1、 1 / 8 一、填空题（本大题共有 12题，满分 54 分，第 16 题每题 4分，第 712 题每题 5 分） 1不等式 | | 1x 的解集为 _ 2计算： 31lim 2n nn _ 3设集合 | 0 2A x x ， | 1 1B x x ，则 AB _ 4若复数 z i i （ i 是虚数单位），则 2z z_ 5已知 na 是等差数列，若 2810a a，则 3 5 7aaa _ 6已知平面上动点 P 到两个定点 (1,0) 和 ( 1,0) 的距离之和等于 4，则动点 P 的轨迹为 _ 7如图，在长方形 1 1 1 1BABC A CD D 中， 3AB ， 4BC ， 1 5
2、AA ， O 是11AC 的 中点，则三棱锥 11AAOB 的体积为 _ 第 7题图 第 12 题图 8某校组队参加辩论赛，从 6 名学生中选出 4人分别担任一、二、三、 四辩若其中学生 甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为_ 9设 aR ，若 92 2xx与 92ax x的二项展开式中的常数项相等，则a _ 10设 m R ，若 z 是关于 x 的方程 2210x mx m 的一个虚根，则 |z 的取值范围 是 _ 2 / 8 11设 0a ，函数 ( ) 2 ( 1 ) s i n ( )f x x x a x ， (0,1)x ，若函数 21yx与()y f x 的图象有且仅有
3、两个不同的公共点，则 a 的取值范围是 _ 12如图，正方形 ABCD 的边长为 20 米，圆 O 的半径为 1 米，圆心是正方形的中心，点 P 、 Q 分别在线段 AD 、 CB 上，若线段 PQ 与圆 O 有公共点，则称点 Q 在点 P 的“盲 区”中已知 点 P 以 1 5米 /秒的速度从 A 出发向 D 移动，同时，点 Q 以 1 米 /秒的速度 从 C 出发向 B 移动，则在点 P 从 A 移动到 D 的过程中，点 Q 在点 P 的盲区中的时长约 为 _秒（精确到 0 1） 二、选择题（本大题共有 4题，满分 20分，每题 5 分） 13下列函数中，为偶函数的是（ ） （ A） 2y
4、x （ B） 13yx （ C） 12yx （ D） 3yx 14如图，在直三棱柱 1 1 1AB ABC C 的棱虽在的直线中，与直线 1BC 异面的直线条数为（ ） （ A） 1 （ B） 2 （ C） 3 （ D） 4 15记 nS 为数列 na 的前 n 项和 “ na 是递增数列”是“ nS 为递增数列”的（ ） （ A）充分非必要条件 （ B）必要非充分条件 （ C）充要条件 （ D）既非充分也非必要条件 16已知 A 、 B 为平面上的两个定点，且 | 2|AB 该平面上的动线段 PQ 的端点 P 、 Q ， 满足 |5AP ， 6ABAP， 2AQ AP ，则动线段 PQ 所形
5、成图形的面积为（ ） （ A） 36 （ B） 60 （ C） 81 （ D） 108 3 / 8 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76分，第 1719 题每题 14分， 20题 16 分，21题 18 分） 17（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6分，第 2小题满分 8 分） 已知 cosyx （ 1）若 3( 1)f ，且 0, ，求 ()3f 的值； （ 2）求函数 (2 ) 2 ( )y f x f x的最小值 18 （本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2小题满分 8分） 已知 a R ，双曲线 2 22:1x ya （ 1）若点 (2,1) 在 上，求 的
6、焦点坐标； （ 2）若 1a ，直线 1y kx与 相交于 A 、 B 两点，且线段 AB 中点的横坐标为 1，求实数 k 的值 19（本题满分 14 分，第 1 小题满分 7分，第 2小题满分 7 分） 利用“平行于圆锥曲线的母线截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图 1所示，图 2 是投影出的抛物线的平面图，图 3 是一个射灯的直观图，在图 2 与图3中，点 O 、 A 、 B 在抛物线上， OC 是抛物线的对称轴， OC AB 于 C ， 3AB米， 4.5OC 米 （ 1）求抛物线的焦点到准线的距离； （ 2）在图
7、3 中，已知 OC 平行于圆锥的母线 SD ， AB 、 DE 是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到 0 01） 4 / 8 图 1 图 2 图 3 20（本题满分 16分，第 1 小题满分 4 分，第 2小题满分 6分， 第 3 小题满分 6分） 设 0a ，函数 1() 1 2xfx a （ 1）若 1a ，求 ()fx的反函数 1()fx ； （ 2）求函数 ()()y f x fx 的最大值（用 a 表示）； （ 3）设 ( ) ( ) ( 1 )g x f x f x 若对任意 ( ,0x ， )( () 0gx g 恒成立，求 a 的取值范围 21（本题满分 18
8、分，第 1 小题满分 3 分，第 2小题满分 6分，第 3 小题满分 9分） 若 nc 是递增数列，数列 na 满足：对任意 *n N ，存在 *m N ，使得1 0mnmnaca c ，则称 na 是 nc 的“分隔数列” （ 1）设 2ncn ， 1na n，证明：数列 na 是 nc 的“分隔数列”； （ 2）设 4nc n ， nS 是 nc 的前 n 项和， 31nnd c ，判断数列 nS 是否是数列 nd 的分隔数列，并说明理由； （ 3）设 1nnc aq ， nT nc 的前 n 项和，若数列 nT 是 nc 的分隔数列，求实数 a 、 q 的取值范围 5 / 8 参考答案
9、一、填空题 1 ( , 1) (1, ) 2 3 3 (0,1) 4 2 5 15 6 22143xy 7 5 8 180 9 4 10 3( , )3 11 11 19( , 66 12 4.4 二、选择题 13 A 14 C 15 D 16 B 三、解答题 17（ 1） 1 2 26 ；（ 2） 32 18（ 1） ( 3,0). 3,0 ；（ 2） 512 19（ 1） 14 ；（ 2） 9.59 20（ 1） 12 1( ) l o g ( 0 1 )xf x xx ；（ 2）2112maxy aa （ 0x 时取最值）； （ 3） (0, 2 21（ 1）证明略；（ 2）不是反例：
10、4n 时， m 无解；（ 3） 02aq 6 / 8 参考答案 一、填空题 1 ( , 1) (1, ) 2 3 3 (0,1) 4 2 5 15 6 22143xy 7 5 8 180 9 4 10 3( , )3 11 11 19( , 66 提示： 12 1 2 ( 1 ) s i n ( ) 1 2 ( 1 ) s i n ( ) s i n ( ) 2x x x a x x x a x a x 7 1 1 7 1 1 7 1 1, , 2 , 2 , 4 , 4 ,6 6 6 6 6 6ax 0 ax a 1 1 7 266a 12 4.4 提示：以 A 为原点建立坐标系，设时刻为
11、t ，则 40(0 , 1 . 5 ) , ( 2 0 , 2 0 ) , 0 3P t Q t t 则 0 1 .5: 2 0 0 2 0 1 .5PQ x y tl tt ，化简得 (8 ) 8 1 2 0t x y t 点 (10,10)O 到直线 PQ的距离23| (8 ) 1 0 8 0 1 2 | 1(8 ) 8ttt ，化简得 23 16 128 0tt 即 8 7 8 8 733t ，则 8 8 7 8 8 70 4 .433tt 二、选择题 13 A 14 C 15 D 16 B 提示：建系 (0,0), (2,0)AB，则 ( , )Pxy 的轨迹为线段 3, 4 4xy
12、， AP 扫过的三角形面积为 12，则利用相似三角形可知 AQ 扫过的面积为 48，因此和为 60 三、解答题 17（ 1） 1 2 26 ；（ 2） 32 7 / 8 18（ 1） ( 3,0) ；（ 2） 512 19（ 1） 14 ；（ 2） 9.59 20（ 1） 12 1( ) l o g ( 0 1 )xf x xx ；（ 2）2112maxy aa （ 0x 时取最值）； （ 3） (0, 2 提示：1 211() 21 2 1 2232xx x xagx aaaa 2 , ( 2 ( 0 , 1 )2 3xa ta t at 因为 -a0，所以当 x=0,t=1 时，分母取到最
13、小值从而分式值取到最小值， 此时 2 222 1 0 2a t t ata 21（ 1）证明：存在 2mn ,此时 * 1, 2 2 1 2 2n m nn c n a n c n N 证毕 （ 2）不是反例： 4n 时， m 无解； （ 3） 02aq 提示：因为 1naq 为递增数列，因此 01aq或者 001a q 当 001a q 时， *,0nncN ，因此 3 2 1 1 2 3T T T c c c 因此不存在 23mc T c，不合题意。 当 01aq时， 11 11mnnn m n qc T c q qq 11 111( 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 ) ( 1 ) n
14、 m n n m nnnq q q q q q q q q qqq 两边同时取对数得：1111 l o g ( 1 ) l o g ( 1 ) qqnnn q m n qqq 8 / 8 记 1( ) lo g ( 1 ) , 0q xf x q xq 则 1 ( 1 ) ( )n f n m n f n 下面分析函数 ( 1), ( )f n f n 的取值范围： 显然 1q 时， 1( ) lo g ( 1 ) , 0q xf x q xq 为减函数， 因此 ( ) ( ) (0 )f f x f ，即 lo g ( 1) ( ) 1q q f x ( )当 2q 时， log ( 1) 0q q，因此总有 0 ( ) ( 1) 1f n f n 此时 1 ( 1 ) 1 1( ) + 0n f n nn f n n 因此总存在 mn 符合条件，使得 1 ( 1 ) ( )n f n n m n f n 成立 ( )当 12q时， log ( 1) 0q q， 根据零点存在定理，并结合 ()fx的单减性可知： 存在唯一正整数 k 使得 ( ) 0 ( 1)f k f k 此时 1 ( 1) 1()k f k kk f k k 即 1 1 ( 1 ) ( )k k f k m k f k k 显然不存在满足条 件的正整数 m 综上： 0, 2aq
