得最优的材料组成和组分分布来完成的。首先按照几何形状和边界条件等要求，在设计基本资料和材料性能数据库的基础上选择出可能的材料成分组合，然后在预定的混合比分布下来进行热传导和热应力的分析；通过多次迭代计算以确定最优的材料组合和组份分布形态。再由材料合成部门完成材料的梯度合成，并对合成后的材料进行性能评估。再把测定结果和评估意见反馈给设计部门。经过循环设计、制备和评价，最后研制出满足设计要求的功能梯度材料。功能梯度材料自提出到现在，已经得到长足发展。以材料设计为核心开发出的各种尺寸、形状复杂的功能梯度材料，进一步拓展其在领域中的应用。随着组元设计多样化的迅速发展，组元成分的选择也日
18、益合理，梯度材料也将向着经济实用和多组元设计的方向不断发展。制备方法也将进一步得到丰富。单从设计上分析，随着目前非均质材料组成结构性能体系的深入研究，连续介质理论、量子理论和微观结构模型的不断完善，未来将建立起相对完备的功能梯度材料数据系统。人们将从具体要求出发，假设不同的组分和组分分布，在合适的化学、物理模型构建下，进行优化设计，最终获得满足具体要求的最佳材料组合及空间梯度分布。图1FGM流程设计图412功能梯度压电材料FGPM的简介及研究背景压电材料是指受到压力作用时会在两端面间出现电压的晶体材料。1880年，法国物理学家P居里和J居里兄弟发现，把重物放在石英晶体上，晶体某些表面会产生电荷
19、，电荷量与压力成比例。这一现象被称为压电效应。随即，居里兄弟又发现了逆压电效应，即在外电场作用下压电体会产生形变。压电效应的机理具有压电性能的晶体对称性较低，当其在外力作用下发生形变时，晶胞中正负离子的相对位移使正负电荷中心不再重合，导致晶体发生宏观极化，而晶体表面电荷面密度等于极化强度在表面法向上的投影，所以压电材料受压力作用形变时两端面会出现异号电荷。反之，压电材料在电场中发生极化时，会因电荷中心的位移导致材料变形。利用压电材料的这些特性可实现机械振动（声波）和交流电的互相转换。因而压电材料广泛用于传感器元件中，例如地震传感器，力、速度和加速度的测量元件以及电声传感器等。随着科技的发展，压
20、电材料作为一种智能材料在许多高科技领域（如微机电、航空、生物科学等）得到了广泛应用，电机械耦合问题已经成为目前研究的一个热门课题。功能梯度压电材料是将“功能梯度材料”与“压电材料”相结合发展起来的新型材料，兼具压电和梯度两者的优点。利用它制作压电元件能克服传统压电元件中存在的比如低温下易脆断、高温下易剥落、高速振动中易脱开等问题。在不同温度环境中，功能梯度压电材料内各组份的物理性质参数也会随着温度产生显著变化，此时功能梯度压电梁在热和机械载荷共同作用下的弯曲变形比较复杂，目前相关的研究成果较少。近年来，国内外学者对梯度压电材料的相关问题进行了较深入的研究，取得了一批重要的研究成果。WU等2和Z
21、HU等3分别成功制备了功能梯度压电材料，并发展了新的功能梯度压电执行器。WU等2对功能梯度压电悬臂梁进行了实验研究。HAUKE等4研究了各层压电系数随高度呈梯度变化的多层压电执行器。DEVOEANDPISANO5用梁理论为多层压电梁建立了模型，给出了挠度公式。LEE6用有限元法分析层状功能梯度梁的在电势和热载荷下的力学响应。CHENANDSHI7假定材料的压电电压系数31G沿梁厚度方向为线性变化，用应力函数法得到了功能梯度压电悬臂梁的解析解。利用压电弹性理论，XIANGANDSHI8研究了夹有功能梯度压电材料的悬臂梁在电势和热载荷作用下的响应问题。YANGANDXIANG9用TIMOSHENK
22、O梁理论研究了功能梯度压电单晶片、压电双晶片和压电多晶片在热和机械载荷作用下的弯曲和动态响应问题。5于等10研究了均布载荷作用下功能梯度悬臂梁弯曲问题的解析解。该文采用弹性力学半逆解法，所有材料常数被假设为沿着梁厚度方向按同意函数规律变化，并求得了均布载荷作用下的解析解。该解退化到各项同性均匀弹性情况时与已有的理论解相一致，对弹性模量按自身函数梯度变化的算例进行了分析，所得到的解对人员梯度函数均成立，可作为数值解以及简化理论的检验依据。HUANG等11研究了各向异性的功能梯度压电平面梁的弯曲问题，其中的材料参数可以是厚度的任意函数。该文的思路主要是首先,压电材料的应力函数和电位移函数要满足非均
23、质功能梯度梁问题的平面偏微分方程解的表达式；其次,应力、电位移函数多项式的形式被假设为纵协调,使应力、电位移函数通过不断的整合可以获得。然后得出轴向力、弯矩、剪切力、位移、电位移和电势的解析表达式；第三,应力函数、电位移函数是被用来解决平面功能梯度压电梁问题的，积分常数可以完全由边界条件确定。由此得到在自由端受到剪力和集中载荷的悬臂梁的解析解和自由端收到均匀载荷的悬臂梁的解析解。这些解可以很容易地退化到各向同性功能梯度压电梁的压电弹性力学解析解。该文章所获取的功能梯度压电梁的压电弹性力学解有三点意义第一个是所找到的解决方法可以应用到各向异性材料；第二,可以沿梁高度方向改变的梁的材料参数；第三个
24、是该解决方法可以很容易地退化成那些各向同性材料梁。陈盈等12采用应力函数解法研究了梯度功能压电悬臂梁的一组基本解及应用。得到了在同时考虑材料弹性参数和体积力呈梯度变化时，压电悬臂梁的应力函数和电位移函数的解析表达式及其一组基本解，并确定了压电执行器的尖端位移和制动力。利用该基本解，可以方便地确定在几种典型荷载单独或联合作用下，悬臂梁的基本解及其相应的应用问题。该工作表明，对压电悬臂梁，当弹性参数和密度同时呈梯度变化时，仍可采用逆解法球的其解析解，同时该文所得到的解答有助于进一步研究功能梯度压电悬臂梁（执行器）的其它力电行为，并为研究梯度功能压电材料物性质的确定问题提供了基础。AALIBEIGL
25、OO13对简支的功能梯度混合梁在热和机械载荷下的热弹性解的研究。该文研究简支功能梯度压电层梁在电势和机械载荷作用下产生三维弹性变形。热弹性常数被假定为沿厚度方向的指数函数。该分析方法运用了傅里叶级数展开和状态矢量空间的方法。数值结果显示,材料参数沿厚度方向的变化,直接影响梯度梁的响应。从这项研究中,可以得到以下结论第一，热载荷对各项同性材料的影响大于机械负载荷。第二，各项同性梁在厚度方向上的每一点上的温6度和横向位移通常大于同种情况下的功能梯度梁。第三，数值结果显示，外加电压对功能梯度梁的影响程度很大依赖于长厚比。第四，激磁电势对厚梁和薄梁的影响不同。第五，与机械载荷相比，热载荷使梁产生的轴向
26、位移曲线不是线性的，最小值在外表面附近取得。第六，增加外加电压，可以使传感器测得的电压值上升。第七，梯度指数沿径向的分布所产生的效果比应力的大。第八，增加电荷可以使径向正应力和径向位移沿轴向增加，相反会减小。第九，相对于位移，应力沿厚度方向指数分布。本文同时考虑了热和机械载荷作用下功能梯度压电梁的力学响应，为功能梯度压电梁的进一步研究提供参考。13功能梯度材料的研究意义信息、能源、材料是科学技术和社会发展的三大支柱。现代高科技方面的竞争在很大程度上要依赖于材料科学研究的发展。对高性能材料的认识水平、掌握及应用能力,直接反映出国家的科技水平和经济实力,这也是一个国家的综合国力和社会文明进步的标志
27、。所以,新材料的研发是材料科学发展的先导,是二十一世纪高科技领域的基石。随着科学技术的不断发展，传统单一性质的材料已无法满足科研和工程应用的需求。材料研究工作者开始探索利用不同类型材料之间性能的互补性，通过合适的工艺流程制造出比单一原类型材料性能更优越的新材料。复合材料由此应运而生，它极大的满足了科研与工程实际的需要。但是，传统的复合材料有一个明显的不足两种材料在接触处存在着明显的界面，而在界面两侧每种材料在组成、结构和性能上是均匀分布的，两种材料一般在物性上存在着显著的差异，因此，这种复合材料在界面处存在着性能突变，界面就成为复合材料的薄弱环节。功能梯度材料的提出，消除了材料内部的相界面，有
28、效地缓解或避免了应力集中现象。目前，功能梯度材料在航空航天、核反应堆、能源动力等工程领域中正得到日益广泛的应用。如为寻找适宜诸如航天飞机的发动机燃烧室器壁（其一侧须承受大于两千摄氏度高温，同时另一侧要承受低温液氢冷却），使用条件极其苛刻的新材料，日本材料研究人员于1984年率先提出功能梯度材料的概念，基本思想是根据具体的使用要求，选择具有不同性能的两种材料，连续地改变两种材料的组成和结构，使复合材料的内部界面消失、从而得到功能相7应于组成和结构的变化而缓变的非均质材料，以减少和客服结合部的性能不匹配因素。14本文的工作据作者检索，还未发现对于功能梯度压电悬臂梁在端部受横力和热载共同作用下的研究
29、。本文研究了功能梯度压电悬臂梁在热载和横力作用下的弯曲问题，其材料常数可以是厚度坐标的任意函数，梁中的热传导问题为沿厚度方向的一维问题。首先,写出平面各向异性功能梯度压电梁问题的偏微分方程表达式,使其满足应力函数和电位移函数。其次,应力、电位移函数多项式的形式被假设为纵协调,使应力、电位移函数通过不断的整合可以获得。再由热应力、轴向力、弯矩、剪切力、位移、电位移和电势的解析表达式验证该方法的正确性。第三,应力、电位移函数是被用来解决平面功能梯度压电梁问题，其积分常数完全由边界条件确定。由此可得到功能梯度压电梁在热和机械载荷作用下的弹性力学解。最后给出了一个算例显示了该方法的应用到特定的情况。8
30、2基本方程图2功能梯度压电悬臂梁示意图对功能梯度压电梁在热和机械载荷作用下的响应的研究，可以采用图2所示悬臂梁的模型进行分析。设功能梯度压电悬臂梁处于平面应力状态，不计其体力，自由电荷密度为零，梁的左端受一横力P的作用。整体的初始温度为AT，外界温度发生变化，达到稳定之后，上下表面分别保持常温AT和BT，悬臂梁内各点的温度T与X及时间无关，并假设梁的两端和前后侧面为绝热状态，因此梁中的热传导问题可以视为沿厚度方向的一维问题。梁的材料参数是沿高度呈梯度变化，弹性柔度系数、压电系数和介电系数分别为IJIJSSZ，IJIJGGZ，IJIJZ,1,3,5IJ，热传导系数为KKZ，线热胀系数为,IIZ1
31、,3I。其基本方程为稳态热传导方程0,DTZDKZDZDZ1平衡方程0,XXZXZ0XZZ20XZDDXZ3式中X，Z和XZ是应力分量，XD和ZD是电位移分量。几何方程,XZXZUWWUXZXZ4,XZEEXZ59式中X，Z和XZ是应变分量，XE和ZE是电场强度分量，U和W是位移分量，是电势。本构方程111331113333335515,XXZZZXZZXZXZXSSGDTSSGDTSGD61511313333,XXZXZXZZEGDEGGD7由式4和5可以导出协调方程222220XXZZZXXZ80XZEEZX9103边界条件由于温度达到稳定后，上下表面分别保持常温AT和BT，悬臂梁内各点的
32、温度T与X及时间无关。温度场边界条件如下式所示，,2,2,0ABTXHTTXHTTXTZ10梁在上下表面不受载荷作用，因而上下表面的边界条件为,20,20,20ZXZZXHXHDXH11在梁左端，仅有一个剪力P作用，左端的边界条件为0000,0,0,NMQPD12式中00,NM,0Q和D分别为梁左端0X的轴力，弯矩，剪力和平均电位移。梁右端XL边界条件为,00,00,00,00ULWLWLXL13114求解过程41确定温度场和应力函数法首先求解方程1，对方程1积分变形得2Z,ZHTBAKD14其中A,B为积分常数。利用边界条件式10后解得22/,HHBAADATTBTK15于是梁中的温度场为/
33、2/2/2ZHABAHHDDTZTTTKK16其次，为了满足方程组2和3，引入应力函数和电位移函数，将应力和电位移表示为22222XZXZZXXZ，,XZDDZX17进一步可设和具有如下形式01,ZXZ01,ZXZ18式中01,ZZ和01,ZZ为待定函数。将式18代入式17得01,XZXZ0,Z1XZZ1901,XDZXZ1ZDZ20将式19和20代入6和7后，再代入8和9，可推出如下方程组1111110,0,S11031111511511103110,0SGTGGG21由式211,2积分可得1211122,AAAA00111223,AAAAA111112239,AAAAAZA144,AB01
34、445,ABA22式中和下文中112AA为积分常数，以及12411111102,1,2,4,ZHIIZAABSSXZZXDIXAB23将式22代入21，整理或积分后可得0445561720,AAAAAAAAA00000044556172010,AAAAAAAAAA1111104455617201011,AAAAAAAAAAZA011223384,ABABABAB000001122338412,ABABABABA24式中1011,TAS03144154211111,ZHGBAGBDSS31511,GAS0131115121101523121523211111,1,ZHZHBGADGAGBGADG
35、AB25式中积分常数912AA对应力和电位移没有贡献，在计算中可以忽略。1342轴力，弯矩，剪力和位移由式171,3,4积分可得梁左端0X的轴力0N，弯矩0M和剪力0Q，20002200000220112200222,22222,22,22,HXHHXHHXZHHXHNDZHHMZDZHHHHHQDZHHDDDHH26将式22和24代入式19和20，再代入4，积分后可得位移211031111111312551150022ZHZHXUXSGTSZSDSGDZU13033132231316102,26ZHZHWSGTDXXXSDAAXW式中00,UW和为积分常数。将式22和24代入式19和20，再
36、代入5，积分后可得电势24151110310331022ZHAGXXGD28式中0为积分常数。43确定应力，电位移，位移和电势将式222代入式193，再代入边界条件式102，可得30,A001122220AAHAAH29将式225代入式202，再代入边界条件式103可得450,0AA302714将式223代入式263，再代入左端的边界条件式113，可得11112222AAHAAHP31将式242代入式261，再代入式111，可得000617202220AAHAAHAH32将式242,3，代入式262，再代入式112，可得010161172201002222222220AHAHAHAHAHAHH
37、AHAH将式245代入式264，再代入式114，可得0001122842220ABHABHABH34由式292和31可解得1A和2A由式32和33可得到6A和7A，再由式34可确定8A。这样，应力函数和电位移函数中的所有待定常数都已经确定。将式27代入式121,2,3，得到3个方程，可确定00,UW和。这样位移U和W完全确定。将式28代入式124，可求解0，这样电势也确定。由式192可以看出0Z，由式30代入式225后再代入式202可得0ZD。从式19，20，21和24中可以看出，应力和电位移中只有X包含有和温度有关的项0A，XZ和XD均不含与温度有关的项。从式2931中发现，与XZ和XD相关
38、的待定常数1A，2A，3A，4A，5A均与温度项无关。因此，XZ和XD与温度无关。33155算例在算例中，取梁的跨度为16LMM，高度为132HMM，单位厚度，载荷01PN，初始温度为0C，平稳后下表面温度保持0BTC。假定功能梯度材料参数数沿厚度为指数形式变化，000EXP2,EXP2,EXP2,IJIJIJIJIJIJSSZHHGGZHHZHH00EXP2,EXP2,1,3,5,IIKKZHHZHHIJ35式中为梯度指标。2ZH处的材料常数见表1所示。表1材料参数1220221061610/,10,10,10/,/IJIJIJISMNGMCMFCKWMC011S013S033S055S01
39、5G031G033G01103301030K91299522803409020372935650152021当上表面温度1ATC时，在2XL处不同梯度指标的应力X，XZ和电位移XD沿梁厚度的变化如图2，3所示。可以看出梯度指标对X，XZ和XD的分布和大小有一定影响。在应力和电位移中，只有X与温度有关。在图6中，上表面温度AT分别取0，05，1和2。在2XL处，X沿梁高度的变化与温度AT有较大关系。2时的X比0的要高25倍以上。可以看出，当端部所受载荷比较小的情况下，应力主要是由温度引起。图7为梯度指标取1,0和1时梁的中心线挠度，其中温度AT分别取0，05和1。可以看出，不同的温度AT对位移有
40、较大影响，而不同梯度指标对位移相对较小。图8和图9分别为不同温度和不同梯度指标下在2ZH处的电势。可以看出温度的变化对电势的影响不大，而梯度指标对电势影响较大。160500250000250506040200204060XL/2XH/PZ/H101图3应力X沿厚度的分布0500250000250501612080400XZH/PZ/H101图4应力XZ沿厚度的分布17050025000025050100102030DX109C/M2Z/H101图5电位移XD沿厚度的分布050025000025050402002040608010012002XH/PZ/HTA0OCTA05OCTA1OCTA2O
41、C图6不同温度下应力X沿厚度的分布18000204060810020406080100120X106TA1OCTA05OCTA0OC101X/LW/H图7不同温度下梁的中心线挠度000204060810000001002003F/VX/L02TA0OCTA1OCTA2OC图8不同温度下的电势19000204060810001000001002003004005TA1OCF/VX/L101图9TA1时的电势206全文总结和今后工作展望功能梯度压电材料具有功能梯度材料和压电材料二者的优点，近年来成为材料学和力学研究的热点问题，引起越来越多科技工作者的关注。本文采用应力函数法，通过引入应力函数和电位
42、移函数，获得了功能梯度压电材料在自由端受剪力载荷和温度荷载情况的解析解求解思路，该思路可以推广到其他任意机械载荷作用下的情况。通过算例我们可以看出，温度场对于功能梯度压电梁的影响很大，由于温度场的引入，使层间的应力和位移分布阶次明显提高，所以说温度在FGPM材料的设计中是不能被忽视的。同时探讨了材料性质在功能梯度压电板的材料常数沿板的厚度方向按照指数函数规律梯度变化下，对功能梯度压电梁在机械和温度载荷合作用下的影响。课题研究的意义在于研究功能梯度压电板在热和机械载荷作用下问题分析方法，为功能梯度压电结构设计及材料优化提供一定参考依据。61本文的研究结论课题研究的意义在于将通过引入应力函数和电位
43、移函数，得到了热和机械载荷作用下功能梯度压梁的解析解推导思路，由于函数的引入，使原有方程得以降解，使方程求解更简便，更加有利于计算编程。并通过比较不同的梯度变化和温度变化对挠度、应力场以及电势的影响，为功能梯度压电结构设计及材料优化提供一定参考依据。从算例结果可以看出，不同的梯度指标对应力和电位移均有影响。温度对X有较大影响，对Z，XZ，XD和ZD没有影响。温度对梁的挠度位移有较大影响，而对电势的影响不大。62本文的展望本文所做的工作还处在起步阶段，还有许多问题需要进一步深入研究，如1本文研究的是功能梯度压电梁在热和机械载荷作用下的解析解，可以在本文基础上研究变量之间的关系，并推广到各向异性条
44、件下的功能梯度压电材料中去，使计算得以简化。2功能梯度压电材料在使用过程中，在力电耦合作用下会产生小孔、裂纹等缺陷，导致这些复合材料过早的失效。因而研究功能梯度压电材料的断裂行为是十分有必要的。213研究功能梯度压电压磁的力学行为，考虑其磁效应。目前关于这方面的研究很少，因此研究功能梯度压电压磁的力学行为很有必要。4功能梯度材料、压电材料广泛应用于结构的形状控制、振动、噪声控制等动态领域，有必要增加研究动力部分的内容，如功能梯度压电材料在热、机械载荷及压电合作用下的振动问题。22参考文献1MAALEJMAHMEDSFG,PCORROSIONDURABILITYANDSTRUCTURALRESP
45、ONSEJOURNALFUNCTIONALLYGRADEDCONCRETEBEAMSOFADVANCEDCONCRETETECHNOLOGY200313073162WU,CCM,KAHN,MANDMOY,WPIEZOELECTRICCERAMICSWITHFUNCTIONALGRADIENTSANEWAPPLICATIONINMATERIALDESIGNJJOURNALOFTHEAMERICANCERAMICSSOCIETY,1996,793,8098123ZHU,XH,WANG,QANDMENG,ZYAFUNCTIONALLYGRADEDPIEZOELECTRICACTUATORPREPAR
46、EDBYPOWDERMETALLURGICALPROCESSINPNNPZPTSYSTEMJJOURNALOFMATERIALSSCIENCELETTERS,1995,1475165184HAUKE,T,KOUVATOV,A,STEINHAUSEN,R,SEIFERT,W,BEIGE,H,LANGHAMMER,HTANDABICHT,HPBENDINGBEHAVIOROFFUNCTIONALLYGRADIENTMATERIALS,FERROELECTRICSJ,2000,2381952025DEVOE,DLANDPISANOAPMODELINGANDOPTIMALDESIGNOFPIEZOEL
47、ECTRICCANTILEVERMICROACTUATORSJJOURNALOFMICROELECTROMECHANICALSYSTEMS,1997,632662706LEE,HJ,LAYWISELAMINATEANALYSISOFFUNCTIONALLYGRADEDPIEZOELECTRICBIMORPHBEAMSJJOURNALOFINTELLIGENTMATERIALSYSTEMSANDSTRUCTURES,2005,1643653717CHEN,YANDSHIZFEXACTSOLUTIONSOFFUNCTIONALLYGRADIENTPIEZOTHERMOELASTICCANTILEVERSANDPARAMETERIDENTIFICATIONJJOURNALOFINTELL
